α -harmonicznych Wkl¦sªo±¢funkcji POLITECHNIKAWROCŠAWSKAWYDZIAŠPODSTAWOWYCHPROBLEMÓWTECHNIKI

POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ PODSTAWOWYCH

PROBLEMÓW TECHNIKI

Kierunek: Matematyka

Specjalno±¢: Matematyka teoretyczna

PRACA DYPLOMOWA

Wkl¦sªo±¢ funkcji α -harmonicznych

Grzegorz ›urek

Spis tre±ci

Wst¦p 2

1 Poj¦cia wst¦pne 3

1.1 Podstawowa notacja i terminologia . . . 3

1.2 Symetryczny proces α-stabilny . . . . 3

1.3 Funkcje α-harmoniczne . . . . 4

1.4 J¡dro Poissona . . . 5

1.5 Uwagi o zbiorach . . . 6

2 Gªówne wyniki 7 2.1 Wyniki wªa±ciwe . . . 7

2.2 Ilustracje . . . 8

2.3 Lematy, szacowania i fakty . . . 12

2.3.1 Wielowymiarowy ukªad wspóªrz¦dnych sferycznych . . . 12

2.3.2 Oszacowanie funkcji regularnie α-harmonicznej f . . . 12

2.3.3 Szacowania j¡dra Poissona . . . 13

2.3.4 Inne nierówno±ci . . . 14

2.4 Dowody . . . 16

Literatura 23

Wst¦p

Niniejsza praca stanowi kolejny krok w analizie funkcji α-harmonicznych. Dynamicznie rozwijaj¡ca si¦ sfera matematyki zajmuj¡ca si¦ procesami stochastycznymi - w szczegól- no±ci procesami α-stabilnymi stanowi wa»n¡ gaª¡¹ dzisiejszej nauki, dlatego wa»ne jest kompleksowe podej±cie do pojawiaj¡cych si¦ problemów a tak»e szczegóªowe i systema- tyczne badanie kolejnych ich aspektów.

Problematyk¦ funkcji α-harmonicznych poruszono jako naturalne rozwini¦cie dobrze zba- danej problematyki funkcji harmonicznych. O ile zwykle punktem wyj±cia w poszukiwaniu kolejnych wªasno±ci nowej dziedziny stanowiªo poszukiwanie podobie«stw praca ta ma na celu odniesienie si¦ do wªasno±ci, które w przypadku klasycznym nie wyst¦puj¡. W przy- padku funkcji α-harmonicznej na zbiorze przy którego brzegu funkcja si¦ zeruje - cho¢by lokalnie - zaobserwowano, »e w okolicy funkcja zachowuje si¦ jak funkcja wkl¦sªa. Praca ta ma na celu zbadanie tego faktu i odpowiedzenie na pytania dotycz¡ce warunków ko- niecznych do speªnienia kilku podstawowych wªa±ciwo±ci, jak na przykªad wyst¦powanie obszaru z siln¡ wkl¦sªo±ci¡ lub o obszary w których wªasno±¢ wkl¦sªo±ci zachodzi jedynie dla pewnej klasy kierunków.

Gªówny wynik zawarty w pracy to twierdzenie mówi¡ce o istnieniu przybrze»nego regionu zbioru D, w okolicy (na zewn¡trz D) którego funkcja si¦ zeruje, a na którym funkcja α-harmoniczna f jest wkl¦sªa w kierunkach zbli»onych do kierunku normalnego wzgl¦dem

∂D. Mnogo±¢ technicznych aspektów wymusza aby rozwa»ane zbiory D byªy odpowiednio regularne.

W pierwszym rozdziale wprowadzone s¡ poj¦cia wykorzystywane w dalszej cz¦±ci pra- cy.Gªówne wyniki niniejszej pracy sformuªowano w rozdziale drugim. W kolejnych podroz- dziaªach pojawiaj¡ si¦ lematy i szacowania wykorzystywane w dowodach zamieszczonych w czwartym podrozdziale rozdziaªu drugiego.

Serdecznie dzi¦kuj¦ mojemu promotorowi, profesorowi Tadeuszowi Kulczyckiemu, za wprowadzenie w tematyk¦ funkcji α-harmonicznych, mnóstwo pomysªów i rozwi¡za«, któ- re stanowi¡ cenn¡ baz¦ do dalszych wyzwa« a tak»e za ogromn¡ cierpliwo±¢, »yczliwo±¢ i stalowe nerwy.

1 Poj¦cia wst¦pne

W tym rozdziale prze±ledzimy podstawowe oznaczenia, denicje i wªasno±ci niezb¦dne do zrozumienia omawianych zagadnie«. Skupimy si¦ gªównie na zwi¡zkach pomi¦dzy teori¡

procesów α-stabilnych i teori¡ funkcji α-harmonicznych.

Poni»sze fakty i denicje s¡ dobrze znane i mo»na je znale¹¢ np. w [2].

1.1 Podstawowa notacja i terminologia

Zbór liczb naturalnych oznaczamy przez N = {0, 1, . . . }, liczb naturalnych dodatnich N+ = {1, 2, . . . }oraz liczb rzeczywistych R. Przez R^d, gdzie d ∈ N+rozumiemy d−wymiarow¡

przestrze« euklidesow¡ z norm¡ | · |. Je»eli element takiej przestrzeni oznaczamy przez x to poszczególne wspóªrz¦dne kolejnych wymiarów b¦dziemy uwzgl¦dniali stosuj¡c indeks dolny, np. x = (x1, . . . , x_d), xi ∈ R, gdzie i = 1, . . . d. Wówczas norma zadana jest wzorem

|x| = (^Pd_i=1x²_i)^1/2.

