Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Wyk lad 6

Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

1 Okre´ slenie podprzestrzeni

Definicja 6.1. Niepusty podzbi´or V1 ⊆ V nazywamy podprzestrzenia przestrzeni liniowej_, V , je´sli ma on nastepuj_, ace w lasno´_, sci:

(I) suma dowolnych dwu wektor´ow nale˙zacych do V_, 1 nale˙zy do V1, (II) je´sli α ∈ V1 i a ∈ K, to a ◦ α ∈ V1.

Uwaga 6.2. Wektor zerowy θ nale ˙zy do ka ˙zdej podprzestrzeni V1 przestrzeni V . Rzeczywi´scie, poniewa˙z V₁ 6= ∅, wiec istnieje α ∈ V_{, 1} i w´owczas z (II) mamy, ˙ze 0 ◦ α ∈ V₁, skad_, z w lasno´sci 5.15 jest θ ∈ V1.

Uwaga 6.3. Podprzestrze´n V1 przestrzeni liniowej V jest przestrzenia liniow_, a wzgl_, edem_, dodawania wektor´ow zredukowanego do V₁ i mno˙zenia przez skalary zredukowanego do V₁. Sprawdzenie prawdziwo´sci aksjomat´ow A1-A8 nie przedstawia trudno´sci. Np. z (II) oraz z w lasno´sci 5.16 wynika, ˙ze −α ∈ V1 dla ka˙zdego α ∈ V1.

Ka˙zda przestrze´n liniowa V zawiera co najmniej dwie podprzestrzenie: zbi´or V oraz pod- przestrze´n z lo˙zona tylko z wektora θ. Pierwsz_, a z tych podprzestrzeni nazywamy niew la´_, sciwa,_, a druga zerow_, a._,

Twierdzenie 6.4. Cze´_,s´c wsp´olna dowolnej niepustej rodziny podprzestrzeni danej przestrzeni liniowej V jest podprzestrzenia przestrzeni V ._,

Dow´od. Niech W bedzie dowoln_, a niepust_, a rodzin_, a podprzestrzeni przestrzeni liniowej V i_, niech W0 = \

W ∈W

W . Z uwagi 6.2 mamy, ˙ze θ ∈ W dla ka˙zdego W ∈ W. Zatem θ ∈ W0. Niech α, β ∈ W₀. Wtedy α, β ∈ W dla ka˙zdego W ∈ W, skad α + β ∈ W dla ka˙zdego W ∈ W, wi_, ec_, α + β ∈ W₀. Je´sli a ∈ R oraz α ∈ W0, to α ∈ W dla ka˙zdego W ∈ W, skad a ◦ α ∈ W dla_, ka˙zdego W ∈ W, wiec a ◦ α ∈ W_, 0. Zatem W0 jest podprzestrzenia przestrzeni V . 2_,

2 Podprzestrzenie generowane i ich w lasno´ sci

Twierdzenie 6.5. Niech V bedzie przestrzeni_, a liniow_, a i niech A b_, edzie dowolnym pod-_, zbiorem przestrzeni V . Istnieje najmniejsza (w sensie inkluzji) podprzestrze´n przestrzeni V zawierajaca A._,

Dow´od. Oznaczmy przez W rodzine wszystkich podprzestrzeni W przestrzeni V takich, ˙ze_, A ⊆ W . Rodzina W jest niepusta, bo np. V ∈ W. Z twierdzenia 6.4 mamy, ˙ze W0 = \

W ∈W

W jest podprzestrzenia przestrzeni V , a poniewa˙z A ⊆ W dla ka˙zdego W ∈ W, wi_, ec A ⊆ W_, 0. Niech teraz V₁ bedzie podprzestrzeni_, a przestrzeni V tak_, a, ˙ze A ⊆ V_{, 1}. Wtedy V₁∈ W, skad W_{, 0} ⊆ V₁. Zatem W0 jest najmniejsza w sensie inkluzji podprzestrzeni_, a przestrzeni V zawieraj_, ac_, a zbi´_, or

Uwaga 6.6. Najmniejsza podprzestrze´_, n przestrzeni liniowej V zawierajac_, a zbi´_, or A ⊆ V na- zywamy podprzestrzenia rozpi_, et_, a na podzbiorze A lub generowan_, a przez podzbi´_, or A i oznaczamy przez lin(A). Z tego okre´slenia wynika od razu, ˙ze lin(∅) = {θ}. Je´sli zbi´or A jest sko´nczony i A = {α1, α2, . . . , αn}, to zamiast lin({α₁, α2, . . . , αn}) bedziemy pisali_, lin(α₁, α₂, . . . , α_n).

