MATEMATYKA lista zadań nr 4
1. Wyznaczyć przedziały zbieżności podanych szeregów potęgowych
a)
∞
X
n=0
(x − 1)n
2n + 1 b)
∞
X
n=0
n2xn
(n + 1)2· 2n c)
∞
X
n=0
3n
n! (x + 2)n d)
∞
X
n=0
nx4n
2. Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji
a) f (x) = sin x b) f (x) = cosx
2 c) f (x) = cosh x d) f (x) = sinh 2x 3. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcje
a) f (x) =
−0, 5 dla x = −1, 1 dla − 1 < x < 0,
−0, 5 dla x = 0,
−2 dla 0 < x < 1,
−0, 5 dla x = 1.
b) f (x) =
0, 5 dla x = −1, 2 dla − 1 < x < 0, 0, 5 dla x = 0,
−1 dla 0 < x < 1, 0, 5 dla x = 1.
4. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcje
a) f (x) = −π4 dla −π < x < 0, f (x) = π4 dla 0 < x < π, f (0) = 0,
b) f (x) = 12(−π − x) dla −π < x < 0, f (x) = 12(π − x) dla 0 < x < π, f (0) = 0, c) f (x) = sin2x dla −π ¬ x ¬ π,
d) f (x) = sinh x dla |x| < 1, f (−1) = f (1) = 0.
5. Funkcje
a) f (x) = 1 dla 0 < x < π2, f (x) = −1 dla π2 < x < π, f (π2) = 0, b) f (x) = −1 dla 0 < x < π2, f (x) = 1 dla π2 < x < π, f (π2) = 0, c) f (x) = x(2 − x) dla 0 < x < 2,
d) f (x) = cosx2 dla 0 < x < π
rozwinąć w szereg samych sinusów, a następnie szereg samych cosinusów.
