Ćwiczenia nr 3
Kognitywistyka: Wstęp do matematyki
Funkcje, symbol Newtona, permutacje, wariacje, kombinacje 21.10.2019
Zadanie 1. Który z poniższych diagramów przedstawia funkcję? Które z nich jest różnowar- tościowe, „na”, wzajemnie jednoznaczne?
2• //4•
5• //7•
8•
FF
11•
1• //7•
2• 6•
3•
|==|
||
||
||
2•
""D DD DD DD
D 11•
4•
<<z zz zz zz z
""D DD DD DD
D 9•
8• //7•
2•
111 1111 1111
1111 5•
5•
|==|
||
||
||
6•
8•
|==|
||
||
||
7•
0•
+++
++++
++++
++++
++++
+++ a•
1•
B!!B BB BB
BB b•
3•
|==|
||
||
||
c•
4•
FF
d•
0•
+++
++++
++++
++++
++++
+++ a•
1•
|==|
||
||
||
b•
3•
|==|
||
||
||
c•
4•
|==|
||
||
||
d•
Zadanie 2. Ile jest funkcji (czyli przekształceń) f : {1, 2, . . . , m} → {1, 2, . . . , n}? Ile z nich są funkcjami różnowartościowymi ?
Zadanie 3. Ile jest funkcji na f : {0, 1, 2, 3, 4} → {0, 2, 4}?
Zadanie 4. Napisać wzór na funkcję odwrotną do funkcji f lub uzasadnić, że funkcja f nie ma funkcji odwrotnej, jeśli
(a) f : {0, 1, 2} → {2, 4, 6}, f (0) = 6, f (1) = 4, f (2) = 2;
(b) f (n) = reszta z dzielenia 2n przez 3, n = 3, 7, 11;
(c) f (n) = reszta z dzielenia 2n przez 13, n = 0, 1, 2, . . . , 11;
(d) y = 3x − 1, x ∈ R;
(e) f : x 7→ x2, x ∈ [−1, 0).
Zadanie 5. Dla przekształcenia f : {0, 1, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} zadanego przez (a) f (0) = 4, f (1) = 3, f (3) = f (4) = 2,
(b) f (0) = 4, f (1) = 1, f (3) = 2, f (4) = 3, (c) f (0) = 1 = f (4), f (1) = f (3) = 3,
znajdź f ({0, 3}), f ({1, 3, 4}), f−1(1), f−1({1, 2}), f−1({2, 4}).
Zadanie 6. Dla przekształceń f : {1, 2, 3, 5} → {0, 2, 3, 4}, g : {0, 1, 2} → {3, 7, 37, 137}, h : {3, 7, 37, 137} → {1, 2, 3, 5} zadanych przez
(a) f (1) = 4, f (2) = 3, f (3) = 0, f (5) = 2, (b) g(0) = 3, g(1) = 137, g(2) = 7,
(c) h(3) = 1, h(7) = h(37) = 3, h(137) = 2 znajdź g ◦ f , f ◦ g, h ◦ g ◦ f , f ◦ h ◦ g ◦ f .
Zadanie 7. Wykazać, że (a) Pnj=0nj= 2j, (b) Pnj=0(−1)jnj= 0.
Zadanie 8. Obliczyć n0+12n1+13n2+14n3+ . . . + n+11 nn. Zadanie 9. Wykazać, że2nn=n02+n12+ . . . +n−1n 2+nn2.
Zadanie 10. Ile jest ciągów długości n o wyrazach ze zbioru {1, 2, 3}, które (a) rozpoczynają się od 1;
(b) zawierają dokładnie k dwójek;
(c) zawierają dokładnie k jedynek, przy czym zaczynają się i kończą jedynką.
Zadanie 11. Znajdź liczbę tych liczb 1 ¬ n ¬ 33000, które dzielą się na 3, 5 lub 11.
Zadania domowe na 29.10.2019
Zadanie 1. Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych 3 ¬ k ¬ n zachodzi równość k3 n
n
!
= n n − 1 k − 1
!
+ 3n(n − 1) n − 2 k − 2
!
+ n(n − 1)(n − 2) n − 3 k − 3
!
.
Zadanie 2. Na ile sposobów można wybrać trzy liczby spośród 1, 2, . . . , 30 w ten sposób, że ich suma jest parzysta? (Kolejność liczb nie jest istotna.)
Zadanie 3. Znajdź funkcję odwrotną do funkcji x 7→ x2, x ∈ [−1, 0] ∪ (1, 4] lub wykaż, że taka funkcja nie istnieje.
