Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J Seria: B U D O W N IC T W O z. 95
2002 N r kol. 1559
T om asz M a jew sk i*
P o litech n ik a G d a ń sk a
WPŁYW SM UKŁOŚCII MIMOŚRODU NA NOŚNOŚĆ
ŻELBETOWYCH ELEMENTÓW MIMOŚRODOWO ŚCISKANYCH
S tr e szc z en ie . W a rty k u le p rz e d sta w io n o w y n ik i an alizy n o śn o ści m im o śro d o w o ściskanych ścian ż elb eto w y c h . O b lic z e n ia w y k o n a n o d la p łas k ie g o sta n u o d k sz tałc e n ia, stosując m eto d ę e le m en tó w sk o ń c z o n y c h . D o o p isu b e to n u z a s to s o w a n o p ra w o sp rę ż y sto - p lastyczne D ru c k e ra -P ra g e ra z e w z m o cn ien ie m i o sła b ie n iem , z b ro je n ia sp rę ży s to -p la sty cz n e , praw o von M isesa.
INFLUENCE OF SLENDERNESS AN ECCENTRICITE ON THE BEARING CAPACITY OF REINFORCED CONCRETE ELEMENTS
S u m m a ry . In th is p a p er, th e re su lts o f c alcu la tio n s fo r re in fo rc e d c o n c re te w a lls su b je ct to ecc en tric lo a d in g a re p resen te d . T h e n u m erical c a lc u la tio n s are carried o u t fo r p la n e strain with a fin ite e le m en t m eto d . T o d e sc rib e th e b e h a v io u r o f c o n cre te , an e la stic -p la s tic constitutive la w by D ru c k e r-P ra g e r w ith h a rd e n in g and so fte n in g w a s u sed. T h e rein fo rcem en t w a s m o d ele d w ith an e la sto -p la stic la w b y v o n M ises.
1. Wstęp
N o ś n o ść ż e lb eto w y c h e le m e n tó w m im o śro d o w o śc isk a n y ch z ależ y o d w ie lu ró ż n y ch param etrów , tak ic h ja k : k la s a b e to n u , k la s a stali, sto p ień zb ro je n ia , w y m iary p rz ek ro ju p o p rzeczn eg o , w y s o k o ś ć e le m en tu , w a ru n k i p o d p a rc ia o ra z m im o śró d o b c ią że n ia. W arty k u le określono w p ły w m im o śro d u o b c ią że n ia o ra z sm u k ło śc i e le m en tu n a n o śn o ś ć ścian. W analizie d la p ła s k ie g o sta n u o d k sz ta łc e n ia w y k o rz y s ta n o m e to d ę e le m en tó w sk o ń c z o n y ch . D o opisu z a c h o w a n ia się b e to n u z a s to s o w a n o p ra w o sp rę ży s to -p la sty cz n e w g D ru c k e ra -P ra g e ra ze w z m o c n ien ie m i o sła b ie n iem . Z a c h o w a n ie stali o p isa n e z o stało p ra w em sp rę ży sto -
* O p iekun n a u k o w y : D r inż. Ja c ek T ejch m an , prof. P o litec h n ik i G dańskiej
370 T. M ajewski
p las ty c zn y m w g v o n M isesa. O b lic z e n ia p o ró w n a n o z w y n ik am i d o św ia d c z e ń w ykonanych d la s łu p ó w p rz ez L lo y d i R a n g a n a [1] o raz K im a i Y a n g a [2],
2. Model betonu
Z a c h o w a n ie b e to n u o p isa n e z o sta ło z a p o m o c ą n ie s to w a rz y sz o n e g o prawa m a te ria ło w e g o sp rę ż y s to -p la s ty c z n e g o w g D ru c k e ra -P ra g e ra z iz o tro p o w y m w zm o cn ien iem i o sła b ie n iem [3],[4], W o b lic z e n ia c h p rz y ję to stały m o d u ł sp ręży sto ści. P o w ierzch n ia p las ty c zn o ś ci / i p o w ie rz c h n ia p o te n c ja łu p las ty c zn e g o g p rz e d sta w io n e s ą następującym i za le ż n o śc ia m i (rys. 1):
gdzie:
t - d ru g i n iez m ie n n ik d e w ia to ra n a p ręż en ia , Sjj - te n s o r d e w ia to ra n a p rę ż e n ia ( s 1J=cr,J-p), p - n a p rę ż e n ie śre d n ie, Oy - te n s o r n a p rężen ia , c - k o h e z ja, kp - d ru g i n ie z m ie n n ik dew iatora o d k sz ta łc e ń p lasty c zn y c h , p - m ia ra tarc ia , a - m ia ra z m ia n o b jęto ścio w y ch .