Zauwa˙zmy, ˙ze dla ka˙zdego α ∈ V jest lin(α) = {a ◦ α : a ∈ R}. Rzeczywi´scie, α = 1 ◦ α ∈ {a◦α : a ∈ R} oraz dla dowolnych a, b ∈ R mamy, ˙ze a◦α+b◦α = (a+b)◦α i a◦(b◦α) = (ab)◦α, wiec {a ◦ α : a ∈ R} jest podprzestrzeni_, a przestrzeni V zawieraj_, ac_, a α. Je˙zeli za´_, s W jest podprzestrzenia przestrzeni V tak_, a, ˙ze α ∈ W , to dla dowolnego a ∈ R jest a ◦ α ∈ W , sk_, ad_, {a ◦ α : a ∈ R} ⊆ W . Zatem lin(α) = {a ◦ α : a ∈ R}.

Ponadto z definicji podprzestrzeni generowanej wynika od razu, ˙ze je˙zeli A i B sa podzbiorami_, przestrzeni liniowej V takimi, ˙ze A ⊆ B, to lin(A) ⊆ lin(B).

Twierdzenie 6.7. Niech V₁, V₂, . . . , V_n bed_, a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V ._, W´owczas zbi´or

V₁+ V₂+ . . . + V_n= {α₁+ α₂+ . . . + α_n: α_i ∈ V_i dla i = 1, 2, . . . , n}

jest podprzestrzenia przestrzeni V . Ponadto V_{, 1}+ V₂+ . . . + V_n= lin(V₁∪ V₂∪ . . . ∪ V_n).

Dow´od. Niech α_i ∈ V_i dla i = 1, 2, . . . , n. Wtedy α_i = θ + . . . + θ

| {z }

i−1

+α_i + θ + . . . + θ

| {z }

n−i

, skad α_{, i} ∈ V₁ + . . . + V_n dla i = 1, 2, . . . , n. Zatem V₁ ∪ . . . ∪ V_n ⊆ V₁ + . . . + V_n. Niech α, β ∈ V₁+ . . . + V_n. Wtedy istnieja α_{, i}, β_i ∈ V_i dla i = 1, 2, . . . , n takie, ˙ze α = α₁+ . . . + α_n i β = β1+ . . . + βn, skad α + β = (α_, 1+ β1) + . . . + (αn+ βn) ∈ V1+ . . . + Vn, bo αi+ βi ∈ V_i dla i = 1, 2, . . . , n. Ponadto dla a ∈ K mamy, ˙ze a ◦ α_i ∈ V_i dla i = 1, 2, . . . , n, skad z w lasno´_, sci 5.20 a ◦ α = a ◦ α₁+ . . . + a ◦ α_n ∈ V₁+ . . . + V_n. Zatem V₁ + . . . + V_n jest podprzestrzenia_, przestrzeni V zawierajac_, a zbi´_, or V1∪ . . . ∪ V_n.

Niech teraz W bedzie dowoln_, a podprzestrzeni_, a przestrzeni V tak_, a, ˙ze V_{, 1} ∪ . . . ∪ V_n ⊆ W . We´zmy dowolne α ∈ V1 + . . . + Vn. Wtedy istnieja α_, i ∈ V_i dla i = 1, 2, . . . , n takie, ˙ze α = α1 + . . . + αn. Ale α1, . . . , αn ∈ W , wiec α ∈ W . Zatem V_, 1 + . . . + Vn ⊆ W . Stad_, V₁ + . . . + V_n ⊆ lin(V₁ ∪ . . . ∪ V_n). Ale lin(V₁ ∪ . . . ∪ V_n) jest najmniejsza podprzestrzeni_, a_, przestrzeni V zawierajac_, a zbi´_, or V1∪ . . . ∪ V_n, wiec st_, ad V_, 1+ . . . + Vn= lin(V1∪ . . . ∪ V_n). 2

Twierdzenie 6.8. Dla dowolnych wektor´ow α1, . . . , αnprzestrzeni liniowej V zachodzi wz´or:

lin(α₁, . . . , α_n) = {a₁◦ α₁+ . . . + a_n◦ α_n: a₁, . . . , a_n∈ R}.