W caªej pracy zakªadamy, »e wymiar d ­ 2. Zbiór D ⊂ R^d jest nazywany obszarem je»eli jest otwarty, jednospójny i niepusty.

Dla ka»dego zbioru D ⊂ R^d przez D^c b¦dziemy oznaczali jego dopeªnienie, przez D domkni¦cie, przez int(D) wn¦trze a przez ∂D jego brzeg. Dla D ⊂ R^d, x ∈ R^d, r > 0 oznaczamy

B(x, r) = {y ∈ R^d : |x − y| < r}, dist(D, x) = inf{|x − y| : y ∈ D}, ewentualnie

dist(D, V ) = inf{|x − y| : y ∈ D, x ∈ V }, δ_D(x) = dist(∂D, x).

s_d oznacza¢ b¦dzie obj¦to±¢ d-wymiarowej kuli jednostkowej. Notacja C = C(α, β, γ) oznacza, »e staªa C zale»y tylko od α, β i γ. Staªe s¡ zawsze ±ci±le dodatnie i sko«czone.

1.2 Symetryczny proces α-stabilny

Przez X = {Xt: t ­ 0} b¦dziemy oznaczali symetryczny proces α-stabilny w przestrzeni euklidesowej R^d, gdzie d ­ 1 oraz 0 < α < 2. Oznacza to, »e X jest skokowym procesem Lévy'ego o mierze Lévy'ego absolutnie ci¡gªej wzgl¦dem miary Lebesgue'a z g¦sto±ci¡

ν(x) = A_d,−α|x|^−d−α,

gdzie Ad,γ = Γ((d − γ)/2)/(2^γπ^d/2|Γ(γ/2)|) gdy d = 1, 2, . . . oraz 0 < |γ| < 2. Przez P^x oznaczamy miar¦ prawdopodobie«stwa zwi¡zan¡ z procesem startuj¡cym z punktu x ∈ R^d, za± przez E^x - warto±¢ oczekiwan¡ wzgl¦dem P^x.

Proces X z prawdopodobie«stwem 1 ma przyrosty niezale»ne i jednorodne oraz prawo- stronnie ci¡gªe trajektorie, posiadaj¡ce lewostronne granice w ka»dym punkcie. Jest pro- cesem Markowa. Je±li U jest operatorem ortogonalnym na R^d, to obrócony proces UX ma ten sam rozkªad, co startuj¡cy z zera proces X, sk¡d okre±lenie procesu jako symetrycz- ny. α-stabilno±¢ oznacza, »e rozkªady jednowymiarowe Xt s¡ α-stabilne, w szczególno±¢

funkcja charakterystyczna procesu startuj¡cego z zera ma posta¢ E⁰e^iξXt = e^−t|ξ|α gdzie ξ ∈ R^d i t > 0.

1.3 Funkcje α-harmoniczne

Zdeniujmy czas wyj±cia procesu Xt ze zbioru otwartego D ⊂ R^d jako τD = inf{t ­ 0 : X_t ∈ D}/ . Zaªó»my, »e na zbiorze D znamy warto±ci funkcji f. Zaªó»my, »e U jest otwartym zbiorem takim, »e U ⊂ D. W klasycznym przypadku, dla ruchu Browna funkcj¦

f speªniaj¡c¡ zale»no±¢

f (x) = E^xf (X_τU), x ∈ U

nazywamy funkcj¡ harmoniczn¡ na zbiorze D. W przypadku procesów α-stabilnych ze wzgl¦du na to, »e proces w momencie wyj±cia mo»e znale¹¢ si¦ nie tylko na brzegu zbioru U ale w dowolnym punkcie przestrzeni, to do zapisania analogicznej równo±ci charaktery- zuj¡cej klas¦ funkcji musimy zna¢ funkcj¦ f na caªej przestrzeni, tzn. mie¢ z góry zadan¡

f : R^d→ R. Dookre±lenie tego warunku pozwala nam na zadanie warunku ±redniej na D, który zdeniuje nam klas¦ funkcji α-harmonicznych.

Denicja 1.1 (Funkcja α−harmoniczna). Mierzaln¡ funkcj¦ f : R^d → R nazwiemy α−harmoniczn¡ na otwartym zbiorze D ⊂ R^d je»eli dla ka»dego ograniczonego i otwartego zbioru U takiego, »e U ⊂ D zachodzi

f (x) = E^xf (X_τU), x ∈ U, przy czym rozumiemy, »e caªka jest bezwzgl¦dnie zbie»na.

W naszych rozwa»aniach b¦dziemy posªugiwali si¦ funkcjami, dla których wªasno±¢

±redniej zachodzi dla U = D.

Denicja 1.2 (Funkcja regularnie α−harmoniczna). Mierzaln¡ funkcj¦ f : R^d → R nazwiemy regularnie α−harmoniczn¡ na otwartym zbiorze D ⊂ R^d gdy zachodzi

f (x) = E^xf (X_τD), x ∈ D.

Pomi¦dzy funkcjami opisanymi powy»szymi dwiema denicjami zawiera si¦ nast¦pu- j¡ce zawieranie przytoczone cho¢by w [3].

Fakt 1.1. Je»eli funkcja f : R^d→ R jest regularnie α−harmoniczna na otwartym zbiorze D ⊂ R^d to jest równie» α−harmoniczna na zbiorze D.

