Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 10.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 10.

POCHODNE FUNKCJI

Definicja (pochodna właściwa funkcji)

Niech x₀ oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O x( ).₀ Pochodną właściwą funkcji f w punkcie x₀ nazywamy granicę właściwą

0

0 0

0

( ) ( )

'( )

lim

x x

f x f x

f x  x x

 



Uwaga

Stosowane są też oznaczenia d _{0 0} ( ), ( ).

d

f x Df x x

Przykład

Korzystając z definicji obliczyć pochodną funkcji f x( )x² w punkcie x₀ . Fakt (pochodne ważniejszych funkcji)

1) ( ) 'C 0; 2) (x^) 'x^1; 3) (sin )'x cos ;x 4) (cos )'x  sin ;x

5) 1₂

(tg ) ' ;

x cos

 x 6) ₂1

(ctg ) ' ;

x sin

x

  7) (a^x) 'a^xln ;a 8) (e^x) 'e^x; 9) 1 (ln ) 'x ;

 x

10) 1

(log ) ' ;

ax ln

x a

 11)

2

(arcsin ) ' 1 ; 1 x

x

  ^{12) 2}

(arccos ) ' 1 ; 1 x

x

 



13) 1 ₂

(arc tg ) ' ; x 1

 x

 ^{14) 2}

(arc ctg ) ' 1 . x 1

x

 



INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA POCHODNEJ

Niech  oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie ( , ( ))x f x_{0 0} i dodatnią częścią osi OX. Wtedy

Fakt (równanie stycznej do wykresu funkcji)

Równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie ( , ( ))x f x_{0 0} na postać

0 0 0

( ) '( )( ).

y f x  f x xx

Przykład

Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f x( )sinx w punkcie ( ,0). Definicja (kąt przecięcia wykresów funkcji)

Niech wykresy funkcji f i g mają punkt wspólny ( ,x y_{0 0}), przy czym obie funkcje mają pochodne właściwe w punkcje x₀. Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy kąt osty  między stycznymi

wystawionymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich przecięcia.

Fakt (o mierze kąta między wykresami funkcji)

Miara kąta ostrego przecięcia wykresów funkcji f i g w punkcie ( ,x y_{0 0}) wyraża się wzorem:

0 0

0 0

'( ) '( )

arctg .

1 '( ) '( ) f x g x

f x g x

  ^



Jeżeli f x g x'( ) '( )_{0 0}  1, to przyjmujemy, że . 2

 

Przykład

Obliczyć kąt pod jakim przecinają się wykresy funkcji f x( )x g x², ( )x³. Twierdzenie (warunek konieczny istnienia pochodnej właściwej funkcji)

Jeżeli funkcja ma pochodną właściwą w punkcie, to jest w tym ciągła w tym punkcie.

Uwaga

Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Np. funkcja f x( ) x jest ciągła w punkcie x₀ 0, ale f '(0) nie istnieje.

Twierdzenie (o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu oraz ilorazu funkcji) Jeżeli funkcje f i g mają pochodne właściwe w punkcje x₀, to

1) ( 'f g')( )x₀  f x'( )₀ g x'( );₀ 2) ( 'f g')( )x₀  f x'( )₀ g x'( );₀

3) (cf)'( )x₀ cf x'( ),₀ gdzie c ; 4) (f g )'( )x₀  f x g x'( ) ( )_{0 0}  f x g x( ) '( );_{0 0}

5) ₀ ^{0 0}₂ ^{0 0}

0

'( ) ( ) ( ) '( )

( ) '( ) ,

( )

f x g x f x g x f x

g g x

  o ile g x( )₀ 0.

Przykład

Obliczyć pochodne podanych funkcji

a) ^{4 2} 1

( ) 3 ;

h x x x x

   x b) h x( )sinxctg ;x c) sin

( ) ;

4

x x

e x

f x e

 

 d)

2 2

( ) 1.

1 f x x

x

 

 Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej)

Jeżeli 1) funkcja f ma pochodną właściwą w punkcje x₀,

2) funkcja g ma pochodną właściwą w punkcje f x( )₀ , to

 

0 0 0 0

(g f)'( )x  g f x( ( )) 'g f x'( ( )) f x'( ).

Przykład

Obliczyć pochodne podanych funkcji

a) h x( )sin²x; b) h x( )(3x²1) ;³ c) f x( )e^{cos x}; d)

2 4

2

( ) 1 .

1 f x x

x

  

   