Dow´od. Poniewa˙z α_i ∈ lin(α_i) dla i = 1, 2, . . . , n, wiec {α_{, 1}, . . . , α_n} ⊆ lin(α₁) ∪ . . . ∪ lin(α_n), skad lin(α_, 1, . . . , αn) ⊆ lin(lin(α1)∪. . .∪lin(αn)). Ponadto {αi} ⊆ {α₁, . . . , αn}, wiec lin(α_, i) ⊆ lin(α1, . . . , αn) dla i = 1, 2, . . . , n. Zatem lin(lin(α1) ∪ . . . ∪ lin(αn)) ⊆ lin(α1, . . . , αn). Stad_, lin(α₁, . . . , α_n) = lin(lin(α₁) ∪ . . . ∪ lin(α_n)) = lin(α₁) + . . . + lin(α_n) = {a₁◦ α₁+ . . . + a_n◦ α_n: a1, . . . , an∈ R} na mocy twierdzenia 6.7 i uwagi 6.6. 2

Twierdzenie 6.9. Dla dowolnych podzbior´ow X i Y przestrzeni liniowej V zachodzi wz´or:

lin(X ∪ Y ) = lin(X) + lin(Y ).

Dow´od. Mamy, ˙ze X ⊆ lin(X) ⊆ lin(X) + lin(Y ) i Y ⊆ lin(Y ) ⊆ lin(X) + lin(Y ), wiec X ∪ Y ⊆ lin(X) + lin(Y ). Ale lin(X ∪ Y ) jest najmniejsz_, a podprzestrzeni_, a zawieraj_, ac_, a_, zbi´or X ∪ Y , wiec st_, ad lin(X ∪ Y ) ⊆ lin(X) + lin(Y ). Dalej, X ⊆ X ∪ Y ⊆ lin(X ∪ Y ),_, skad lin(X) ⊆ lin(X ∪ Y ) oraz Y ⊆ X ∪ Y ⊆ lin(X ∪ Y ), wi_, ec lin(Y ) ⊆ lin(X ∪ Y ). St_, ad_, lin(X) + lin(Y ) ⊆ lin(X ∪ Y ) i ostatecznie lin(X ∪ Y ) = lin(X) + lin(Y ). 2

Z twierdzenia 6.9 mamy natychmiast nastepuj_, acy_,

Wniosek 6.10. Dla dowolnych wektor´ow α1, . . . , αn, β1, . . . , βm przestrzeni liniowej V za- chodzi wz´or:

lin(α₁, . . . , α_n, β₁, . . . , β_m) = lin(α₁, . . . , α_n) + lin(β₁, . . . , β_m).

Twierdzenie 6.11. Dla dowolnego podzbioru X przestrzeni liniowej V i dla ka˙zdego wektora α ∈ V :

α ∈ lin(X) ⇔ lin(X ∪ {α}) = lin(X).

Dow´od. Za l´o˙zmy, ˙ze lin(X ∪ {α}) = lin(X). Poniewa˙z X ∪ {α} ⊆ lin(X ∪ {α}), wiec st_, ad_, X ∪ {α} ⊆ lin(X), skad α ∈ lin(X). Na odwr´_, ot, niech teraz α ∈ lin(X). Wtedy lin(α) ⊆ lin(X), skad lin(α) + lin(X) = lin(X). Ale z twierdzenia 6.9, lin(X ∪ {α}) = lin(X) + lin(α),_, wiec lin(X ∪ {α}) = lin(X). 2_,

3 Kombinacja liniowa wektor´ ow

Definicja 6.12. Niech V bedzie przestrzeni_, a liniow_, a. Powiemy, ˙ze wektor α ∈ V jest_, kombinacja liniow_, a wektor´_, ow α₁, α₂, . . . , α_n∈ V , je˙zeli istnieja skalary a_{, 1}, a₂, . . . , a_n ∈ R (zwane wsp´o lczynnikami tej kombinacji) takie, ˙ze

α = a₁◦ α₁+ a₂◦ α₂+ . . . + a_n◦ α_n. (1) Uwaga 6.13. Twierdzenie 6.8 mo˙zemy wypowiedzie´c nastepuj_, aco: lin(α_{, 1}, . . . , α_n) sk lada sie ze wszystkich kombinacji liniowych wektor´_, ow α₁, . . . , α_n.

