Wojciech Maćkowiak 1 lipca 2004 roku
Analiza matematyczna I
1. Każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych posiada element najmniejszy. 2. √2 /∈ Q.
3. Aksjomat Dedekinda (dowód, że Q jest nieciągłe). 4. Istnieje dokładnie jedna liczba x > 0 taka, że x2= 2. 5. Definicja kresu zbioru.
6. Każdy niepusty podzbiór RR, który jest ograniczony z góry (dołu), posiada kres górny (dolny). 7. Zbiór A jest ograniczony z dołu (góry) ⇐⇒ −A jest ograniczony z góry (dołu); inf(A) = − sup(−A). 8. Zasada Archimedesa.
9. ∀x∈R∃n∈Nn − 1 6 x < n (wartość całkowita [x]).
10. Między każdymi dwoma liczbami rzeczywistymi istnieje liczba wymierna. 11. Definicja wartości bezwzględnej i jej własności.
12. Definicja rozszerzonej prostej ¯R i jej własności. 13. Definicja funkcji, ciągu i granicy ciągu.
14. Każdy ciąg zbieżny posiada jedną granicę. 15. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
16. Granica ciągu jest granicą każdego podciągu. 17. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.
18. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
19. Wszystkie podciągi ciągu zbieżnego są zbieżne do tej samej granicy. 20. Operacje algebraiczne na ciągach.
21. Jeżeli lim an = a i an > 0, to a > 0, jeżeli lim an= a i lim bn = b oraz an6 bn, to a6 b. 22. Twierdzenie o trzech ciągach.
23. Jeżeli lim an = a, to lim |an| = |a|, lim |an| = 0 ⇒ lim an= 0.
24. Definicja ciągu Cauchy’ego, ciąg (w R) spełnia warunek Cauchy’ego ⇐⇒ jest zbieżny. 25. Liczba e. Przykłady.
26. Definicja ciągu rozbienego do +∞ (−∞).
27. Jeżeli ciąg jest monotoniczny i nieograniczony, to jest rozbieżny do +∞ (−∞).
28. Ciąg jest nieograniczony z góry (dołu) ⇐⇒ posiada podciąg rozbieżny do +∞ (−∞). 29. Ciąg an→ +∞ ⇐⇒ −an→ −∞.
30. Jeżeli lim an = ±∞, to lim(an)−1= 0.
31. Jeżeli an→ +∞, bn jest ograniczony z dołu, to lim(an+ bn) = +∞. 32. Jeżeli lim an = +∞ i bn> c, to lim an· bn= +∞.
33. Jeżeli an> 0 i lim an= 0, to lim(an)−1= +∞.
34. Definicja zbioru liczb granicznych (punktów skupienia ciągu) i jego własności. 35. Definicja granicy górnej i dolnej ciągu.
36. ∀(an)⊂Rlim inf an∈ L(an), lim sup an ∈ L(an).
37. Jeżeli lim sup an < y dla pewnego y ∈ R, to an < y. 38. lim sup(−an) = lim inf an, lim inf(−an) = lim sup an. 39. lim sup(an+ bn) 6 lim sup an+ lim sup bn.
40. Definicja szeregu liczbowego. 41. Suma szeregu 1
n! = e.
42. ∀n∈N0 < e − S(n!1) < n!·n1 , e ∈ R \ Q. 43. Warunek Cauchy’ego zbieżności szeregu. 44. Gdy szereg jest zbieżny, to lim Rn= 0. 45. Definicja szeregu ograniczonego. 46. Kryterium porównawcze szeregu.
47. Jeżeli szereg |ai| 6 bi i bi jest zbieżny, to ai też jest zbieżny. 48. Twierdzenie o zagęszczaniu.
49. Zbieżność i rozbieżność szeregu 1 np.
50. Definicja szeregu naprzemiennego. 51. Twierdzenie Leibniza.
52. Twierdzenie Abela. 53. Kryterium Cauchy’ego. 54. Kryterium d’Alemberta. 55. Definicja szeregu potęgowego.
56. Twierdzenie o promieniu zbieżności szeregu potęgowego. 57. Definicja warunkowej i bezwzględnej zbieżności szeregu. 58. Operacje na szeregach.