Operatorem charakteryzuj¡cym funkcje α-harmoniczne jest tzw. uªamkowy laplasjan.

Denicja 1.3 (Uªamkowy laplasjan). Operator ∆^α/2 nazywamy uªamkowym laplasjanem i zadajemy jako:

∆^α2f (x) = A_d,−α lim

→0+

Z

|y|>

f (x + y) − f (x)

|y|^d+α dy.

Zachodzi nast¦puj¡ca wªasno±¢, udowodniona np. w [1].

1.4 J¡dro Poissona

W pracy b¦dziemy analizowa¢ funkcje regularnie α−harmoniczne przy u»yciu narz¦dzi analizy matematycznej, tote» potrzebne s¡ pewne obserwacje pozwalaj¡ce poª¡czy¢ sto- chastyczny charakter opisywanych zjawisk z j¦zykiem analizy matematycznej. Kluczowym poj¦ciem w tym miejscu jest j¡dro Poissona kuli - g¦sto±¢ wyj±cia procesu α-stabilnego z kuli startuj¡cego z punktu zawartego w tej kuli.

W przypadku klasycznym g¦sto±¢ wyj±cia ruchu Browna z kuli jest skupiona na brze- gu kuli (w przypadku dwuwymiarowym bez odwoªa« do teorii procesów stochastycznych opisuje to W. Rudin w [8]), co jak wspominali±my nie znajduje odzwierciedlenia w przy- padku procesów α-stabilnych. W tym podej±ciu rozkªad prawdopodobie«stwa w punktach do których nast¡piªo wyj±cie z kuli najwygodniej zada¢ za pomoc¡ funkcji g¦sto±ci, której to formuªa zostaªa wskazana w [4].

Denicja 1.4 (J¡dro Poissona kuli). Niech α ∈ (0, 2), x0 ∈ R^d, r > 0. Funkcj¦ KB(x0,r) : B(x₀, r) × B(x₀, r)^c→ R, postaci

K_B(x0,r)(x, z) = K(x, z) = C_α,d(r²− |x − x₀|²)^α2 (|z − x₀|² − r²)^α2

1

|x − z|^d, (1) gdzie Cα,d = π^−1−d/2Γ(d/2) sin(πα/2) nazywamy j¡drem Poissona kuli, przy czym w pracy b¦dziemy odnosili si¦ jedynie do postaci j¡dra Poissona kuli i nie b¦dziemy tego za ka»dym razem podkre±lali.

Dla funkcji regularnie α-harmonicznych tªumacz¡c zale»no±¢ f(x) = E^xf (X_τB) na j¦zyk caªkowy zachodzi warunek opisany w poni»szym fakcie.

Fakt 1.3. Niech D jest otwartym podzbiorem R^d. Je»eli funkcja f : R^d→ R jest regularnie α-harmoniczna na D, to dla ka»dej kuli B(x0, r) ⊂ D i ka»dego x ∈ B(x0, r) f speªnia równo±¢:

f (x) =

Z

B^c(x0,r)

K(x, z)f (z)dz. (2)

W pracy b¦dziemy potrzebowali wzoru na pochodn¡ drugiego rz¦du j¡dra Poissona.

Zachodzi nast¦puj¡cy wzór:

∂²K

∂xi∂xk

(x, z) = C_α,d(r²− |x − x₀|²)^α/2 (|z − x0|²− r²)^α/2

1

|x − z|^d[A_ik+ B_ik+ C_ik+ D_ik+ E_ik+ F_ik] (x, z), gdzie

A_ik(x, z) = α(α − 2)(x_k− x_0k)(x_i− x_0i) (r²− |x − x₀|²)² , B_ik(x, z) = −αδki

(r²− |x − x₀|²), Cik(x, z) = α(x_i− x_0i)d(xk− z_k)

(r²− |x − x₀|²)|x − z|², Dik(x, z) = α(x_k− x_0k)d(x_i− z_i)

(r²− |x − x₀|²)|x − z|², E_ik(x, z) = −dδ_ik

|x − z|²,

F_ik(x, z) = d(d + 2)(x_i− z_i)(x_k− z_k)

|x − z|⁴ .

1.5 Uwagi o zbiorach

W dowodach cz¦sto b¦dziemy odwoªywali si¦ do technicznych zaªo»e«, które umo»liwiaj¡

prowadzenie odpowiednich szacowa«. W tym podrozdziale zostanie przedstawiona de- nicja zbiorów klasy C^1,1 oraz opisana zostanie metoda wyboru ukªadu wspóªrz¦dnych w zale»no±ci od wyboru pewnych punktów nale»¡cych do zbioru.

Denicja 1.5 (Zbiór klasy C^1,1). Funkcja F : R^d→ R jest nazywana funkcj¡ C^1,1, je±li posiada pierwsz¡ pochodn¡ F⁰ i istnieje staªa λ taka, »e dla ka»dych x, y ∈ R^d zachodzi

|F⁰(x) − F⁰(y)| ¬ λ|x − y|.

Powiemy, »e otwarty, ograniczony zbiór D ma brzeg klasy C^1,1 je±li dla ka»dego x ∈ ∂D istniej¡: funkcja Fx : R^d−1 → R klasy C^1,1 (ze staª¡ λ = λ(D)), ortonormalny ukªad wspóªrz¦dnych CSx oraz staªa η = η(D) takie, »e dla y = (y1, · · · , y_n) we wspóªrz¦dnych CS_x

D ∩ B(x, η) = {y : y_n> F_x(y₁, · · · , y_n−1} ∩ B(x, η).

