Zasada indukcji matematycznej

1

Zasada indukcji matematycznej A. Mróz

1. Stosuj¡c zasad¦ indukcji, udowodnij, »e: (a) 1 + 2 + · · · + n = n(n+1) 2 , (b) Pn i=1i(i+1)1 = n n+1, (c) Pn i=1i · i! = (n + 1)! − 1, (d) 12_{− 2}2_{+ 3}2_{− 4}2_{+ · · · + (−1)}n−1_n2 _{= (−1)}n−1 n(n+1) 2 , (e) 6 | 13n_{− 7,} (f) 2n_{> n,}

(g) (1 + x)n_{≥ 1 + nx, dla x ∈ R ∧ x > −1 (nierówno±¢ Bernoulli'ego),}

(h) | sin(nx)| ≤ n| sin(x)|, dla x ∈ R,

2. Dla jakiej warto±ci k poni»szy wzór jest prawdziwy dla ka»dego n ∈ N?

2 · 12+ 3 · 22+ · · · + n(n − 1)2+ (n + 1)n2= n(n + 1)(n + 2)(3n + k) 12

3. Niech X b¦dzie zbiorem n-elementowym. Uzasadnij indukcyjnie, »e liczba wszystkich podzbiorów zbioru X wynosi 2n_.

4. Rozpatrzmy ci¡g (an)n≥1 zdeniowany rekurencyjnie w nast¦puj¡cy sposób:



a0 = 2

an+1 = an+ 3

Wyznacz (jawny) wzór na n-ty wyraz tego ci¡gu i uzasadnij go indukcyjnie. 5. Rozpatrzmy ci¡g (an)n≥1 zdeniowany rekurencyjnie w nast¦puj¡cy sposób:



a0 = 1

an+1 = (n + 1)an

Wyznacz (jawny) wzór na n-ty wyraz tego ci¡gu i uzasadnij go indukcyjnie. 6. Rozpatrzmy ci¡g (an)n≥1 zdeniowany rekurencyjnie w nast¦puj¡cy sposób:

   a0 = 0 a1 = 1 an+2 = an+1+ an

(Ci¡g ten nazywamy ci¡giem Fibonacciego). Uzasadnij, »e jawny wzór na n-ty element tego ci¡gu ma posta¢:

an= 1 √ 5 " 1 +√5 2 !n − 1 − √ 5 2 !n# .