Twierdzenie 6.14. Niech X bedzie dowolnym niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej_, V nad cia lem R. W´owczas lin(X) jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych wszystkich sko´nczonych podzbior´ow zbioru X.

Dow´od. Oznaczmy przez V₁ zbi´or wszystkich kombinacji liniowych wszystkich sko´nczonych podzbior´ow zbioru X. Dla α ∈ X mamy, ˙ze α = 1 ◦ α ∈ V1, wiec X ⊆ V_, 1. Poniewa˙z X 6= ∅, wiec V_{, 1} 6= ∅. Niech a ∈ R oraz α, β ∈ V1. Wtedy istnieja α_{, 1}, . . . , α_n, β₁, . . . , β_m ∈ X takie, ˙ze α = a1 ◦ α₁ + . . . + an ◦ α_n oraz β = b1 ◦ β₁ + . . . + bm ◦ β_m. Zatem a ◦ α = (aa1) ◦ α1+ . . . + (aan)αn∈ V₁ oraz α ∈ lin(α1, . . . , αn) i β ∈ lin(β1, . . . , βm), wiec z wniosku_,

6.10, α + β ∈ lin(α1, . . . , αn, β1, . . . , βm), czyli na mocy uwagi 6.13 α + β ∈ V1. Stad V_, 1

jest podprzestrzenia przestrzeni V zawieraj_, ac_, a X. Niech W b_, edzie dowoln_, a podprzestrzeni_, a_, przestrzeni V zawierajac_, a X. Wtedy dla dowolnych α_, 1, . . . , αn∈ X mamy, ˙ze α₁, . . . , αn∈ W , skad dla dowolnych a_, 1, . . . , an ∈ R jest a1◦ α₁+ . . . + an◦ α_n ∈ W . Zatem V₁ ⊆ W , czyli V₁ jest najmniejsza podprzestrzeni_, a przestrzeni X zawieraj_, ac_, a zbi´_, or X. Zatem V₁ = lin(X). 2

Twierdzenie 6.15. Niech α, α₁, . . . , α_n, β₁, . . . , β_m bed_, a wektorami przestrzeni liniowej V ._, Je˙zeli wektor α jest kombinacja liniow_, a wektor´_, ow β1, . . . , βm oraz dla i = 1, 2, . . . , m wektor β_i jest kombinacja liniow_, a wektor´_, ow α₁, . . . , α_n, to wektor α jest kombinacja liniow_, a wektor´_, ow α₁, . . . , α_n.

Dow´od. Z uwagi 6.13 mamy, ˙ze β1, . . . , βm ∈ lin(α₁, . . . , αn). Zatem lin(β1, . . . , βm) ⊆ lin(α₁, . . . , α_n). Ale z uwagi 6.13 α ∈ lin(β₁, . . . , β_m), wiec st_, ad α ∈ lin(α_{, 1}, . . . , α_n), czyli z uwagi 6.13 wektor α jest kombinacja liniow_, a wektor´_, ow α₁, . . . , α_n. 2

Przyk lad 6.16. Niech n ∈ N. W przestrzeni Rⁿokre´slamy wektory

ε₁ = [1, 0, 0, . . . , 0], ε₂ = [0, 1, 0, . . . , 0], ε₃ = [0, 0, 1, . . . , 0], . . . , ε_n= [0, 0, 0, . . . , 1]

Dla dowolnych skalar´ow a1, . . . , an∈ R

a₁◦ ε₁= [a₁, 0, 0, . . . , 0]

a₂◦ ε₂= [0, a₂, 0, . . . , 0]

a3◦ ε₃= [0, 0, a3, . . . , 0]

. . . . an◦ ε_n= [0, 0, 0, . . . , an]

,

wiec po dodaniu stronami tych r´_, owno´sci uzyskamy wz´or:

[a₁, a₂, . . . , a_n] = a₁◦ ε₁+ a₂◦ ε₂+ . . . + a_n◦ ε_n. (2) Z tego wzoru wynika zatem, ˙ze ka˙zdy wektor przestrzeni Rⁿ jest kombinacja liniow_, a wektor´_, ow ε1, . . . , εn, czyli Rⁿ = lin(ε1, . . . , εn). M´owimy te˙z, ˙ze wektory ε1, . . . , εn generuja przestrze´_, n Rⁿ.2