Zbiór z brzegiem klasy C^1,1 b¦dziemy nazywa¢ zbiorem klasy C^1,1 lub zbiorem C^1,1. Dla zbiorów C^1,1 zachodzi nast¦puj¡ca wªasno±¢ (któr¡ mo»na znale±¢ np. w [7]):

Fakt 1.4. Niech D jest otwartym, spójnym podzbiorem R^d klasy C^1,1. Wówczas istnieje promie« R > 0 taki, »e dla ka»dego r > 0 o ile r ¬ R i dla ka»dego x ∈ ∂D istniej¡ kule B(o₁, r) i B(o2, r) takie, »e B(o1, r) ⊂ D oraz B(o2, r) ∩ D = φ oraz B(o1, r) ∩ B(o₂, r) = {x}.

Uwaga 1.5. W rozwa»aniach zawartych w tej pracy cz¦sto b¦dziemy odwoªywali si¦ do konkretnej formy ukªadu wspóªrz¦dnych przyj¦tego w zale»no±ci od ustawienia wybranych uprzednio punktów charakterystycznych (np. pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych). Za kluczowy uwa»amy w tym kontek±cie wybór punktu y z brzegu rozpatrywanego zbioru D klasy C^1,1 oraz j¡dro Poissona oparte na kuli zawartej w zbiorze D o ±rodku w punkcie x0, której domkni¦cie zawiera punkt y. W takim ukªadzie za punkty centralny ukªadu wspóªrz¦dnych przyjmujemy punkt y, wersor −→x1 = (1, 0, . . . , 0) wyznaczaj¡cy pierwsz¡ o± ukªadu wspóª- rz¦dnych, x1, zadajemy zgodnie z wektorem normalnym do ∂D w y, tj. w kierunku zgodnym z −−−−→

x₀− y, oczywi±cie wówczas wówczas −−−−→

x₀− y = −→x₀ = (|x₀|, 0, . . . , 0). Dobieramy dowol- ny wersor prostopadªy do wektora −→x1 i oznaczamy go jako −→x2 = (0, 1, 0, . . . , 0). Podobnie konstruujemy wersory −→x_i prostopadªe do wszystkich −→x_j dla j < i, gdzie i = 2, 3, . . . , d.

Niech −→ω b¦dzie dowolnym wersorem. Zaªó»my, »e D jest wypukªym zbiorem klasy C^1,1 oraz niech y jest punktem z jego brzegu ∂D. Wówczas mo»emy rozpisa¢ −→ω = ζ−→v + ξ−→vs, gdzie −→v jest wersorem zgodnym z kierunkiem normalnym do ∂D w punkcie y natomiast

−

→v_s wersorem prostopadªym do −→v, przy czym, poniewa» D jest C^1,1 mamy, »e −→v_s jest wek- torem stycznym do ∂D w y. Bez straty dla ogólno±ci mo»emy zaªo»y¢, »e −→v = −→x1 oraz, »e

−

→v_s = −→x₂.

2 Gªówne wyniki

2.1 Wyniki wªa±ciwe

Lemat 2.1. Niech K = KB(x0,ρ) b¦dzie j¡drem Poissona. Dla ka»dego R > 0 istnieje r > 0 takie, »e dla ka»dego y ∈ ∂B(x0, ρ) je»eli x ∈ B(y, r) ∩ B(x0, ρ) ∩ yx₀, gdzie yx0 to odcinek ª¡cz¡cy y i x0, oraz dla ka»dego ustalonego z ∈ B^c(y, R) ∩ B^c(x0, ρ) K(x, z) jest wkl¦sªe w x, tj.

∂²

∂ω²K (x, z) < 0 (3)

dla ka»dego kierunku −→ω.

Oznaczenie _∂−^∂→_ω²2K (x, z)rozumiemy jako pochodn¡ drugiego rz¦du (w tym przypadku ze wzgl¦du na pierwsz¡, x-ow¡ wspóªrz¦dn¡) w kierunku −→ω. Je»eli −→ω = (α₁, . . . , α_d) to zachodzi zale»no±¢:

∂²

∂−→ω²K(x, z) =

d

X

i=1 d

X

j=1

α_jα_i∂²K(x, z)

∂x_i∂x_j .

Wniosek 2.2. Ustal;my ρ > 0 i x0 ∈ R^d. Dla ka»dego R > 0 istnieje r > 0, »e dla ka»dego z ∈ B^c(x₀, ρ + R) j¡dro Poissona K(x, z) jest funkcj¡ wkl¦sª¡ jako funkcja x, dla x ∈ B(x₀, ρ) \ B(x₀, ρ − r).

Z powy»szego wniosku automatycznie nasuwa si¦ odpowied¹ na pytanie jak wygl¡da wkl¦sªo±¢ funkcji α-harmonicznych na zbiorach kulistych lub zawieraj¡cych cz¦±ci kuliste.

Otrzymujemy generalnie nast¦puj¡cy wniosek.

Wniosek 2.3. Niech D ⊂ R^d b¦dzie otwarty. Niech f jest nieujemn¡ funkcj¡ mierzaln¡

na R^d i α-harmoniczn¡ na D. Zaªó»my, »e istnieje otwarty zbiór V ⊂ R^d taki, »e f ≡ 0 na V \ D i V ∩ ∂D 6= φ i istnieje otwarta kula B ⊂ D taka, »e (D ∩ V ) \ B = φ. Dla ka»dego zbioru P ⊂ V istnieje ε = ε(P, V, B, α) taki, »e dla ka»dego y ∈ (∂D ∩ P ) i dla ka»dego x ∈ D takiego, »e |x − y| < ε funkcja f jest wkl¦sªa w punkcie x.