f = t + p(k '')p- c , ( O
(2)
(
3)
CC rtt
Rys. 1. Pow ierzchnia plastyczności f i potencjału plastycznego g w płaszczyźnie r i p Fig. 1. Y ield and flow potential curves in the r-p plane
W pływ sm u k ło ści i m im o śro d u n a nośn o ść. 371
eta ao* o.S3
Rys. 2. M iara tarcia p=sin<t> i m iara zmian objętościowych a= sin p w funkcji k p
Fig. 2. M easures o f frictional strength p=sin(|> and volume change a = s in p versus k p
M ia rę ta rc ia |i i m ia rę zm ia n o b jęto śc io w y ch a p rz y ję to w g rys. 2, g d z ie p=sin<j) i a = s in P . P a ram etr ((> o z n a c z a m o b ilizo w an y k ąt ta rc ia w e w n ę trz n e g o , p a ra m e tr p m o b iliz o w a n y kąt d ylatancji. P a ra m e try (i i a o k re ślan e są n a p o d sta w ie w y n ik ó w d o św ia d c z e ń ś c isk a n ia w jed n o o sio w y m sta n ie n a p rężen ia. O d stro n y śc isk a n ia i od stro n y ro z c ią g a n ia lin io w a p o w ierzch n ia z n is z c z e n ia /= 0 z o sta ła z am k n ię ta lin io w y m i n a s a d k a m ip =fQC (śc is k a n ie ) i (ro zciąg an ie), g d z ie fcc i fu są w y trz y m a ło ś c ią b e to n u o d p o w ie d n io n a śc isk a n ie i ro z c ią g a n ie w d w u o sio w y m sta n ie n a p rężen ia. Z a s to s o w a n e p ra w o z a w ie ra n a stę p u ją c e fu n k c je i sta łe m ateriałow e: fu n k c je |i=f(łcp) i a=f(Kp) o ra z 5 stały ch m ate ria ło w y ch : E - m o d u ł sp rę ży sto ści, v - lic z b a P o isso n a, c, fcc i ftt. W o b lic z e n ia c h n ie u w z g lę d n io n o p e łz a n ia b eto n u .
3. Model stali
D o o p isu z b ro je n ia w y k o rz y sta n o s to w a rz y s z o n e sp rę ży s to -p la s ty c z n e p ra w o m ateriało w e w g v o n M isesa. W p ra w ie ty m fu n k c je p o w ie rzc h n i p las ty c zn o ś ci f i p o te n c ja łu plasty czn eg o g m a ją n a s tę p u ją c ą p ostać:
/ = g = T - c ( K p ) (4)
D la kp< 0 .0 5 % k o h e zja c w z ra s ta lin io w o o d 0 d o fy/2, n a to m ias t d la k p> 0 .0 5 % p rz y jm u je stałą w a rto ść ró w n ą fy/2 (fy j e s t g ra n ic ą p las ty c zn o ś c i stali).
372 T. M ajew ski
4. Badania doświadczalne
W celu o k re śle n ia w p ły w u zm ian y m im o śro d u n a n o śn o ś ć e le m en tu L lo y d i R a n g a n [1]
p rz ep ro w a d z ili b a d a n ia m im o śro d o w o śc isk a n y c h słu p ó w ż elb eto w y c h . D o b a d a ń przyjęto słu p y o p rz e k ro ju p o p rz e c z n y m 0.1 m x 0.3 m i w y so k o śc i 1.5 m . C a łk o w ity stopień z b ro je n ia w y n o s ił 2 % (z b ro je n ie sy m e try c zn e ), g ru b o ś ć o tu le n ia b y ła ró w n a 0.01 m . N a obu k o ń c ac h słu p y p o d p a rte b y ły p rz eg u b o w o . M im o śró d o b c ią że n ia w y n o s ił e=0.01 m , 0.03 m i 0 .0 4 m .
