78
WPŁYW NIELINIOWOCI KWADRATOWEJ NA DYNAMIK UKŁADU MECHANICZNEGO O JEDNYM STOPNIU SWOBODY – CZ III REZONANSE
ROBERT KOSTEK Streszczenie
W artykule tym przedstawiono wpływ nieliniowoci kwadratowej, siły sprysto-ci na dynamik układu mechanicznego. W tej czsprysto-ci badano zjawisko rezonansu. Zaobserwowano w badanym układzie: zaginanie piku rezonansu głównego, bistabil-no, pojawienie si kaskady bifurkacji prowadzcej do chaosu na gałzi rezonansu głównego, zanik bistabilnoci i pojawienie si rozwiza niestabilnych, ograniczenie amplitudy drga, rezonanse ultraharmoniczne. Wymienione zjawiska nie s obserwo-wane w układach liniowych, dlatego modele liniowe nie powinny by stosoobserwo-wane do opisu układów nieliniowych.
Słowa kluczowe: dynamika nieliniowa, nieliniowoĞü kwadratowa Wprowadzenie
Równanie róĪniczkowe opisujące drgania wymuszone przedstawiono poniĪej:
))
(
)
(
)
(
(
1 2 2t
F
dt
dx
F
x
F
m
m
F
dt
x
d
e d s w=
+
+
=
− , (1)gdzie: x – oznacza przemieszenie ciała m, t – czas s, 2 2
,
,
dt
x
d
x
a
– przyĞpieszenie ciała m/s2, dt dx xv,, – prĊdkoĞü ciała m/s, Fs –siłĊ sprĊĪystoĞci N, Fd – siłĊ tłumienia, natomiast Fe – jest siłą wymuszającą. Równanie to przedstawia ideowy opis drgaĔ, poniewaĪ funkcje nie zostały zdefinio-wane. Dopiero po zdefiniowaniu sił moĪna rozwaĪaü metody rozwiązania równania. Badany układ zawiera wyraz kwadratowy opisujący siłĊ sprĊĪystoĞci k2x2, dlatego drgania te są nieliniowe. Ana-lizowane równanie róĪniczkowe zostało przedstawione poniĪej:
))
2
sin(
(
max 2 2 1 1 2 2t
f
P
dt
dx
c
x
k
x
k
m
dt
x
d
e eπ
+
−
−
−
=
− , (2)gdzie: k1 – oznacza współczynnik sztywnoĞci liniowej k1=1N/m, k2 – współczynnik sztywnoĞci nie-liniowej k2=0,1N/m2, c – współczynnik tłumienia c=0,1 (Ns)/m, Pemax – amplitudĊ siły wymuszającej N, fe – czĊstotliwoĞü wymuszenia Hz, natomiast m – masĊ m=1kg. W przypadku gdy
k2 =0 drgania są liniowe. Takie równanie umoĪliwia porównanie drgaĔ liniowych i nieliniowych przez zmianĊ parametru k2. Zmiana tego parametru powoduje inne zachowanie układu. Model fi-zyczny badanego układu przedstawiono na rys. 1.
ħródło: opracowanie własne.
Celem tej pracy jest zaprezentowanie wpływu nieliniowoĞci kwadratowej na dynamikĊ układu oraz wykazanie Īe nieliniowoĞci powinny byü uwzglĊdniane w modelowaniu dynamiki układów mechanicznych, dotyczy to szczególnie rezonansu.
1. Ewolucja zjawiska rezonansu
W poprzednich artykułach wykazano Īe czĊstotliwoĞü drgaĔ swobodnych spada wraz ze wzro-stem amplitudy i pojawiają siĊ wyĪsze harmoniczne. Takie zachowanie układu powoduje zaginanie siĊ piku rezonansu głównego w kierunku niĪszych czĊstotliwoĞci oraz pojawienie siĊ rezonansów ultraharmonicznych. Wzrost amplitudy wymuszenia powinien powodowaü wzrost amplitudy drgaĔ oraz intensyfikacje wyĪej wymienionych zjawisk [1].
Przedstawione poniĪej wykresy prezentują ekstrema lokalne przebiegów czasowych przemiesz-czeĔ uzyskane dla róĪnych czĊstotliwoĞci i amplitud siły wymuszającej (rys. 2–8). Są to charakterystyki rezonansu [2]. Jako pierwszą zaprezentowano charakterystykĊ uzyskaną dla Pemax =0,05N (rys. 2a). W tym przypadku wystĊpują niewielkie róĪnice pomiĊdzy charakterystyką układu liniowego i nieliniowego; dla celów praktycznych moĪna nieliniowoĞü pominąü. Wzrost amplitudy siły wymuszającej do wartoĞci Pemax =0,10N spowodował przesuniĊcie siĊ piku rezonansu głównego w kierunku niĪszych czĊstotliwoĞci, zauwaĪalna stała siĊ takĪe asymetria drgaĔ (rys. 2b). ZauwaĪyü takĪe moĪna pewną nierównoĞü w okolicy połowy czĊstotliwoĞci własnej – ½ rezonansu ultrahar-monicznego. Wzrost amplitudy drgaĔ do Pemax =0,15N spowodował dalsze przesuniĊcie piku rezonansu i zwiĊkszenie amplitudy drgaĔ.