Dowód powy»szego wniosku wydaje si¦ by¢ stosunkowo prosty, mo»na go znale¹¢ w [9]. Šatwo±ci¡ w dowodzie stanowi zaªo»enie o tym, »e fragment ∂D jest jednocze±nie cz¦±ci¡ wielowymiarowej sfery. Kiedy nie ma mo»liwo±ci dokªadnego dopasowanie dowód mocno si¦ komplikuje i ostatecznie nie otrzymujemy peªnej wkl¦sªo±ci funkcji w regionach przybrze»nych.

Gªówny wynik pracy stanowi nast¦puj¡ce twierdzenie:

Twierdzenie 2.4. Niech D ⊂ R^d b¦dzie otwartym, wypukªym zbiorem klasy C^1,1. Niech V b¦dzie otwartym, spójnym zbiorem takim, »e ∂D ∩ V 6= φ, zaªó»my ponadto, »e P ⊂ V b¦dzie spójnym zbiorem zwartym takim, »e ∂D ∩ P 6= φ. Niech β ∈ [0,^π₂) b¦dzie k¡tem.

Zaªó»my, »e funkcja f jest regularnie α−harmoniczna na D, dodatnia i ograniczona na R^d oraz niech f|V ∩D^c ≡ 0.

Niech y ∈ ∂D ∩ P i −→v oznacza wersor normalny do brzegu zbioru D w punkcie y w kierunku do wn¦trza zbioru D. Wówczas istnieje  = (α, D, V, P, β) taki, »e dla x ∈ D speªniaj¡cego |y − x| < ε i dla dowolnego wersora −→ω dla którego ](−→v , −→ω ) < β zachodzi nierówno±¢

∂²

∂−→ω²f (x) < 0.

2.2 Ilustracje

y R ρ

z B

r x0 x

Rysunek 1: Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy przypadek z lematu 2.1. Dla dowolnego R istnieje r takie, »e dla z z zakreskowanego obszaru K jest wkl¦sªe dla x z pogrubionej czarnej linii w obszarze oznaczonym kratk¡.

ρ + R

ρ

z B

ρ − r

x

Rysunek 2: Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy przypadek z wniosku 2.2. Dla dowolne- go R istnieje r takie, »e dla z z zakreskowanego obszaru K jest wkl¦sªe dla x z w obszarze kratkowanym.

D

V P

Rysunek 3: Ilustracja obrazuje dwuwymiarowy ukªad zale»no±ci pomi¦dzy zbiorami w twierdzeniu 2.4. Zbiór D jest zbiorem klasy C^1,1, V otwartym a P zwartym zbiorem, który za zadanie ma wyznaczy¢ zwarty fragment brzegu zbioru D tak, aby odgrodzi¢ go od miejsca poza V , gdzie f si¦ nie zeruje. Pogrubiony przybrze»ny pas mo»e nieznaczenie wychodzi¢ poza zbiór P, wªa±nie z tego wzgl¦du, »e mamy margines odlegªo±ci pomi¦dzy punktami z P a V . W ten sposób dla wolnego k¡ta β istnieje taki ε-nowy pas przybrze»ny w D, »e dla dowolnego punktu x z tego» funkcja f jest wkl¦sªa we wszystkich kierunkach bli»szych v ni» β, co obrazuje dodatkowo rysunek (4).

v

]β ]β

∂D y

Rysunek 4: Ilustracja obrazuje dwuwymiarowy ukªad zale»no±ci pomi¦dzy kierunkami.

Wektor v jest wektorem normalnym do ∂D w punkcie y. Wszystkie kierunki jakie jakie le»¡ pomi¦dzy wektorem v a wektorami granicznymi odchylonymi nie bardziej ni» o k¡t β od v - tzn. przechodz¡ przez zacieniowany obszar - s¡ kierunkami dla których funkcja f jest funkcj¡ wkl¦sª¡ na obszarze o którym mówi twierdzenie 2.4.

2.3 Lematy, szacowania i fakty

2.3.1 Wielowymiarowy ukªad wspóªrz¦dnych sferycznych

U»ywamy odwzorowania Φ1 : R^d 3 (x₁, x₂, . . . , x_d) → (ρ, φ₁, . . . φ_d−2, φ_d−1) ∈ R+×[0, π)×

· · · × [0, π) × [0, 2π), dla którego zachodzi zale»no±¢:

x₁ = ρ cos(φ₁), x₂ = ρ sin(φ1) cos(φ2),

. . .

x_d−1 = ρ sin(φ₁) sin(φ₂) . . . cos(φ_d−1), x_d = ρ sin(φ₁) sin(φ₂) . . . sin(φ_d−1).

Odwzorowanie Φ : Φ⁻¹1 ((0, ∞) × (0, π) × · · · × (0, π) × (0, 2π)) ↔ (0, ∞) × (0, π) × · · · × (0, π) × (0, 2π) zadane jako Φ(x) = Φ1(x) jest homeomorzmem.

