Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Biotechnologia
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
5. Wielomiany
5.1. Definicje i podstawowe twierdzenia
Wielomianem stopnia n nazywamy funkcję określoną wzorem
W (x) = a
0+ a
1x + . . . + a
n−1x
n−1+ a
nx
n, gdzie n ∈ N, a
i∈ R, a
n̸= 0.
Równość wielomianów
Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.
Twierdzenie o rozkładzie wielomianu
Jeżeli W (x) i P (x) ̸≡ 0 są wielomianami, to istnieją takie wielomiany Q(x) i R(x), że W (x) = P (x) · Q(x) + R(x), przy czym R(x) ≡ 0 lub stopień wielomianu R(x) jest silnie mniejszy od stopnia wielomianu P (x).
Wielomian R(x) nazywamy resztą dzielenia W (x) przez P (x).
Pierwiastek wielomianu
Liczbę a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy W (a) = 0.
Twierdzenie B` ezout’a
Wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x − a wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest pierwiast- kiem wielomianu W (x).
Wniosek: Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x − a jest równa W (a).
Pierwiastek wielokrotny wielomianu
Liczba a jest k–krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), jeśli W (x) dzieli się przez (x − a)
ki nie dzieli się przez (x − a)
k+1. Wtedy wielomian W (x) możemy zapisać w postaci W (x) = (x − a)
kQ(x), gdzie Q(x) jest wielomianem niepodzielnym przez x − a.
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
Jeżeli liczba wymierna
pq̸= 0 (ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem równania a
nx
n+ a
n−1x
n−1+ . . . + a
1x + a
0= 0
o współczynnikach całkowitych, przy czym a
0, a
n̸= 0, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a
0, natomiast q jest podzielnikiem współczynnika a
n.
Wniosek: Jeśli a
n= 1, to pierwiastków całkowitych równania algebraicznego o współczynnikach cał- kowitych należy szukać wyłącznie wśród podzielników wyrazu wolnego a
0.
Rozwiązywanie nierówności wielomianowych
• rozkładamy wielomian na czynniki;
• odczytujemy pierwiastki wielomianu (miejsca zerowe wielomianu);
• odczytujemy krotności pierwiastków wielomianu;
• zaznaczamy pierwiastki wielomianu na osi liczbowej;
• rysujemy schematyczny wykres wielomianu zaczynając zawsze od prawej strony:
◦ od góry, gdy współczynnik wielomianu przy najwyższej potędze jest dodatni;
◦ od dołu, gdy współczynnik wielomianu przy najwyższej potędze jest ujemny;
• wykres
◦ „przecina” oś dla pierwiastków o nieparzystej krotności;
◦ „odbija się” od osi dla pierwiastków o parzystej krotności;
• odczytujemy rozwiązanie.
5.2. Przykładowe zadania
1. Rozwiązać równanie x
4− 5x
2+ 4 = 0.
Rozwiązanie:
Wprowadźmy podstawienie: x
2= t, t > 0.
Otrzymujemy równanie kwadratowe: t
2− 5t + 4 = 0.
∆ = 9, t
1= 1, t
2= 4
x
2= 1, stąd x = 1 lub x = −1 x
2= 4, stąd x = 2 lub x = −2 Odpowiedź: x ∈ {1, −1, 2, −2}.
2. Rozwiązać równanie x
3+ 27 = 0.
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia a
3+ b
3= (a + b)(a
2− ab + b
2).
(x + 3)(x
2− 3x + 9) = 0
Zatem x + 3 = 0, stąd x = −3 lub x
2− 3x + 9 = 0, stąd ∆ = −27, czyli nie ma pierwiastków.
Odpowiedź: x = −3.
3. Rozwiązać równanie x
3− 3x
2− x + 3 = 0.
Rozwiązanie:
Grupujemy (x
3− 3x
2) − (x − 3) = 0 x
2(x − 3) − (x − 3) = 0
(x − 3)(x
2− 1) = 0
Zatem x −3 = 0, czyli x = 3 lub x
2−1 = 0, stąd ze wzoru skróconego mnożenia a
2−b
2= (a+b)(a −b) otrzymujemy (x + 1)(x − 1) = 0, więc x = −1 lub x = 1.
Odpowiedź: x ∈ {−1, 1, 3}.