NastĊpnie przebadano charakterystykĊ rezonansu dla nastĊpujących amplitud wymuszenia: P e-max =0,20N (rys. 3a), Pemax =0,25N (rys. 3b), Pemax =0,30N (rys. 3c). Dalszy wzrost amplitudy wymuszenia spowodował zwiĊkszenie asymetrii drgaĔ, która jest wyraĨna w stosunku do drgaĔ li-niowych. Widaü takĪe Īe maksima rezonansu głównego podąĪają za krzywą szkieletową. Natomiast rezonans ½ harmoniczny wciąĪ jest trudny do zauwaĪenia.
Robert Kostek
Wpływ nieliniowoci kwadratowej na dynamik układu mechanicznego o jednym stopniu swobody – cz III rezonanse
80
Rysunek 2. Wykresy rezonansu uzyskane dla nastpujcych wartoci amplitud wymuszenia Pemax
=0,05N a), Pemax =0,10N b), Pemax =0,15N c) ħródło: opracowanie własne.
a)
b)
Rysunek 3. Wykresy rezonansu uzyskane dla nastpujcych wartoci amplitud wymuszenia Pemax
=0,20N a), Pemax =0,25N b), Pemax =0,30N c) ħródło: opracowanie własne.
b)
Robert Kostek
Wpływ nieliniowoci kwadratowej na dynamik układu mechanicznego o jednym stopniu swobody – cz III rezonanse
82
Rysunek 4. Wykresy rezonansu uzyskane dla nastpujcych wartoci amplitud wymuszenia Pemax
=0,35N a), Pemax =0,40N b), Pemax =0,45N c) ħródło: opracowanie własne.
a)
b)
Rysunek 5. Wykresy rezonansu uzyskane dla nastpujcych wartoci amplitud wymuszenia Pemax
=0,50N a), Pemax =0,55N b), Pemax =0,60N c) ħródło: opracowanie własne.
b)
Robert Kostek
Wpływ nieliniowoci kwadratowej na dynamik układu mechanicznego o jednym stopniu swobody – cz III rezonanse
84
Rysunek 6. Wykresy rezonansu uzyskane dla nastpujcych wartoci amplitud wymuszenia Pemax
=0,65N a), Pemax =0,70N b), Pemax =0,75N c) ħródło: opracowanie własne.
a)
b)
Rysunek 7. Wykresy rezonansu uzyskane dla nastpujcych wartoci amplitud wymuszenia Pemax
=0,80N a), Pemax =0,85N b), Pemax =0,90N c) ħródło: opracowanie własne.
b)
Robert Kostek
Wpływ nieliniowoci kwadratowej na dynamik układu mechanicznego o jednym stopniu swobody – cz III rezonanse
86
Rysunek 8. Wykresy rezonansu uzyskane dla nastpujcych wartoci amplitud wymuszenia Pemax
=0,95N a), Pemax =1,00N b), Pemax =1,05N c) ħródło: opracowanie własne.
a)
b)
Rysunek 9. Wykresy rezonansu uzyskane dla nastpujcych wartoci amplitud wymuszenia Pemax
=1,10N a), Pemax =1,15N b), Pemax =1,20N c) ħródło: opracowanie własne.
b)
Robert Kostek
Wpływ nieliniowoci kwadratowej na dynamik układu mechanicznego o jednym stopniu swobody – cz III rezonanse
88
Dalszy wzrost amplitudy wymuszenia do Pemax =0,35N spowodował, Īe pik rezonansowy z jed-nej strony stał siĊ stromy z drugiej zaĞ jest łagodniejszy (rys. 4a). To przesuniĊcie piku rezonansowego prowadzi do pojawienia siĊ bistabilnoĞci, wiĊc dla pewnych czĊstotliwoĞci moĪna zaobserwowaü dwa rozwiązania stabilne (rys. 4b). W tym układzie wystĊpują takĪe rozwiązania niestabilne; jedne dąĪy do minus nieskoĔczonoĞci, drugie zaĞ jest okresowe. Dalszy wzrost ampli-tudy wymuszenia zwiĊksza obszar bistabilnoĞci, zwiĊksza asymetrie drgaĔ, przesuwa pik rezonansowy w kierunku niĪszych czĊstotliwoĞci i uwydatnia rezonans ½ ultraharmoniczny (rys. 4c).
