Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 14.
CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
Egzaminy I termin poniedziałek 30.01 14:00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki II termin poprawkowy środa 8.02 14:00 WE-030
Definicja (funkcja wymierna właściwa)
Funkcję wymierną ( )
( ) ( )
W x L x
M x nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku.
Przykład
Podaną funkcję wymierną zapisać w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej,
6
2 .
2 2
x
x x Definicja (ułamki proste pierwszego i drugiego rodzaju)
1) Funkcję wymierną właściwą postaci
( )n A
xa , gdzie n oraz a A, nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju;
2) Funkcję wymierną właściwą postaci
( 2 )n
Px Q x px q
, gdzie n oraz p q P Q, , , , przy czym
2 4 0,
p q
nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.
Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)
Każda funkcja wymierna rzeczywista jest sumą ułamków prostych. Przedstawienie to jest jednoznaczne.
Funkcja wymierna właściwa
1 2 2 1 2 2 2
1 2 1 1 2 2
( )
( ) (k )k ( ) (kr ) (l )l ( )ls
n r s s
P x
a xx xx xx x p xq x p xq x p xq
jest sumą k1 k2 kr ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz l1 l2 ls ułamków prostych drugiego rodzaju, przy czym
czynnikowi (xxi)ki odpowiada suma ki ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci
1 2
( )2 ( )
ki i
i i i
k
i i i
A A A
x x x x x x
gdzie
1, 2, , dla 1 ;
i i iki
A A A i r
czynnikowi (x2 p xj qj)lj odpowiada suma lj ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci
1 1 2 2
2 ( 2 )2 ( 2 )
lj lj
j
j j
j j j j
l
j j j j j j
B x C
B x C B x C
x p x q x p x q x p x q
gdzie
1, 2, , , 1, 2, , dla 1 .
lj lj
j j j j j j
B B B C C C j s
Przykład
Podać rozkład na ułamki proste wskazanych funkcji wymiernych właściwych nie obliczając współczynników rodzaju:
2 2 2
2 2 2 3 2 5
1 1 ( 1)
a) , b) , c) .
( 1)( 2)( 3)( 4) ( 3) ( 2 2)( 10)
x x x x
x x x x x x x x x
Fakt (całkowanie ułamków pierwszego rodzaju)
1) A ln ,
dx A x a C
x a
2) 1 , dla 2.
( )n ( 1)( )n
A A
dx C n
x a n x a
Przykład
Rozkładając funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych obliczyć całki:
2 4
2 4 2
2 2
3 10 1 2 3
a) , b) , c) , d) ,
( 1)( 2)( 3) 4 4 1 2 2
3 1
e) .
( 1)( 1)
xdx x x x
dx dx dx
x x x x x x x x
x dx
x x
CAŁKOWANIE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH Fakt (całkowanie funkcji postaci R(sin ,cos )x x )
Niech R u v( , ) będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych. Wówczas dla obliczenia całek postaci (sin ,cos )
R x x dx
stosujemy podstawienie z tabeli (w zależności od warunków jakie spełnia funkcja R).
Warunek Podstawienie Przedstawienie funkcji Różniczka
( , ) ( , )
R u v R u v t cosx 2
sinx 1t
1 2
dx dt
t
( , ) ( , )
R u v R u v tsinx cosx 1t2
1 2
dx dt
t
( , ) ( , )
R u v R u v t tgx
sin 2
1 x t
t
2
cos 1
1 x
t
1 2
dx dt
t
R dowolna funkcja
tg2
t x 2
2 2
sin 2 1 cos 1
1 x t
t x t
t
2
2 1 dx dt
t
Przykład
Korzystając z podstawień w tabeli obliczyć całki:
sin4
a) , b) , c) .
sin cos cos 1 tg
dx x dx dx
x x x x
Fakt (
Do obliczania całek z funkcji postaci
sinaxcosbx, sinaxsinbx, cosaxcosbx stosujemy tożsamości trygonometryczne
sin cos 1 sin( ) sin( )
2
sin sin 1 cos( ) cos( )
2
cos cos 1 cos( ) cos( )
2
ax bx a b x a b x
ax bx a b x a b x
ax bx a b x a b x
Przykład
Obliczyć podane całki:a) sin 2 cos 4 , b) cos cos .
2 3
x x
x x