Jakobian odwzorowania Φ⁻¹ wynosi |J| = |ρ^d−1sin^d−2(φ₁) sin^d−3(φ₂) . . . sin(φ_d−2)|. Oznaczmy J⁰ = | sin^d−3(φ₂) . . . sin(φ_d−2)|. Oczywi±cie:

Z

(0,π)×···×(0,π)×(0,2π)

|J⁰|dφ₂. . . dφ_d−1 = const < ∞. (4) 2.3.2 Oszacowanie funkcji regularnie α-harmonicznej f

Dla wygody zapisu i jednocze±nie w celu unikni¦cia nawarstwiaj¡cych si¦ kolejnych ozna- cze« i formuª b¦dziemy próbowali efektywnie sprowadzi¢ do wyra»e« oszacowywalnych przez przeskalowane funkcje odlegªo±ci od brzegów kolejnych zbiorów.

Jedna z wªasno±ci funkcji α−harmonicznych, które b¦d¡ kluczowe w dowodach swoj¡

genez¦ bierze w±ród procesów stochastycznych. Niech {Xt}_t­0jest d−wymiarowym syme- trycznym procesem α−stabilnym. Wówczas zachodzi nast¦puj¡ca zale»no±¢, która spotka¢

mo»na np. w [6] w lemacie 3.

Lemat 2.5 (Brzegowa nierówno±¢ Harnacka). Zaªó»my, »e D ⊆ B(x0, r) jest otwartym zbiorem, funkcja f jest regularnie α-harmoniczna na D (speªnia f(x) = E^x(f (X(τ_D))) dla x ∈ D), f(x) = 0 dla x ∈ B(x0, r) \ D, f(x) ­ 0 dla x ∈ R^d oraz f(x) > 0 na zbiorze dodatniej miary. Istnieje staªa C > 0 taka, »e

1

C ¬ f (x)

E^x(τ_D)^R_Bc(x0,r/2)f (z)|z − x₀|^−d−αdz ¬ C, dla x ∈ D ∩ B(x0,r

2). (5) Zauwa»my, »e dla f speªniaj¡cych powy»sze zaªo»enia i ograniczonych caªka^R f (z)|z−

Lemat 2.6. Istniej¡ staªe C1 = C₁(d, α, D) i C2 = C₂(d, α, D) takie, »e dla otwartego, spójnego zbioru D klasy C^1,1 zachodzi szacowanie

C₁δ_D^α/2(x) ¬ E^x(τD) ¬ C2δ^α/2_D (x). (6) Z lematów 2.5 i 2.6, by¢ mo»e nieco zwi¦kszaj¡c staª¡ C w stosunku do tej pojawiaj¡cej si¦ w lemacie 2.5, wynika nast¦puj¡ca obserwacja.

Wniosek 2.7. Niech funkcja f jest nieujemna i ograniczona na R^d, regularnie α−harmoniczna na spójnym, otwartym zbiorze D, V jest spójnym otwartym zbiorem dla którego f ≡ 0 na V \ D a P jest zwartym podzbiorem V takim, »e P ∩ ∂D 6= φ to wówczas istnieje ε = ε(D, V, P, d, α) taki, »e dla ka»dego x nale»¡cego do ^S

y∈P

B(y, ε) ∩ D istnieje x0 takie,

»e C_f^x0,r

C δ_D^α/2(x) ¬ f (x) ¬ C_f^x0,rCδ^α/2_D (x) gdzie r = 2ε jest niezale»ny od x0.

Zbiór ^S

y∈P

B(y, ε) b¦dziemy oznaczali Zε.

Generalnie ªatwo zauwa»y¢, »e np. dla ε = ¹₂dist(P, V^c) i x0 dobieranych wzgl¦dem ukªadu wspóªrz¦dnych ustalonych dla x zgodnie z uwag¡ 1.5 jako x0 = (ε, 0, . . . , 0) mamy tez¦ wniosku.

2.3.3 Szacowania j¡dra Poissona

Niech B b¦dzie kul¡ w R^d, x ∈ B, y ∈ B^c, oraz K oznacza j¡dro Poissona dla kuli B.

Mo»emy ªatwo zauwa»y¢, »e K jest ograniczone z góry przez funkcje zale»ne od δB(x), δ_B(y) i |x − y|.

Lemat 2.8. Istnieje staªa C = C(α, d) taka, »e dla ka»dego x i z

K(x, z) ¬ C δ^α/2_B (x)

δ^α/2_B (z) |x − z|^d. (7)

W przypadku szacowania pochodnych drugiego rz¦du dla j¡dra Poissona sytuacja nie jest ju» taka oczywista, jakkolwiek wystarczy odci¡¢ si¦ od niesko«czono±ci, aby dosta¢

dobre oszacowania, które b¦d¡ bardzo po»yteczne w dalszych dowodach. Zwró¢my równie»

uwag¦ na specyk¦ poni»szego lematu. Tezy w nim zawarte s¡ speªnione dla ka»dego x ∈ B bez wzgl¦du na jego pozycj¦ w kuli. Porównuj¡c ten wynik z wynikiem lematu 2.1 zauwa»ymy, »e w przypadku tego» drugiego znamy dodatkowo znak pochodnej drugiego rz¦du j¡dra Poissona, ale jednak dochodzi dodatkowy warunek wymagaj¡cy, aby x byª blisko brzegu kuli B. Porównanie tych dwóch lematów b¦dzie stanowiªo kwintesencj¦

dowodu twierdzenia 2.4.

