Metody numeryczne w fizyce

Metody numeryczne w fizyce

FZP002934wcL

rok akademicki 2019/20 semestr letni

Wykład 8

Karol Tarnowski

karol.tarnowski@pwr.edu.pl

L-1 p. 220

• Równania paraboliczne

– Równanie przewodnictwa cieplnego – Metody:

• różnic skończonych

• Crancka-Nicolson

D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2006, rozdziały 9.1, 9.2

Plan wykładu

• Równania przewodnictwa cieplnego

• Przypadek jednowymiarowy

Równania paraboliczne

Równanie przewodnictwa cieplnego

xx yy zz t

u  u  u  u

 

     

     

     

0, 0 1

,0 0 1

0, 0

1, 0

xx t

u u t x

u x g x x

u t a t t

u t b t t

   

  

 

 

Równania paraboliczne

Równanie przewodnictwa cieplnego

 

     

     

     

0, 0 1

,0 0 1

0, 0

1, 0

xx t

u u t x

u x g x x

u t a t t

u t b t t

   

  

 

 

• siatka punktów

Równania paraboliczne

Metoda różnic skończonych – metoda jawna

 ⁰ 

t j   j t j  ^x _i ^{  i x}  ^{i  0} 

 

1

1 1

2

2

xx t

j j j j j

i i i i i

u u

u u u u u

x t



 



  

 

 ^u _i ^{j  u x t}  ^{i , j} 

Równania paraboliczne

Metoda różnic skończonych – metoda jawna

 

   

 

1

1 1

2

1

2 1 1

1

1 1

2

2 1 2

j j j j j

i i i i i

j j j j j

i i i i i

j j j j

i i i i

u u u u u

x t

u t u u u u

x

u su s u su



 



 



 

  

 



    



   

  ²

s t

x

 



• na potrzeby analizy stabilności zakładamy, że a(t) = b(t) = 0

Równania paraboliczne

Analiza stabilności

 

1

1 1

1

j j 1 2 j j

i i i i

j j

u su s u su

U AU



 



   



1 2 0 0

1 2

0 0

0 0 1 2

s s

s s s

A

s

s s

  

  

 

 

  

 

  

 

Równania paraboliczne

Analiza stabilności

1 2 0 0

1 2

0 0

0 0 1 2

s s

s s s

A I sB

s

s s

  

  

 

 

  

 

 

  

 

2 1 0 0

1 2 1

0 0

1

0 0 1 2

B

  

   

 

 

     

  

 

i

1 s

   

  ^{A 1}

 

1

s  2

Równania paraboliczne

Metoda różnic skończonych – metoda niejawna

 

1

1 1

2

2

xx t

j j j j j

i i i i i

u u

u u u u u

x t



 



  

 



  ¹

1 1 2 ^j 1

j j j

i i i i

su _ s u su _ u ^

    

 ^{i j 1 2 i j i j 1}  ^{i j i j 1}

s u _  u  u _  u  u ^

Równania paraboliczne

Metoda różnic skończonych – metoda niejawna

  ¹

1 1

1

1 2 ^j

j j j

i i i i

j j

su s u us u

AU U



 



    



1 2 0 0

1 2

0 0

0 0 1 2

s s

s s s

A

s

s s

 

 

    

 

 

     

   

 

A I sB  

Równania paraboliczne

Metoda Cranka-Nicolson

   

 

1 1 1 1

1 1 1 1

2 2

2 2

1

j j j j j j j j

i i i i i i i i

u u u u u u u u

x x t

 

   

        

  

  

 

1 1 1 1

1 1

2

j

2

i i i i i

u u u u u

x t

   



 



 

  

1

1 1

2

j

2

i i i i i

u u u u u

x t





 



 



1

  2

Równania paraboliczne

Metoda Cranka-Nicolson

 

 

1

2 2

2 2

j j j j j j

i i i i i i

su

s u su

su

s u

su

        

 ^{2 I sB U}   _j   ^{2 I sB U}   _j  ₁

 ²  

² 

j j

U  I sB 

I sB U 

Równania paraboliczne

Metoda Cranka-Nicolson

 

 

   

1

1

2 1 2

j j

j j

j j

U I sB U I sB U U

I sB U I sB U







 

 

  