MATEMATYKA
lista zadań nr 4
1. Obliczyć podane całki krzywoliniowe nieskierowane po wskazanych łukach:
a) RL xyz dl gdzie L – odcinek łączący punkty A = (1, 1, 1) i B = (2, 3, 4), b) RL √
x2 + y2+ z2 dl, gdzie L – okrąg o równaniu x2+ y2 = 4, z = 2,
c) RL(x + y + z) dl, gdzie L – brzeg trójkąta o wierzchołkach A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1).
2. Obliczyć długość łuku L o przedstawieniu parametrycznym a) x = cos t, y = sin t, z = 2t, 0 ¬ t ¬ 2π,
b) x = e−t cos t, y = e−t sin t, z = e−t, 0 ¬ t < ∞.
3. Wyznaczyć współrzędne środka masy podanych łuków jednorodnych:
a) x = a cos t, y = a sin t, z = at, 0 ¬ t ¬ 2π,
b) brzeg trójkąta sferycznego x2+ y2+ z2 = 1, gdzie x, y, z 0.
4. Obliczyć momenty bezwładności podanych łuków jednorodnych:
a) odcinek łączący punkty A = (1, 1, 1) i B = (2, 3, 4), b) x = a cos t, y = a sin t, z = at, 0 ¬ t ¬ 2π.
5. Obliczyć całki krzywoliniowe skierowane
Z
L
P (x, y) dx + Q(x, y) dy jeżeli
a) P (x, y) = 2x + y, Q(x, y) = x2− y, L : x = t, y = t2, 0 ¬ t ¬ 1,
b) P (x, y) = x + y, Q(x, y) = x − y, L : x = 2 cos t, y = 4 sin t, 0 ¬ t ¬ π4, c) P (x, y) = −y, Q(x, y) = x, L : y =√
3x, 0 ¬ x ¬ 3, d) P (x, y) = y2, Q(x, y) = x2, L : x = ln y, 1 ¬ x ¬ e.
6. Obliczyć całki krzywoliniowe skierowane
Z
L
(x + y)(dx − dy) jeżeli
a) L – odcinek łączący punkty A = (0, 0) i B = (1, 1), b) L – łuk paraboli y = x2, 0 ¬ x ¬ 1,
c) L – łuk sinusoidy y = sinπx2 , 0 ¬ x ¬ 1.