4 Operacje elementarne na uk ladach wektor´ ow

Niech α1, . . . , αn bed_, a dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V . Wyr´_, o˙zniamy nastepuj_, ace_, operacje elementarne nad uk ladem wektor´ow (α₁, . . . , α_n):

O1. Zamiana miejscami wektor´ow αi z αj (dla i 6= j) oznaczana przez wi ↔ w_j. Oczywi´scie operacja ta jest do siebie odwrotna.

O2. Pomno˙zenie i-tego wektora przez niezerowy skalar a ∈ R, oznaczenie: a · wi. Poniewa˙z dla a 6= 0 jest a⁻¹◦ (a ◦ α_i) = (a⁻¹a) ◦ α_i = 1 ◦ α_i = α_i, wiec operacj_, a odwrotn_, a do a · w_{, i} jest operacja a⁻¹· w_i.

O3. Dodanie do wektora αi wektora αj (dla i 6= j) pomno˙zonego przez dowolny skalar a ∈ R, oznaczenie: w_i+ a · w_j. Poniewa˙z (α_i + a ◦ α_j) + (−a) ◦ α_j = α_i + a ◦ α_j+ (−(a ◦ α_j)) = α_i, wiec operacj_, a odwrotn_, a do operacji w_, i+ a · wj jest operacja wi+ (−a) · wj.

Twierdzenie 6.17. Je˙zeli uk lad wektor´ow (β1, . . . , βn) przestrzeni liniowej V powstaje z uk ladu wektor´ow (α1, . . . , αn) przez kolejne wykonanie sko´nczonej liczby operacji elementarnych, to

lin(β₁, . . . , β_n) = lin(α₁, . . . , α_n).

Dow´od. Indukcja pozwala nam ograniczy´c sie do jednej operacji. Ponadto operacje elemen-_, tarne sa odwracalne, wi_, ec wystarczy wykaza´_, c, ˙ze lin(β₁, . . . , β_n) ⊆ lin(α₁, . . . , α_n), czyli, ˙ze {β₁, . . . , βn} ⊆ lin(α₁, . . . , αn). Dla operacji O1 jest to oczywiste. Dla operacji O2 mamy, ˙ze β_j = α_j dla j 6= i oraz β_i = a ◦ α_i ∈ lin(α₁, . . . , α_n). Dla operacji O3 β_k = α_k dla k 6= i oraz β_i= α_i+ a ◦ α_j ∈ lin(α₁, . . . , α_n). 2

Przyk lad 6.18. Sprawdzimy, czy wektor [1, 2, 3] nale˙zy do podprzestrzeni W = lin([1, 3, 2], [1, 2, 1], [2, 5, 3]) przestrzeni liniowej R³. Po wykonaniu operacji w2 − w₁, w₃− 2w₁ uzyskamy na mocy twierdzenia 6.17, ˙ze W = lin([1, 3, 2], [0, −1, −1], [0, −1, −1]) = lin([1, 3, 2], [0, −1, −1]) = {x◦[1, 3, 2]+y ◦[0, −1, −1] : x, y ∈ R} = {[x, 3x−y, 2x−y] : x, y ∈ R}.

Zatem [1, 2, 3] ∈ W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja x, y ∈ R takie, ˙ze [1, 2, 3] = [x, 3x−y, 2x−y],_, czyli gdy x = 1 oraz 3x − y = 2x − y = −1, a wiec gdy x = 1 i x = 0. Uzyskana sprzeczno´_, s´c pokazuje, ˙ze [1, 2, 3] 6∈ W . 2

5 Liniowa niezale ˙zno´ s´ c wektor´ ow

Niech α₁, . . . , α_n bed_, a dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V . Powiemy, ˙ze uk lad wek-_, tor´ow (α1, . . . , αn) jest liniowo zale ˙zny, je˙zeli istnieja skalary a_, 1, . . . , an ∈ R nie wszystkie r´owne 0 i takie, ˙ze a₁◦ α₁+ . . . + a_n◦ α_n= θ.