C elem b a d a ń K im a i Y a n g a [2] b y ło o k re śle n ie w p ły w u sm u k ło ści n a n o śn o ść elem entów m im o śro d o w o ścisk an y ch . B a d an ia w y k o n a n o d la ż elb e to w y c h s łu p ó w przegubow o p o d p a rty c h n a k o ń cach . W y m iary słu p ó w , przekrój p o p rz ec zn y 0 .0 8 m x 0 .0 8 m , całkow ity sto p ie ń z b ro je n ia 1.98% (z b ro je n ie sy m e try c zn e ), g ru b o ść o tu le n ia 0 .015 m . O bciążenie p rz y k ła d a n o n a stały m m im o śro d z ie e = 0 .0 2 4 m . P a ra m e tre m z m ie n n y m b y ła w ysokość słu p ó w (0 .2 4 m -5- 2 .4 m ).
5. Obliczenia numeryczne
O b lic z e n ia n u m e ry c z n e w y k o n a n e zo stały d la śc ian , w p ła s k im sta n ie odkształcenia.
W p ły w m im o śro d u o b c ią że n ia b a d a n o n a ścian a ch , k tó ry ch w y m ia ry p rz y ję to n a podstawie b a d a ń [1], D o o b lic z eń p rz y ję to ścian y o w y so k o śc i 1.5 m , p rz ek ro ju p o p rz ec z n y m 0.1 m x
1.0 m . C a łk o w ity sto p ień z b ro je n ia w y n o s ił 2% , p rz y g ru b o ści o tu le n ia rów nej 0.01 m . Ściany z b ro jo n e b y ły sy m etry czn e. Z a ło ż o n o p e łn ą w s p ó łp ra c ę z b ro je n ia g łó w n e g o z betonem . Na k o ń c a c h śc ian y p o d p a rto p rz eg u b o w o . O b c ią ż en ie p rz y k ła d a n e b y ło n a zmiennym m im o śro d z ie (e = 0 .0 0 m + 0 .0 4 m ).
W celu o k re śle n ia w p ły w u sm u k ło ści w y k o n a n o o b lic z e n ia ścian, k tó ry c h wymiary p rz y ję to n a p o d sta w ie b a d a ń [2], W y m ia ry p rz ek ro ju p o p rz e c zn e g o 0 .0 8 m x 1.0 m , całkowity sto p ień z b ro je n ia 1.98% (z b ro je n ie sy m e try c zn e ). G ru b o ś ć o tu le n ia w y n o s iła 0.015 m.
O b c ią ż e n ie p rz y k ła d an o n a stały m m im o śro d z ie e = 0 .2 4 m. Z a ło ż o n o p e łn ą w spółpracę z b ro je n ia g łó w n e g o z b e to n e m (b ra k p o ślizg u ), lub m o ż liw o ść p e łn e g o p o ślizg u n a styku stal- b eto n . Ś c ian y n a o b u k o ń c ac h p o d p a rte b y ły p rz eg u b o w o . W o b lic z en iac h p rzy jęto stałe m ate ria ło w e w g ta b .l.
W p ły w sm u k ło ści i m im o śro d u n a nośn o ść. 373
T a b e la 1 S tałe m a te ria ło w e d la b e to n u p rz y ję te
do o b lic z eń ścian
Obliczenia [ 11 O bliczenia [2]
E 38.4 GPa 23 .7 GPa
V 0.2 0.2
<t>D 4*.Oo
40°
4>or 20° 20°
P„ 10° 10°
P c r 0° 0°
K>’ 0.3% 0.3%
c 10.0 M Pa 4 .6 MPa
fee - 25.5 MPa
fu 2.0 M Pa 1.5 MPa
W c e lu p o ró w n a n ia w y n ik ó w o b lic zeń n u m ery c zn y c h z b a d an ia m i o b lic z o n e n o śn o ści ścian p o m n o ż o n e zo stały p rz ez g ru b o ści słu p ó w (o d p o w ie d n io 0.3 d la ścian o w y m ia ra c h w g [1] i 0.08 d la ścian o w y m ia ra c h w g [2]). P rz e lic z o n e w y n ik i p o ró w n a n o z o b liczen iam i nośności w g P N -B -0 3 2 6 4 :1999 [10],
N a ry s .3 p rz e d sta w io n o w y k re sy z ależn o ści o = P /(b l) w fu n k cji p io n o w y c h o d k sz ta łc e ń o bliczone d la je d n o o s io w o śc iskanej p ró b k i b e to n o w ej (h = 1 5 0 m m , b = 1 5 0 m m ) p rzy założeniu g ład k iej dolnej i górnej p o d sta w y (1=1.0 m - d łu g o ść p ró b k i, f0 - w y trz y m a ło ś ć betonu p rz y je d n o o s io w y m ścisk a n iu ). O b lic z o n a w y trz y m a ło ś ć b e to n u w y n o si 2 5 .5 M P a i 59.0 M P a. W arto śc i o d p o w ia d a ją w y trz y m a ło ś ci b e to n u w d o św iad czen iach .