4. Rozwiązać równanie x
3+ 3x
2− 9x + 5 = 0.
Rozwiązanie:
Korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych. Dzielnikami wyrazu wolnego (czyli liczby 5) są: 1, −1, 5, −5.
Równanie spełnia liczba 1, bo W (1) = 1
3+ 3 · 1
2− 9 · 1 + 5 = 0. Ponieważ W (1) = 0, to wielomian
x
3+ 3x
2− 9x + 5 dzieli się bez reszty przez dwumian x − 1.
x
2+ 4x − 5
x
3+ 3x
2− 9x + 5 : x − 1
−x
3+ x
24x
2− 9x
− 4x
2+ 4x
− 5x + 5 5x − 5
Równanie przyjmuje postać:
(x − 1)(x
2+ 4x − 5) = 0
Stąd x − 1 = 0, czyli x = 1 lub x
2+ 4x − 5 = 0, ∆ = 36, zatem x
1= −5, x
2= 1.
Odpowiedź: x = 1 lub x = −5.
5. Rozwiązać nierówność (x + 3)(x − 5)(x − 2) > 0.
Odpowiedź: x ∈ [−3, 2] ∪ [5, +∞).
6. Rozwiązać nierówność x(x − 1)
2(x − 4) < 0.
Odpowiedź: x ∈ (0, 4) \ {1}.
7. Rozwiązać nierówność x(x + 2)(3 − x)
56 0.
Odpowiedź: x ∈ [−2, 0] ∪ [3, +∞).
5.3. Zadania
Wykonać dzielenie wielomianów:
1. (x
3+ 4x
2+ x − 6) : (x + 3).
2. ( −3x
4+ 5x
3+ x
2+ 10x + 6) : (x
2+ 2).
3. (x
4− x
3− 7x
2+ 13x − 6) : (x
2+ 2x − 3).
4. (x
5− 2x
4+ 5x
3− 13x
2+ 14x − 5) : (x − 5).
5. (3x
4− 8x
3+ 4x + 1) : (3x + 1).
6. (x
5+ x − 2) : (x + 1).
7. (x
6− 1) : (x
3+ 2x + 1).
8. (x
7+ 2x
5− 3x
2+ 2) : (x
4+ x).
9. (x
8+ 2x
4− x − 3) : (x
3+ x
2+ x).
10. Dla jakich wartości parametrów a i b wielomiany W (x) = (x − 1)
2(x − a) i Q(x) = x
3+ 2x
2− bx + 2b − 1 są równe?
11. Obliczyć a i b wiedząc, że liczby 1 i −1 są pierwiastkami wielomianu W (x) = x
4−3x
3+3ax
2+bx+a.
12. Dane są wielomiany: W (x) = x
2+ x − 1, G(x) = ax + b, H(x) = x
3+ 6x
2+ 4x − 5. Wyznaczyć współczynniki a i b tak, aby W (x) · G(x) = H(x).
13. Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu W (x) = 3x
3+ mx
2− 4x + 2 przez dwumian x − 2 jest równa 6?
14. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian x
2+ x −2 jest równa x+1. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez x + 2.
15. Wyznaczyć współczynniki b i c wielomianu W (x) = 3x
2− bx + c tak, aby W (1) = 3, W (−1) = 0.
16. Dla jakich wartości parametru m wielomian W (x) = x
3− (m + 4)x − 2m jest podzielny przez dwumian x − m?
17. Dla jakich wartości parametru a liczba −3 jest miejscem zerowym wielomianu W (x) = (2a+3)x
3− 7x + 5 − a?
18. Wyznaczyć współczynniki p i q tak, aby liczba 1 była dwukrotnym pierwiastkiem równania x
3− 2x
2+ px + q = 0.
19. Wielomian W (x) przy dzieleniu przez dwumiany x − 1, x − 2, x − 3 daje odpowiednio reszty 1, 2, 3. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez iloczyn (x − 1)(x − 2)(x − 3).
20. Wyznaczyć współczynniki a i b tak, aby wielomian W (x) = x
4− 3x
3+ ax
2+ bx + a był podzielny przez x
2− 1.
21. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian Q(x) = x
4+ x
3−x−1 wynosi x
3+ x
2+ x + 2.
Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez x
2− 1.
22. Liczba −7 jest miejscem zerowym wielomianu W (x). Wyznaczyć resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P (x) = x
2+ 5x −14, jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x − 2 otrzymamy resztę 18.
23. Wiedząc, że wielomian W (x) = −x
3+ (a + 1)x
2+ (8a − 3)x − 15 jest podzielny przez dwumian x − 1 wyznaczyć wartość parametru a.
24. Obliczyć a, b i c wiedząc, że punkty A(2, a), B( −1, b), C(0, c) należą do wykresu wielomianu W (x) = (x − 1)
5+ (1 − x)
4+ 6.
Wyznaczyć współczynniki a, b i c wiedząc, że:
25. W (x) = x
4+
13x
3− ax
2− bx + c, W (−1) = 9, W (3) = 6, W (0) = 3.
26. W (x) = ax
3+ 3x
2+ bx + 1, W ( −2) = −3, W (1) = 15.
27. W (x) = x
3+ ax
2+ x + b, W ( −1) = −9, W (1) = −5.
Nie wykonując dzielenia obliczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez Q(x):
28. W (x) = x
3+ 5x
2− 7x + 9, Q(x) = x − 1.
29. W (x) = x
5+ x
4− 6x
3− 7x
2+ 7x + 11, Q(x) = x + 1.
30. W (x) = 8x
3+ 2x
2+ 13x + 7, Q(x) = 2x + 1.
31. W (x) = x
4+ 4x
3− 9x
2− 16x + 20, Q(x) = x
2+ 7x + 10.
32. W (x) = x
20+ x
15− 2, Q(x) = x + 1.
Rozwiązać równanie:
33. x
3− 2x
2− 7x + 4 = 0.
34. x
3+ 5x
2+ 3x − 9 = 0.
35. 3x
3+ 13x
2+ 7x + 1 = 0.
36. 2x
4− 13x
3− 13x
2+ 24x = 0.
37. x
3+ x
2− 2x = 0.
38. x
3− 5x − 2 = 0.
39. x
3− x
2− 7x − 3 = 0.
40. (1 + x
2)
2= 4x(1 − x
2).
41. |x
3+ x + 1 | = 1.
42. |x| + x
3= 0.
43. x
3− 2x
2+ |x − 2| = 0.
44. 2x
4− 3x
3− 13x
2= |6x + 8|.
45. x
3− 7x = |4x
2− 10|.
Rozwiązać nierówność:
46. (x + 3)(x
2− 16) > 0.
47. (2x + 1)(1 − x)(x − 2)
3¬ 0.
48. x
3(2 − x)
2(x + 1) > 0.
49. (4 − x)
3(x + 5)(x
2− 4) 0.
50. (x
3− 125)(x
2+ 4x + 4) < 0.
51. x
3− x ¬ 3x
2.
52. 9x
4− 12x
3− 11x
2− 2x 0.
53. x
3+ 5x
2+ 3x − 9 < 0.
54. x
4− 3x
3+ 4x
2> 6x − 4.
55. x
5− 4x
3+ x
2− 4 ¬ 0.
56. 3x
3+ 13x
2+ 7x + 1 > 0.
57. 3x
4− 10x
3 3 − 10x.
58. x
5− x
4− 2x
3+ 2x
2+ x + 1 > 0.
59. x
3+ 6x
2+ 5x − 12 ¬ 0.
60. x
3+ 14x + 24 < 9x
2. 61. −27 < x
3< x |x + 2|.
62. |x
2− 1| x
3− x.
63. |x + 1|
3− 3|x + 1| 0.
64. |x
4− x
2| ¬ 12.
65. |x|
3− 64|x| > 0.
66. Dla jakich wartości parametru m równanie (x
2− 2x + m − 2)(|x − 1| − m + 1) = 0 ma dokładnie trzy pierwiastki?
67. Dla jakich wartości parametru m równanie (m − 2)x
4− 2(m + 3)x
3+ m − 1 = 0 ma cztery różne pierwiastki?
68. Dla jakich wartości parametru m równanie (m − |x
2− 2x|)(m − x) = 0 ma dokładnie dwa różne pierwiastki?
Rozwiązać układ nierówności:
69.
{
