Metoda Cholesky'ego - dekompozycja, ukad rwna, wyznacznik

Układy z macierzami trójkątnymi

Metoda Choleskiego (Cholesky'ego)

(i nieco więcej)

W zależności od tego

czy kolejne elementy macierzy L są wyznaczane wierszami czy kolumnami, powyższy algorytm nosi nazwę

algorytmu Choleskiego-Banachiewicza

lub

Twierdzenie:

Jeśli wszystkie wyznaczniki podmacierzy A_ii ( i = 1,2,..., n-1) utworzonych z „i” pierwszych kolumn i wierszy macierzy A, licząc odpowiednio z lewej do prawej strony i z góry na dół, są różne od zera (det A_ii

≠

to istnieje jednoznaczny rozkład macierzy A na dwie macierze trójkątne L i U, odpowiednio dolną z jedynkami na przekątnej głównej i górną

o postaci:

A=LU

Metoda rozkładu na macierze L i U

gdzie L =             1 0 1 0 0 1 2 1 21 L M O M M L L n n l l l U =             nn n n u u u u u u L M O M M L L 0 0 0 _{22 2} 1 12 11

Algorytm rozwiązania układu równań A X = B jest więc następujący.

Wstawiając równanie A = L U _{do A X = B otrzymamy} L U _{X = B,}

które możemy rozbić na dwa równania

L Y = B

U X = Y

Z pierwszego równania wyznaczamy wektor Y

Zaletą takiego rozbicia jest fakt, że obydwa wektory otrzymujemy natychmiast, bowiem rozwiązujemy dwa układy równań z macierzami trójkątnymi:

    = − = =

∑

∑

Elementy macierzy L i U można wyznaczyć dwoma sposobami.

1.

Istnieje ścisły związek między rozkładem macierzy A na macierze L i U a metodą eliminacji Gaussa.

Można wykazać, że

elementy kolejnych kolumn macierzy L są równe współczynnikom przez które mnożone są w kolejnych krokach wiersze układu równań celem dokonania eliminacji niewiadomych w odpowiednich kolumnach ) ( ) ( k kk k ik ik a a l = k =1,2,..., n i = k +1,...,n

Natomiast macierz U jest równa macierzy trójkątnej uzyskanej w eliminacji Gaussa, czyli

) ( k

ki

ki a

2.

Algorytm Doolittle’a.

Mnożąc macierz L i U a następnie porównując z macierzą A

odpowiednio pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę, drugi wiersz i drugą kolumnę itd otrzymamy      = = = = n j u a l n j a u j j j j ..., , 3 , 2 ..., , 2 , 1 11 1 1 1 1 dla i =2,3,..., n        + + = − = + = − =

∑

∑

Metoda Choleskyego

dekmpozycja macierzy

Rozkład Choleskyego

macierzy A na iloczyn postaci:

A = LLT

gdzie L jest dolną macierzą trójkątną, a LT _{jej transpozycją.}

Macierz dowolnego typu można rozłożyć na iloczyn dolnej i górnej macierzy trójkątnej postaci A = LU stosując metodę LU.

Rozkład Choleskiego

jest możliwy jedynie w przypadku macierzy symetrycznych i dodatnio określonych.

Macierz symetryczna – macierz kwadratowa (tzn. o tej samej liczbie wierszy i kolumn), której wyrazy położone symetrycznie względem przekątnej głównej są równe; formalnie jest to macierz kwadratowa A=[a_ij] stopnia n która dla i, j = 1,…,n spełnia warunek

a_ij = a_ji

który można zapisać krótko przy pomocy transpozycji jako

AT _{= A}

macierzą dodatnio określoną nazywamy macierz A typu n×n, która

jest macierzą symetryczną

i dla każdego niezerowego wektora x xT _{A x > 0}

Algorytm rozkładu

Rozpisując iloczyn A = LLT_{, otrzymujemy:}

Współczynniki macierzy A, są zatem równe::

Metoda Choleskiego,

podobnie jak metoda rozkładu L·U

polega na zastąpieniu jednego układu równań o n niewiadomych

opisanego macierzą pełną

dwoma układami równań również o n niewiadomych, ale za to opisanymi macierzami trójkątnymi.

Różnica w stosunku do metody rozkładu L·U polega na tym, że

w metodzie Choleskiego

Ograniczenia na postać macierzy A ,

• macierz ta musi być symetryczna (A=AT₎

oraz

• dodatnio określona (XT _{A X > 0 dla każdego X takiego, że |X|≠0)}

Wówczas: A X = B dla A = L LT A X = L LT _{X = B} oraz: LT _{X = Y} L Y = B

Obliczanie wartości wyznacznika

A=LU. Wiemy że

det A = det L · det U.

Zauważmy, że

wartość wyznacznika macierzy trójkątnej

jest równa iloczynowi wartości elementów na przekątnej głównej

∏

Rozwiązywanie

Układ równań (dla macierzy L):

Układ równań dla macierzy LT możemy rozwiązać wykorzystując moduł wykonany dla metody 'eliminacji Gaussa'.