Cwiczenie 1. Znale´ ´ z´ c ekstrema funkcji: p(x 1 , . . . , x n ) = x 1 + x 2 + · · · + x n + x1

ANALIZA II 28 marca 2014

Semestr letni

Ekstrema funkcji i funkcji uwik lanych. Ekstrema zwi¸ azane.

Javier de Lucas

Cwiczenie 1. Znale´ ´ z´ c ekstrema funkcji: p(x 1 , . . . , x n ) = x 1 + x 2 + · · · + x n + _x ¹

1

+ _x ¹

2

+

· · · + _x ¹

n

.

Cwiczenie 2. Znale´ ´ z´ c odleg lo´s´ c punktu A = (0, 0, 0) od powierzchni okre´slonej r´ ownaniem y = xz − 3.

Cwiczenie 3. Obliczy´ ´ c macierz Jacobiego superpozycji odwzorowa´ n

S : R 3 t 7−→ (t, log(1 + t ⁴ )) ∈ R ² , T : R ² 3 (x, y) 7−→ (sin x, e ^x+y , 1) ∈ R, i sprawdzi´ c, ˙ze [(T ◦ S) ⁰ ] ⁱ _j = P

k (T ⁰ ) ⁱ _k (S ⁰ ) ^k _j .

Cwiczenie 4. Znale´ ´ z´ c i zbada´ c punkty krytyczne funkcji z : O → R okre´slonej w obszarze O := {(x, y) : x, y > 0} niejawnie r´ ownaniem: F (x, y, z) := (x + z)(y + z) 

1 + _xy ^z 

= 8

1

ANALIZA II 28 marca 2014

Semestr letni

Cwiczenie 5. Znale´ ´ z´ c punkty krytyczne funkcji (x, y) → z(x, y) opisanej niejawnie r´ ownaniem 6z ³ − 7(x ³ − 3x)z + (2x + y) ² = 20.

Cwiczenie 6. Rozwa˙zmy funkcj¸e H : R ´ ⁴ → R ³ postaci

H(x, y, z, t) := [x + y + z + t − 10, x ² + y ² + z ² + t ² − 30, x ³ + y ³ + z ³ + t ³ − 100] ^T , Warunek H = 0 okre´sla y, z, t jako funkcje zmiennej x. Znale´ z´ c y ⁰ (x) w punkcie [1, 2, 3, 4] ^T .

2