Przyk lad 6.19. Wektory θ, α1, . . . , αn∈ V sa liniowo zale˙zne, bo np. 1 ◦ θ + 0 ◦ α_, 1+ . . . + 0 ◦ α_n= θ oraz 1 6= 0. 2

Uwaga 6.20. Je˙zeli uk lad wektor´ow (α₁, . . . , α_n) jest liniowo zale˙zny, to dla dowolnej bijekcji f : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} uk lad (α_{f (1)}, . . . , α_{f (n)}) te˙z jest liniowo zale˙zny.

Przyk lad 6.21. Wektory α, α, α1, . . . , αn sa liniowo zale˙zne, bo 1 ◦ α + (−1) ◦ α + 0 ◦ α_, 1+ . . . + 0 ◦ α_n= θ i 1 6= 0. 2

Definicja 6.22. Powiemy, ˙ze uk lad wektor´ow (α1, . . . , αn) przestrzeni liniowej V jest li- niowo niezale ˙zny, je˙zeli nie jest on liniowo zale˙zny, tzn.

∀_{a1,... ,an∈R} [a₁◦ α₁+ . . . + a_n◦ α_n= θ ⇒ a₁= . . . = a_n= 0].

Przyk lad 6.23. Ze wzoru (2) wynika od razu, ˙ze uk lad wektor´ow (ε1, . . . , εn) przestrzeni Rⁿ jest liniowo niezale˙zny. 2

Uwaga 6.24. Z uwagi 6.20 wynika, ˙ze je´sli uk lad wektor´ow (α₁, . . . , α_n) przestrzeni li- niowej V jest liniowo niezale˙zny (w skr´ocie lnz), to dla dowolnej bijekcji f : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} uk lad (α_{f (1)}, . . . , α_{f (n)}) te˙z jest liniowo niezale˙zny. Ponadto z przyk ladu 6.21 wy- nika, ˙ze wtedy α_i 6= α_j dla i 6= j. Mo˙zemy zatem powiedzie´c, ˙ze zbi´or wektor´ow {α₁, . . . , α_n} jest liniowo niezale˙zny. Dalej, z przyk ladu 6.219 wynika, ˙ze θ 6∈ {α1, . . . , αn}. Je˙zeli X = {β₁, . . . , β_k} jest niepustym podzbiorem zbioru {α₁, . . . , α_n}, to zbi´or X te˙z jest liniowo nie- zale˙zny, gdy˙z w przeciwnym wypadku istnia lyby skalary b₁, . . . , b_knie wszystkie r´owne 0 i takie,

˙ze b1◦ β₁ + . . . + bk◦ β_k = θ i w´owczas uzupe lniajac ci_, ag (b_, 1, . . . , bk) zerami uzyskamy ciag_, (a₁, . . . , a_n) taki, ˙ze a₁◦α₁+ . . . + a_n◦α_n= θ, wbrew liniowej niezale˙zno´sci zbioru {α₁, . . . , α_n}.

2

Z uwagi 6.24 wynika zatem, ˙ze definicje liniowej niezale˙zno´_, sci mo˙zna rozszerzy´c na dowolne podzbiory przestrzeni liniowej.

Definicja 6.25. Powiemy, ˙ze podzbi´or X przestrzeni liniowej V jest liniowo niezale˙zny (w skr´ocie lnz), je˙zeli ka˙zdy sko´nczony podzbi´or zbioru X jest liniowo niezale˙zny. Zbi´or pusty wektor´ow uwa˙zamy za liniowo niezale˙zny.

Z uwagi 6.24 oraz z tej definicji mamy od razu nastepuj_, ace_,

Twierdzenie 6.26. Dowolny podzbi´or liniowo niezale˙znego zbioru wektor´ow przestrzeni li- niowej jest zbiorem liniowo niezale˙znym.

Przyk lad 6.27. W przestrzeni liniowej V = R[x] zbi´or {1, x, x², . . . } jest liniowo niezale˙zny.

2

Przyk lad 6.28. Je˙zeli α jest niezerowym wektorem przestrzeni liniowej V , to zbi´or {α} jest liniowo niezale˙zny. Rzeczywi´scie, niech a ∈ R bedzie takie, ˙ze a ◦ α = θ. Wtedy z uwagi 5.19_, mamy, ˙ze a = 0, czyli zbi´or {α} jest lnz. 2

Twierdzenie 6.29. Je˙zeli uk lad wektor´ow (β1, . . . , βn) przestrzeni liniowej V powstaje z uk ladu (α₁, . . . , α_n) przez kolejne wykonanie sko´nczonej liczby operacji elementarnych, to uk lad (β1, . . . , βn) jest liniowo niezale˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy uk lad (α1, . . . , αn) jest liniowo niezale˙zny.