■ ¿"'J
Rys.3. W ykres zależności o-edla próbki betonu (jednoosiowe ściskanie):
a) obliczenia [1], b) obliczenia [2]
Fig. 3. Calculated stress-strain curve during uniaxial compression for the concrete specimen:
a) calculations [11, b) calculations [2]
374 T. Majewski
D la stali p rz y ję to n a stęp u ją c e sta łe m ateriało w e: E s=210 G P a, v = 0 .3 , fy= 4 3 0 MPa (o b lic ze n ia w g [1]), E s= 210 G P a, v= 0 .3 , fy= 3 8 7 M P a (o b lic z e n ia w g [2]).
D o o b liczeń m e to d ą ele m en tó w sk o ń czo n y ch z as to s o w a n o e le m en ty prostokątne, w k tó ry ch k ażd y sk ład ał się z 4 e le m en tó w tró jk ątn y ch . E le m en ty tró jk ą tn e o p isa n o liniowymi fu n k c ja m i kształtu . O b licz e n ia w y k o n a n o d la p ła s k ie g o stan u o d k sz tałce n ia. W obliczeniach u w z g lę d n io n o d u ż e o d k sz ta łce n ia (tzw . p o d e jście „ u p d a ted L a g ra n g ia n ” ). D o rozw iązyw ania n ie lin io w e g o u k ład u ró w n a ń ru ch u z as to s o w a n o z m o d y fik o w a n ą m eto d ę N ew tona-R aphsona.
O b licz en ia p rz ep ro w a d z o n o d la g lo b aln ej, sp ręży stej m acierzy szty w n o ści. D la wszystkich p rz y p a d k ó w o b c ią że n ia p rz y ro s t siły p ionow ej b y ł stały. Z a n o śn o ść ścian p rzy jm o w an o siłę, p rz y k tórej n ie u z y sk a n o zb ie żn o ści o b liczeń z u w a g i n a ich w y b o c ze n ie.
6. Wyniki
T a b e la 2 z aw ie ra w y n ik i n o śn o ści ścian d la ró ż n y c h w ie lk o ści m im o śro d u obciążenia.
W y n ik i n u m ery c zn e p o ró w n a n o z w y n ik am i a n ality czn y m i w g [10] o ra z wynikami d o św ia d c z e ń [1], U z y sk a n o d o b rą z g o d n o ść o b lic z eń z d o św iad czen iam i. Wyniki n u m ery c zn e są z b liż o n e d o w y n ik ó w n o śn o ści o b lic z o n y ch w g [10], P rz y zw iększeniu m im o śro d u o b c ią ż e n ia n o śn o ść ściany m aleje.
T a b e la 2 N o ś n o ść ścian d la ró ż n y ch w ie lk o ści m im o śro d u d z ia ła ją c e g o o b c ią ż e n ia - e
M imośród e MES Doświadczenia [1| Obliczenia f 101
e=0.00 m 1929 kN - 2028 kN
e=0.01 m 1266 kN 1192 kN 1267 kN
e=0.02 m 962 kN - 983 kN
R y su n e k 4 p rz ed sta w ia p rz y k ła d o w y rozw ój p io n o w y c h n a p ręż eń n o rm aln y ch 0 2 2 w środku w y so k o śc i ścian y (e = 0 .0 2 m ) w fu n k cji p rz y ło ż o n e g o o b c ią że n ia - d la ścian y w g [1], N a p rę ż e n ia CT22 w zb ro je n iu strefy ro zciąg an ej s ą d u ż o m n ie jsz e od g ra n ic y plastyczności (022=70 M P a « fyd=430 M P a). N o ś n o ść zb ro je n ia ro z ciąg a n e g o n ie je s t w ię c w pełni w y k o rz y stan a .