Lemat 2.9. Dla x z wn¦trza kuli B(x0, r) zwi¡zanej z j¡drem Poissona K le»¡cych na osi zadanej wersorem −→x1 oraz dla z ze zbioru B(x0, r + ε) dla dowolnego ε > 0 zachodz¡

nast¦puj¡ce nierówno±ci:

∂²K

∂x_i∂x_k(x, z) ¬ C_ε δ_B^α/2−1(x)

δ_B^α/2(z) |x − z|^d+1 (8)

oraz

∂²K

∂x_i∂x_k(x, z)

   ¬ Cε

δ_B^α/2−2(x)

δ^α/2_B (z) |x − z|^d. (9) Dowód. Zachodzi |Aik|(x, z) ¬ C_A¹/(r² − |x − x₀|²)² ¬ C_Aδ⁻²_B (x), podobnie |Bik|(x, z) ¬ C_Bδ⁻¹_B (x), poniewa» |x−z| ­ δB(x)to |Cik|(x, z) ¬ C_C¹/(r²−|x−x₀|²)|x − z| ¬ C_Cδ_B⁻²(x),

|D_ik|(x, z) ¬ C_D¹/(r²−|x−x₀|²)|x−z| ¬ C_Dδ_B⁻²(x), |Eik| ¬ C_E|x−z|⁻¹δ_B⁻¹(x) ¬ C_Eδ_B⁻²(x) oraz |Fik|(x, z) ¬ C_F/|x − z|² ¬ C_Fδ_B⁻²(x). Z lematu 2.8 wynika (9), a poniewa» Aik ¬ 0 mamy równie» (8).

2.3.4 Inne nierówno±ci

W tej cz¦±ci przytoczymy dwa lematy które pomog¡ przy szacowaniach wykorzystywanych w dowodach gªównych twierdze«, a pomysªy na które to oszacowania wzi¦te zostaªy z [7].

Lemat 2.10. Niech x0 = (r, 0, . . . , 0) ∈ R^d gdzie r > 0. Niech B = B(x0, r). Dla z ∈ B^c, dla których z1 ­ 0 oraz |z| ¬ r zachodzi

δB(z) ­ |z| sin(φ1− β(|z|))/4, (10) gdzie φ1 oznacza k¡t odchylenia z od osi x1 a β(|z|) oznacza k¡t pomi¦dzy osi¡ x1 a punktami brzegu kuli B odlegªych od ±rodka ukªadu wspóªrz¦dnych o |z|.

Dowód. Zaªó»my, »e u le»y na sferze ∂B i φ^u1 jest k¡tem jego odchylenia od osi x1. Wówczas mamy, »e ](yu, yx0) = φ^u₁ oraz |y−x0| = roraz |u−x0| = r, zatem z twierdzenia cosinusów r²+ |u|²− 2r|u| cos(φ^u₁) = r² co implikuje, »e

cos(φ^u₁) = |u|/2r. (11)

Wówczas je»eli z le»y poza kul¡ B i jest od niej odlegªy o θ wówczas ponownie z twierdzenia cosinusów zachodzi r²+ |z|²− 2r|z| cos(φ₁) = (r + θ)² a to implikuje:

δ_B(z) = θ ­ 1/2(θ + θ²/2r) = 1/2 |z|²

2r − |z| cos(φ₁)

!

= |z| |z|

2r − cos(φ₁)

!

/2. (12) Z to»samo±ci (11) otrzymujemy:

|z|

2r − cos(φ₁) = cos β(|z|) − cos(φ₁) = 2 sinβ(|z|) + φ₁

2 sinφ₁− β(|z|)

2 = (∗) (13)

Poniewa» |z| ¬ r to ^π₄ ¬ φ₁ ¬ π/2oraz π/4 ¬ β(|z|) ¬ π/2. Zatem sin^β(|z|)+φ₂ ¹ ­ sin(π/4), wi¦c

Lemat 2.11. Niech D jest wypukªym zbiorem, B(x0, r) ⊂ D a y ∈ ∂D ∩ ∂B jest po- cz¡tkiem ukªadu wspóªrz¦dnych. Wtedy funkcja δD(x) na B(y, r) \ B(x0, r), gdzie , jest ograniczona z góry przez:

|x| cos(β(|x|) = |x| sin^π

2 − β(|x|)^= |x|²

2r , (15)

gdzie β(|x|) jak w lemacie (2.10).

Dowód. Skoro D jest wypukªy to wówczas dla dowolnego x ∈ B(y, r) \ B(x0, r) zachodzi δ_D(x) ¬ x1, natomiast x1 = |x| cos(φ2) = |x| sin(π/2 − φ1) < |x| cos(β(|x|) = ^|x|_2r².

2.4 Dowody

Dowód lematu 2.1. Niech R b¦dzie ustalon¡, dodatni¡ liczb¡ rzeczywist¡, zdeniujmy r₀ = min(^R₂,^ρ)₂. B¦dziemy szukali r ¬ r0 dla którego speªniona b¦dzie teza lematu.

Zgodnie z uwag¡ 1.5 ustalmy punkt y ∈ ∂B(x0, ρ), bez straty dla ogólno±ci przyjmijmy,

»e y jest pocz¡tkiem ukªadu wspóªrz¦dnych. Wersor −→x₁ := ^(x_|x^0−y)

0−y| odpowiada kierunkowi normalnemu do kuli B(x0, ρ) w punkcie y i wyznacza dodatni kierunek pierwszej osi x1

ukªadu wspóªrz¦dnych. O kolejnych d − 1 wersorach odpowiadaj¡cych pozostaªym d − 1 osiom ukªadu wspóªrz¦dnego zakªadamy, »e wszystkie s¡ prostopadªe do −→x₁ i do siebie nawzajem. Zauwa»my, »e w takich wspóªrz¦dnych x0 wyra»a si¦ jako wektor (ρ, 0, . . . , 0).