Dow´od. Indukcja pozwala nam ograniczy´c sie do jednej operacji elementarnej. Ponadto_, operacje elementarne sa odwracalne, wi_, ec wystarczy wykaza´_, c, ˙ze je˙zeli uk lad (α1, . . . , αn) jest lnz, to uk lad (β1, . . . , βn) jest lnz. Dla operacji O1 jest to oczywiste. Dla operacji O2 mamy,

˙ze β_j = α_j dla j 6= i oraz β_i= a ◦ α_i dla pewnego a 6= 0. We´zmy dowolne a₁, . . . , a_n∈ R takie,

˙ze a1◦ β₁+ . . . + an◦ β_n= θ. Wtedy a1◦ α₁+ . . . + (aia) ◦ αi+ . . . + an◦ α_n= θ. Stad z liniowej_,

niezale˙zno´sci uk ladu (α1, . . . , αn) mamy, ˙ze a1 = a2 = . . . = aia = . . . = an = 0. Ale a 6= 0, wiec st_, ad a_{, 1} = . . . = a_i = . . . = a_n= 0, czyli uk lad (β₁, . . . , β_n) jest lnz.

Dla operacji O3 bez zmniejszania og´olno´sci mo˙zemy zak lada´c, ˙ze b1 = α1+a◦α2 oraz βj = αj

dla j = 2, . . . , n. We´zmy dowolne a1, . . . , an∈ R takie, ˙ze a1◦ β₁+ . . . + an◦ β_n= θ. Wtedy a₁◦ (α₁+ a ◦ α₂) + a₂◦ α₂+ . . . + a_n◦ α_n= θ, czyli a₁◦ α₁+ (a₁a + a₂) ◦ α₂+ . . . + a_n◦ α_n= θ, skad z lnz uk ladu (α_, 1, . . . , αn) mamy, ˙ze a1 = a1a + a2 = a3 = . . . = an= 0, czyli a1 = a2 = . . . = a_n= 0, a wiec uk lad (β_{, 1}, . . . , β_n) jest lnz. 2

Twierdzenie 6.30. Niech X bedzie zbiorem liniowo niezale˙znym wektor´_, ow przestrzeni linio- wej V . W´owczas dla ka˙zdego wektora α ∈ V :

α ∈ lin(X) ⇔ [α ∈ X lub zbi´or X ∪ {α} jest liniowo zale˙zny].

Dow´od. ⇐. Za l´o˙zmy, ˙ze α 6∈ lin(X). Wtedy α 6∈ X, gdy˙z X ⊆ lin(X). Zatem zbi´or X ∪{α}

jest liniowo zale˙zny. Ale zbi´or X jest liniowo niezale˙zny, wiec istniej_, a parami r´_, o˙zne wektory α1, . . . , αn ∈ X takie, ˙ze zbi´or {α, α1, . . . , αn} jest liniowo zale˙zny. Zatem istnieja skalary_, a, a₁, . . . , a_n∈ R nie wszystkie r´owne 0 i takie, ˙ze a◦α+a1◦α₁+. . .+a_n◦α_n= θ. Stad z liniowej_, niezale˙zno´sci wektor´ow α₁, . . . , α_nwynika, ˙ze a 6= 0. Zatem α = (−^a_a¹) ◦ α₁+ . . . + (−^a_aⁿ) ◦ α_n∈ lin(X), czyli α ∈ lin(X) na mocy twierdzenia 6.14 i mamy sprzeczno´s´c.

⇒. Na mocy twierdzenia 6.14 istnieja α_{, 1}, . . . , α_n ∈ X oraz a₁, . . . , a_n ∈ R takie, ˙ze α = a₁◦ α₁+ . . . + a_n◦ α_n. Zatem 1 ◦ α+(−a₁) ◦ α₁+ . . . + (−a_n) ◦ α_n= θ, skad wynika, ˙ze α ∈ X_, albo α 6∈ X i zbi´or X ∪ {α} jest liniowo zale˙zny. 2