Kolejne zwiĊkszanie amplitudy wymuszenia powoduje poszerzenie obszaru bistabilnoĞüi (rys. 5ab). Drgania nieliniowe mają wyraĨnie wiĊkszą amplitudĊ od drgaĔ liniowych, wiĊkszy jest takĪe rezonans ½ harmoniczny. Jest oczywiste Īe model liniowy nie opisuje tych drgaĔ poprawnie. Ko-lejne zwiĊkszenie amplitudy siły wymuszającej do Pemax =0,60N, powoduje pojawienie siĊ bifurkacji typu widły na gałĊzi rezonansu głównego (rys. 5c). W efekcie pojawia siĊ kolejne niesta-bilne rozwiązanie okresowe i obszar bistabilnoĞci staje siĊ mniejszy w stosunku do rys. 5b.
NastĊpnie przebadano rezonans dla nastĊpujących amplitud wymuszenia: Pemax =0,65N, Pemax =0,70N, Pemax =0,75N. Bifurkacje na gałĊzi rezonansu głównego stały siĊ wyraĨniejsze (rys. 6). Amplituda rezonansu głównego nie roĞnie poniewaĪ jest ograniczona przez siodło i mieĞci siĊ w zakresie od xmax =5m do xmin=-10m. Obszar bistabilnoĞci staje siĊ mniejszy, co jest wynikiem ogra-niczenia amplitudy drgaĔ. Ponad to amplituda rezonansu ½ ultraharmonicznego stała siĊ wiĊksza. Na rysunku 6c pojawiły siĊ dodatkowe punkty które reprezentują ekstrema wywołane przez drugą harmoniczną, dotyczy to rezonansu ½ ultaharmonicznego.
Takie same zjawiska jak poprzednio są obserwowane na rys. 7. Obszar bistabilnoĞci staje siĊ mniejszy a amplituda rezonansu ½ harmonicznego wiĊksza. Ponad to rezonans 1/3 ultra harmo-niczny zaczyna siĊ pojawiaü. Jego czĊstotliwoĞü w przybliĪeniu wynosi jedną trzecią czĊstotliwoĞü własnej.
NastĊpnie przebadano rezonans dla wiĊkszych amplitud wymuszenia, które wynosiły Pemax =0,95N (rys.8a), Pemax =1,00N (rys.8b), Pemax =1,05N (rys.8c). W tym przypadku znikł obszar bista-bilnoĞci, a zamiast tego pojawił siĊ obszar bez rozwiązaĔ okresowych. W tym przedziale rozwiązania dąĪą do minus nieskoĔczonoĞci. Ponad to rezonanse ultlaharmoniczne stały siĊ jeszcze wiĊksze. Ich czĊstotliwoĞci są przesuniĊte w kierunku mniejszych czĊstotliwoĞci w stosunku do czĊstotliwoĞci teoretycznych, poniewaĪ w tym kierunku przemieszcza siĊ rezonans główny. Model liniowy nie pasuje do opisu tych drgaĔ co widaü na rys. 8. NaleĪy wspomnieü ze bifurkacje na gałĊzi rezonansu głównego były badane w poprzednim artykule; zauwaĪono kaskadĊ bifurkacji prowa-dzącą do chaosu Pemax =1,00N.
Dalszy wzrost amplitudy wymuszenia prowadzi do zwiĊkszenia obszaru bez rozwiązaĔ okre-sowych, w wyniku czego rezonans główny zanika (rys. 9). Natomiast amplitudy rezonansów ultlaharmonicznych ½, 1/3 i ¼ stają siĊ wiĊksze.
3. Podsumowanie
W artykule tym przedstawiono w sposób syntetyczny róĪnice pomiĊdzy rezonansem układu liniowego i rezonansami układu nieliniowego o jednym stopniu swobody. Wiedza ta jest przydatna w projektowaniu maszyn i wyjaĞnianiu dynamiki układów mechanicznych. Wiele zjawisk które utrudniają diagnozowanie maszyn, na przykład bistabilnoĞü, moĪna wyjaĞniü na podstawie dyna-miki nieliniowej. Wiedza na ten temat nie jest rozpowszechniona wĞród diagnostów.
[1] Awrejcewicz J., Drgania deterministyczne układów dyskretnych, WNT, Warszawa 1996. [2] Kostek R., Analysis of the primary and superharmonic contact resonances – Part 1, Journal
of Theoretical and Applied Mechanics, 51, 2, s. 475–486, Warsaw 2013
INFLUENCE OF QUADRATIC SPRING FORCE ON SINGLE DEGREE OF FREEDOM MECHANICAL SYSTEM DYNAMICS – PART III RESONANCES
Summary
This article presents influence of quadratic spring force on dynamics of single degree of freedom mechanical system. The following phenomena were observed: bending resonance peaks, bistability, period doubling cascade leading to chaos, sta-bility being replaced by unstable solutions, limitation of vibration amplitude, superharmonic resonances, and unstable solutions. These phenomena are not ob-served in linear system, thus linear models should not be used to describe nonlinear systems. linearization can lead to large errors..
Keywords: nonlinear dynamics, quadratic nonlinearly
Robert Kostek
Zakład Pojazdów i Dignostyki Wydział InĪynierii Mechanicznej
Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy e-mail: robertkostek@o2.pl
