Wykaza¢, »e dla dowolnego λ &gt

‚wiczenia z Analizy Zespolonej, Matematyka MiNI PW, rok akad. 2018/19.

7. TWIERDZENIE ROUCHÉ I ZASADA MAKSIMUM

1. Wykaza¢, »e wielomian 2z⁵+ 6z − 1 ma jeden pierwiastek zawarty w przedziale (0, 1) i cztery pierwiastki w pier±cieniu {z ∈ C : 1 < |z| < 2}.

2. Ile rozwi¡za« ma równanie z⁴+z³−4z+1 = 0w pier±cieniu {z ∈ C : 1 < |z| < 3}?

3. Wykaza¢, »e dla dowolnego λ > 1 równanie z + e^−z = λ ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie o dodatniej cz¦±ci rzeczywistej.

4. Niech λ b¦dzie ustalon¡ liczb¡ zespolon¡ o module mniejszym od 1. Wykaza¢, »e dla dowolnego n ∈ N funkcja h(z) = (z − 1)ⁿe^z− λ = 0ma n zer w dysku D(1, 1) oraz, »e h nie ma innych zer w prawej póªpªaszczy¹nie. Wyznaczy¢ krotno±¢ tych zer.

5. Wykaza¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej n ≥ 3 równanie zⁿ+ nz − 1 = 0

ma n pierwiastków w kole D 0, 1 +

q 2 n−1

 .

7. Czy istnieje funkcja f holomorczna w D(0, 1) i taka, »e dla dowolnego z ∈ D(0, 1) zachodzi równo±¢ |f(z)| = e^|z| ?

8. Niech P (z) = zⁿ+ a_n−1zⁿ⁻¹+ ... + a₀, gdzie an−1, .., a₀ ∈ C.

Wykaza¢, »e wówczas P (z) ≡ zⁿ albo istnieje punkt ζ o module 1 taki, ¿e

|P (ζ)| > 1.

1