W pływ sm u k ło ści i m im o śro d u n a nośność. 375
P[kN]
Rys. 4. Pionowe naprężenia normalne o)2 w środku wysokości ściany w funkcji obciążenia (e=0.02 m. s-stal, c-beton)
Fig. 4. Vertical normal stresses On in the m id-height o f the wall (e=0.02 m , s-steel, c-concrete)
W tab e li 3 z e s ta w io n o w y n ik i o b lic z e ń n o śn o ści ścian ró żn ej w y so k o śc i p rz y stałej w ielkości m im o śro d u . U z y sk a n o d o b rą z g o d n o ść o b liczeń z d o św ia d c ze n ia m i. W ra z z e w zrostem sm u k ło ści n o śn o ś ć ścian m aleje. Ś ciany, w k tó ry ch z a ło ż o n o p e łn ą w s p ó łp ra c ę zbrojenia z b e to n e m , m iały n o śn o ść w ię k sz ą (o k o ło 15% ) w p o ró w n a n iu d o ścian , w k tó ry ch przyjęto p ełn y p o ślizg b e to n u w z d łu ż zb ro jen ia.
T a b e la 3 N o ś n o ś ć ścian d la różnej w y so k o śc i i stały m m im o śro d z ie e = 0 .0 2 4 m
W ysokość Smukłość
X Doświadczenia [2] Obliczenia [10] MES
(brak poślizgu)
MES (pełen poślizg)
1=0.24 m 10 83.1 kN 98 kN 91 kN 87 kN
1=0.48 m 20 - 92 kN 88 kN 84 kN
1=0.72 m 30 - 86 kN 85 kN 81 kN
1=1.44 m 60 63.7 kN
65.7 kN 63 kN 78 kN 74 kN
1=1.90 m 80 - 52 kN 68 kN 59 kN
1=2.40 m 100 38.2 kN
35.0 kN 40 kN 56 kN 44 kN
376 T. Majewski
a)
b )
Rys. 5. Naprężenia normalne a 22 w środku wysokości ścian w funkcji przyłożonego obciążenia:
a) 7=10, b) 7=60, c) 7=100, (e =0.024 m, s-stal, c-beton) Fig. 5. Vertical normal stresses a21 at the mid-height o f the wall
(a-7 =10, b-7 =60, c-7=100, e=0.024 m, s-steel, c-concrete)
W pływ sm u k ło ści i m im o śro d u n a nośność. 377
N a rys. 5 p o k a z a n o p rz y k ła d o w y rozw ój p io n o w y c h n a p ręż eń n o rm a ln y c h o22 w śro d k u w ysokości d la ró ż n y c h sm u k ło ści X (X = 1 0 , 60, 100). Z n is z c z e n ie w s zy s tk ic h ścian n a stąp iło w w yn ik u w y c z e rp a n ia n o śn o ści b e to n u w stre fie ścisk an ej. N a p rę ż e n ia w z b ro je n iu rozciąganym b y ły d u ż o m n ie jsz e od g ra n ic y p la s ty c zn o ś c i fyd=387 M P a (np. CT22<120 M P a dla ^= 1 0 ). W z b ro je n iu śc isk a n y m d la ścian k rę p y ch (X.<30) n a p rę ż e n ia C22 b y ły b lis k ie fyd, natom iast d la ścian sm u k ły ch (A >30) b y ły d u ż o m n ie jsz e od fyd (np. d la X=10, 022= 380 M P a, dla X=100, 022=150 M P a).
R y su n e k 6 p rz ed sta w ia o b lic z o n e i p o m ie rzo n e p rz e m ie sz c z e n ia p o z io m e w p o ło w ie w ysokości ścian w fu n k cji o b c ią że n ia P. D la ścian k rę p y ch (A,<30) o b lic z o n e u g ię c ia b y ły identyczne z p o m ie rzo n y m i. D la ścian sm u k ły ch (X >30) u g ię c ia p o m ie rz o n e są w ię k sz e od obliczonych.
P [kN]
Rys. 6. Przemieszczenia poziome w środku wysokości ścian w funkcji obciążenia (e-doświadczalne, c-M ES, 1-ściana krępa X=10, 2-ściana sm ukła X.=100) Fig. 6. Horizontal deflection a t the m id-height o f the wali
(e-experimental, c-FEM , 1-short wali - X=10, 2-slender wali - X= 100)
7. Wnioski
N a p o d sta w ie p rz ep ro w a d z o n ej a n alizy m o ż n a stw ierd zić, że:
1 U z y sk a n o d o b rą z g o d n o ść o b lic z e ń z d o św ia d czen iam i.
2. W z ro s t m im o śro d u o b c ią ż e n ia i sm u k ło ści e le m en tu p o w o d u je z n a c z n y sp ad ek n o śn o ści.