59. Iloczyn Cauchy’ego. 60. Twierdzenie Cauchy’ego.
61. Definicja permutacji i szeregu ze zmienioną kolejnością sumowania. 62. Permutacja szeregu bezwzględnie zbieżnego jest równa temu szeregowi. 63. Twierdzenie Riemanna.
64. Definicja punktu skupienia zbioru.
65. Definicja granicy funkcji w punkcie (równoważność definicji Heinego i Cauchy’ego). 66. Definicja otoczenia punktu, ogólna definicja granicy.
67. Operacje na granicach funkcji.
68. Jeżeli f (x)6 g(x), to lim f (x) 6 lim g(x). 69. Twierdzenie o trzech funkcjach.
70. Definicja jednostronnego punktu skupienia zbioru.
71. Definicja granicy jednostronnej funkcji (Heinego i Cauchy’ego). 72. Warunek istnienia granicy funkcji w punkcie.
73. Warunek istnienia granicy jednostronnej funkcji w punkcie. 74. Funkcja monotoniczna posiada granicę jednostronną.
75. Definicja zbioru liczb granicznych, granicy górnej i dolnej funkcji. 76. L(f, x0) jest niepusty, składa się z {y} gdy funkcja posiada granicę. 77. Definicja ciągłości funkcji (równoważność definicji Heinego i Cauchy’ego). 78. Definicja punktu izolowanego zbioru.
79. Jeżeli x0∈ D(f ) i jest punktem izolowanym, to funkcja jest ciągła w tym punkcie. 80. Funkcja jest ciągła w punkcie ⇐⇒ granica równa się wartości funkcji w tym punkcie. 81. Jeżeli f jest ciągła w x0, a g jest ciągła w f (x0), to funkcja g ◦ f jest ciągła w x0. 82. Własności funkcji ciągłych.
83. Warunek Lipschitza.
84. Definicja nieciągłości I i II rodzaju. 85. Twierdzenie Weierstrassa.
86. Własność i twierdzenie Darboux.
87. Jeżeli funkcja ciągła f : [a, b] → R jest różnowartościowa, to funkcja odwrotna też jest ciągła. 88. Definicja ciągłości jednostajnej.
89. Twierdzenie Heinego.
90. Obcięcie funkcji ciągłej jest funkcją ciągłą.
91. Jeżeli funkcje określone na [a, c] i [c, b] są ciągłe, to funkcja określona na [a, b] jest ciągła. 92. Funkcja ciągła przedziałami domkniętymi, jest ciągła.
93. Jeżeli funkcja określona na przedziale jest ciągła, to obraz tej funkcji też jest przedziałem. 94. Funkcja odwrotna do funkcji określonej na przedziale P i ciągłej jest ciągła.
95. Definicja zbieżności punktowej i jednostajnej ciągów funkcyjnych.
96. Jeżeli ciąg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie, to funkcja graniczna jest ciągła. 97. Warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego.
98. Definicja i własności funkcji odległości (kf − gk).
99. Definicja szeregu potęgowego, zbieżności punktowej i jednostajnej.
100. Jeżeli szereg funkcji ciągłych jest jednostajnie zbieżny, to suma jest funkcją ciągłą. 101. Warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej szeregu.
102. Kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregu.
103. Szereg potęgowy jest jednostajnie zbieżny na [a, b], dla dowolnych a, b ∈ (−R, R). 104. Suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą na (-R,R).
105. Definicja funkcji liniowej, i funkcji przedziałami liniowej.
106. Funkcja ciągła na [a, b] jest granicą jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji przedziałami liniowych.
