Niech (X, τ) bedzie przestrzenia topologiczna

Topologia II: ¢wiczenia 2

1. Wyka», »e je»eli na zbiorze X dana jest topologia dyskretna, to prze- strze« X jest metryzowalna.

2. Niech X bedzie przestrzenia topologiczna metryzowalna. Udowodnij,

»e dla ka»dej pary a, b ró»nych punktów przestrzeni X istnieja rozªaczne zbiory otwarte Ua i Ub zawierajace odpowiednio punkty a i b takie, »e U_a∩ U_b = ∅.

3. Wykorzystujac zadanie 2, poka», »e je»eli do X nale»a co najmniej dwa ró»ne punkty i je±li na X mamy topologie trywialna, to przestrze« X nie jest metryzowalna.

4. Niech X bedzie zbiorem niesko«czonym. Sprawdzi¢, »e

τ = {U ∈ 2^X | X \ U jest zbiorem sko«czonym} ∪ {∅}

jest topologia w X. Jaka topologie uzyskaliby±my, gdyby X byªo zbio- rem sko«czonym?

5. Niech (X, τ) bedzie przestrzenia topologiczna. Poka», »e τ⁰ = {X \ U | U ∈ τ }

speªnia warunki:

(a) X, ∅ ∈ τ⁰;

(b) suma dwóch zbiorów z τ⁰ nale»y do τ⁰;

(c) przeciecie dowolnej ilo±ci zbiorów z rodziny τ⁰ nale»y do τ⁰. 6. Poka», »e rodzina τ jest topologia na X:

(a) X = R, τ = {∅} ∪ {R} ∪ {(−∞, x)|x ∈ R};

(b) X = N, τ = {∅} ∪ {N} ∪ {On, n ≥ 0}, On = {n, n + 1, n + 2, . . .}; (c) X = R, U ∈ τ wtedy i tylko wtedy, gdy U zawiera sie w R i dla

ka»dego s ∈ U istnieje t > s takie, »e [s, t) ⊂ U.

7. Znajd¹ liczbe ró»nych topologii w zbiorze skªadajacym sie z trzech ró»- nych elementów.

1

8. Dla a, b ∈ Z, b > 0 niech

N_a,b = {a + nb | n ∈ Z} ⊂ Z.

Zbiór A ⊂ Z nazywamy zbiorem otwartym je»eli jest zbiorem pustym lub gdy dla ka»dego a ∈ A istnieje b > 0 takie, »e Na,b⊂ A. Poka», »e

(a) powy»sza konstrukcja zadaje topologie w Z;

(b) ka»dy niepusty zbiór otwarty jest niesko«czony;

(c) dowolny zbiór Na,b jest domkniety;

(d) Z \ {−1, 1} = S_p∈PN0,p (P - zbiór liczb pierwszych), a nastepnie wyprowad¹ wniosek, »e liczb pierwszych jest niesko«czenie wiele.

9. Poka», »e »adna z poni»szych rodzin podzbiorów zbioru R nie jest to- pologia:

(a) τ1 = {∅} ∪ {R} ∪ {(−∞, x]|x ∈ R};

(b) τ2 = {∅} ∪ {R} ∪ {(x, y)|x, y ∈ R, x < y};

10. Poka», »e ka»dy podzbiór przestrzeni topologicznej dyskretnej jest jed- nocze±nie otwarty i domkniety.

11. Poka», »e je»eli przestrze« topologiczna skªada sie ze sko«czonej liczby punktów i ka»dy podzbiór jednoelementowy jest domkniety, to topolo- gia w tej przestrzeni jest dyskretna.

12. Poka», »e w przestrzeni topologicznej (X, τ), gdzie topologia τ jest zdeniowana jak w zadaniu 6 (c) ka»dy przedziaª[s, t) jest jednocze±nie otwarty i domkniety.

13. Przypomnij denicje domkniecia i wnetrza zbioru. Rozwa» R z topo- logia zwyczajna i znajd¹ domkniecie oraz wnetrze ka»dego z podzbiorów zbioru R : N, Q, R \ Q.

14. Czym jest domkniecie dowolnego zbioru A ⊂ R wzgledem topologii zdeniowanej w zadaniu 6 (a)?

15. Poka», »e:

(a) A jest domkniety wtedy i tylko wtedy, gdy ¯A = A; (b) A = A;

(c) A ∪ B = A ∪ B;

2

(d) Int(Int A) = IntA;

(e) Int A ∩ B = Int A ∩ Int B;

16. Ustal zale»no±ci miedzy:

(a) A ∩ B i A ∩ B;

(b) S_j∈JA_j i S_j∈JA_j;

(c) Int (A ∪ B) i Int A ∪ Int B;

(d) T_j∈JInt Aj i Int T_j∈JA_j.

3