Lista nr 6 TRiL, sem.I, studia stacjonarne I stopnia, 2013/14
Liczby zespolone
1. Przedstawi´c w postaci algebraicznej podane liczby zespolone:
a) (2 + i)(3 − i) + (2 + 3i)(3 + 4i), b) (2 + i)(3 + 7i) − (1 + 2i)(5 + 3i), c) (4 + i)(5 + 3i) − (3 + i)(3 − i), d) (5+i)(7−6i)
3+i , e) (5+i)(3+5i)
2i , f) (1+3i)(8−i)
(2+i)2 ,
g) (2+i)(4+i)1+i , h) (3−i)(1−4i)
2−i , i) (2 + i)3+ (2 − i)3,
i) (3 + i)3+ (3 − i)3, k)
−12±
√3 2 i3
2. Rozwiaza´, c uk lady r´owna´n:
a)
(1 + i)z1+ (1 − i)z2 = 1 + i
(1 − i)z1+ (1 + i)z2 = 1 + 3i , b)
iz1+ (1 + i)z2 = 2 + 2i 2iz1+ (3 + 2i)z2 = 5 + 3i , c)
2z1− (2 + i)z2 = −i (4 − 2i)z1− 5z2 = −1 − 2i
3. Przedstawi´c w postaci trygonometrycznej liczby:
a) 5, b) i, c) −2, d) −3i,
e) 1 + i, f) 1 − i, g) 1 + i√
3, h) −1 + i√
3, i) −1 − i√
3, i) 1 − i√
3, k)√
3 + i, l) −√
3 + i, m) −√
3 − i, n) √
3 − i, o) 1 + i√ 3/3, 4. Obliczy´c warto´sci wyra˙ze´n:
a) (1 + i)1000, b) (1 + i√
3)150, c) (√
3 + i)30, d) 1 +12√
3 + 12i24 , e) (2 − 2√
2 + i)12, f)
1−i√ 3 1+i
12
, g)√
3+i 1−i
30
, h) 1 + cosπ3 + i sinπ36 5. Rozwiaza´, c r´ownania:
a) |z| + z = 8 + 4i, b) |z| − z = 8 + 12i
6. Majac dane z, 1= 2 cosπ8 + i sinπ8, z2= cosπ5 + i sinπ5, z3= 3 cos3π10 + i sin3π10, obliczy´c:
a) z1· z2, b) z1· z2· z3, c) z31· z22, d) zz2
3, e) zz134 3
, f) z1z·z332 2
7. Korzystajac z dwumianu Newtona oraz wzoru de Moivre’a przedstawi´, c nastepuj, ace wyra˙zenia za pomoc, a sin x oraz cos x:, a) sin 4x, b) cos 6x, c) sin 7x
8. Obliczy´c i wynik zapisa´c w postaci trygonometrycznej:
a) √6
i, b) 10
q
512(1 − i√
3), c) 8
q 8√
2(1 − i) 9. Obliczy´c i wynik zapisa´c w postaci algebraicznej:
a) √3
1, b) √4
1, c) √6
1, d) √3
i, e) √4
−4, f)√6
64, g) √8
16, h) √6
−27, i) p4 8√
3i − 8, i) 4 q
−72(1 − i√
3), k)√3
1 + i, l) √3 2 − 2i, 10. Rozwiaza´, c r´ownania:
a) z2+ 4z + 5 = 0, b) z3= −8, c) z2+ (1 + 4i)z − (5 + i) = 0,
11. Zaznaczy´c na p laszczy´znie zbi´or punkt´ow odpowiadajacych liczbom zespolonym z spe lniaj, acym warunki:,
a) |z| = 1, b) arg z = π/3, c) |z| ≤ 2, d) |z − 1 − i| < 1,
e) |z + 3 + 4i| ≤ 5, f) 2 < |z| < 3, g) 1 ≤ |z − 2i| < 2, h) | arg z| < π/6, i) | Re z| ≤ 1, i) −1 < Re iz < 0, k) | Im z| = 1, l) | Re z + Im z| < 1, m) |z − 1| + |z + 1| = 3, n) |z + 2| − |z − 2| = 3, o) |z − 2| = Re z + 2
12. Stosujac postac wyk ladnicz, a liczby zespolonej rozwi, aza´, c podane r´ownania:
a) z7= z, b) (z4) = z2|z2|, c) (z)2|z2| = z42, d) |z|3= iz3, e) z6= (z)6, f) |z8| = z4 13. Stosujac wzory Eulera wyrazi´, c podane funkcje w postaci sinus´ow i kosinus´ow wielokrotno´sci kata x:,
a) sin3x, b) cos2x, c) sin5x, d) sin4x + cos4x