378 T. Majewski
3. U w z g lę d n ie n ie w o b lic z en iac h n u m ery c zn y c h p e łn e g o p o ślizg u m ię d z y zbrojeniem g łó w n y m a b eto n em p o w o d u je sp a d e k n o śn o ści o 10% - 2 0 % .
L IT E R A T U R A
1. L lo y d N .A ., R a n g an B: S tu d ies on H ig h -S tre n g th C o n c rete C o lu m n s u n d e r Eccentric C o m p ressio n , A C I S tru ctu ral Jo u rn al, V, 1996, 6 3 1 -6 3 8 .'
2. K im J.K ., Y a n g J.K .: B u c k lin g b e h a v io r o f sle n d er h ig h -stren g th co n cre te columns, E n g in e e rin g S tru ctu re, 1, 1995, 39-51.
3. T ejch m a n J., W u W .: N u m e ric a l stu d y o n sh ear b a n d p a tte rn in g in a Cosserat c o n tin u u m , A cta M ec h a n ic a , 99, 1993, 61-74.
4. T ejch m a n J.: M o d e lin g o f sh e a r lo ca liz atio n an d a u to g e n e o u s d y n a m ic effects in g ra n u la r b o d ies, P u b lic a tio n S e ries o f th e In stitu te fo r R o c k an Soil M echanics, U n iv e rsity o f K a rlsru h e, 140, 1997.
5. T ejch m a n J.: A n a liz a n o śn o ści sm u k ły ch słu p ó w ż e lb eto w y c h m imośrodowo ścisk an y ch , Z es zy ty N a u k o w e P o lite c h n ik i G d ań sk iej, 585, 2 0 0 1 , 2 8 1-288.
6. M a jew sk i T ., T ejch m a n J.: Z a s to s o w a n ie M E S d o o p isu z a c h o w a n ia się elementów żelb eto w y c h , S y m u lacja w b a d an iac h i ro zw o ju , Z b ió r re fe ra tó w V III W arsztatów N a u k o w y c h P T S K , G d a ń sk -S o b ie sz ew o , V III-IX 2 0 0 1 , 2 5 9 -2 6 6 .
7. K lisiń sk i M ., M ró z Z .: O p is n ie s p ręż y sty c h d e fo rm acji i u sz k o d z e n ia b e to n u , Rozprawy 193, P o lite c h n ik a P o z n a ń sk a , 1988.
8. P ie tru s zc za k S., Jia n g J., M irz a F.: A n e la sto p las tic c o n stitu tiv e m o d el fo r concrete, Int.
J. S o lid s S tru c tu re s 24 (7), 1988, 7 0 5-722.
9. W a m k e K .J., W a m k e E.P .: C o n stitu tiv e m odel fo r th e triax ial b e h a v io r o f concrete, IA B S E se m in a r on c o n c re te stru c tu re s su b je cte d to triax ial stre ss, B erg am o , Italy, 1975, 1-31
10. P N -B -0 3 2 6 4 :1 9 9 9 K o n s tru k c je b e to n o w e ż e lb eto w e i sp rężo n e. O b licz en ia statyczne i p ro jek to w a n ie .
R ecen zen t: P rof. d r hab. inż. M ich ał Knauff
A b str a c t
R e su lts o f n u m erical calc u la tio n s o f re in fo rc e d c o n cre te w a lls su b je cted to eccentric c o m p re ss io n a re presen ted . T h e in flu e n ce o f th e sle n d ern e ss and th e eccen tricity on the load - b e a rin g cap a city w a s in v estig ated . T o d e sc rib e co n crete, an e la stic-p las tic co n stitu tiv e law by D ru c k e r-P ra g e r w as used. T o sim u la te the b e h a v io u r o f re in fo rc em e n t, an elastic-plastic c o n stitu tiv e law v o n M ise s w a s used . N u m erical re su lts w e re c o m p a red w ith experimental tests. A sa tisfac to ry a g ree m e n t w a s ach iev ed .