W dowodzie b¦dziemy ró»niczkowali j¡dro Poissona K(x, z) jedynie po pierwszej zmien- nej x, czyli przy ustalonej warto±ci drugiej zmiennej z.

Wybierzmy x = (t, 0, . . . , 0) gdzie t > 0 i t ¬ r0. Niech −→ω = (α₁, . . . , α_d) b¦dzie dowolnym wersorem, przy czym bez straty dla ogólno±ci mo»emy zaªo»y¢, »e α1 ­ 0. Dla dowolnego ustalonego z dostajemy:

∂²

∂−→ω²K(x, z) =

d

X

i=1 d

X

j=1

α_jα_i∂²K(x, z)

∂x_i∂x_j

=

d

X

i=1

α²_i∂²K(x, z)

∂xi2 +

d−1

X

i=1 d

X

j=i+1

2α_jα_i∂²K(x, z)

∂xi∂xj

= α²₁∂²K(x, z)

∂x₁² +

d

X

i=2

α²_i∂²K(x, z)

∂x_i² +

d

X

j=2

2α_jα₁∂²K(x, z)

∂x₁∂x_j +

d

X

i=2 d

X

j=i+1

2α_jα_i∂²K(x, z)

∂x_i∂x_j . (16) Mo»emy zapisa¢

α²₁∂²K(x, z)

∂x₁² = K(x, z)



α²₁(A₁₁+ B₁₁+ C₁₁+ D₁₁+ E₁₁+ F₁₁)



, (17)

d

X

i=2

α²_i∂²K(x, z)

∂x_i² = K(x, z)

 d

X

i=2

α²_i(A_ii+ B_ii+ C_ii+ D_ii+ E_ii+ F_ii)



, (18)

d

X

j=2

2αjα₁∂²K(x, z)

∂x₁∂x_j = K(x, z)

 d

X

j=2

2αjα₁(A1i+ B1i+ C1i+ D1i+ E1i+ F1i)



, (19)

d

X

i=2 d

X

j=i+1

2α_jα_i∂²K(x, z)

∂xi∂xj

= K(x, z)

 d

X

i=2 d

X

j=i+1

2α_jα_i(A_ij + B_ij + C_ij + D_ij+ E_ij + F_ij)



. (20)

¬ −r₀² α(2 − α)

(ρ − |x − x₀|)(ρ + |x − x₀|)^2

¬ −r₀² α(2 − α)

2ρ(ρ − |x − x₀|)^2

< −C⁰δ_B⁻²(x)

W podobny sposób pokazujemy nast¦puj¡ce szacowania:

B₁₁(x, z) ¬ − α

2ρ(ρ − |x − x₀|) < −C⁰δ_B⁻¹(x), E₁₁(x, z) ¬ −d

r₀² ¬ −E_R = const.,

|C₁₁(x, z) + D₁₁(x, z)| ¬

α(x₁− x₀₁)d(x₁− z₁) (ρ²− |x − x₀|²)|x − z|²

   +

α(x₁− x₀₁)d(x₁− z₁) (ρ²− |x − x₀|²)|x − z|²

   ¬

¬ 2

α(x1− x01)d (ρ²− |x − x₀|²)|x − z|

   ¬ 2

dα r₀(ρ − |x − x₀|)

< C⁰⁰δ_B⁻¹(x),

|F₁₁(x, z)| ¬ d(d + 2)

|x − z|² ¬ d(d + 2)

r²₀ = F_R = const.

Tak wi¦c (17) szacujemy z góry przez −C1δ⁻²_B (x)α₁K(x, z), gdzie C1 = C₁(α, r₀, ρ, d)dla odpowiednio maªych t ¬ r1 = r₁(r₀, α, ρ, d, C₁).

Dla cz¦±ci (18) - poniewa» xk − x_0k = 0 dla k 6= 1 otrzymujemy Akk(x, z) ≡ 0, B_kk(x, z) ¬ −B_Rδ_B⁻¹(x), Ekk(x, z) ¬ −E_R, |Ckk(x, z) + D_kk(x, z)| = 0, Fkk(x, z) ¬ F_R, gdzie BR, ER i FR to staªe zale»ne jedynie od wymiaru, α i staªej R.

Dla ka»dej pochodnej mieszanej w cz¦±ci (19) otrzymujemy Aij(x, z) = 0, |Eij(x, z) + B_ij(x, z)| = 0, |Cij(x, z) + D_ij(x, z)| < Cδ_B⁻¹(x) oraz Fij(x, z) < F_R, a dla cz¦±ci (20) A_1j(x, z) = B_1j(x, z) = C_1j(x, z) = D_1j(x, z) = E_1j(x, z) = 0 oraz F1j(x, z) < F_R, zatem wyra»enie (20) jest mniejsze ni» d²F_RK(x, z), oznaczmy D = d²F_R.

Tym sposobem dla t < r1 wyra»enie (16) mo»emy oszacowa¢ z góry przez

K(x, z)



− α²₁C₁δ⁻²_B (x) −

d

X

i=2

α²_iC₂⁰δ_B⁻¹(x) +

d

X

j=2

|α₁α_j|C₃δ⁻¹_B (x) + D



. (21)

B¦dziemy szacowa¢ wyra»enie −α²1C1δ_B⁻²(x)−^Pd_i=2α_i²C₂⁰δ_B⁻¹(x)+^Pd_j=2|α1αj|C3δ_B⁻¹(x)+

D.

δ_B⁻¹(x)^− α²₁C₁δ_B⁻¹(x) −

d

X

i=2

α²_iC₂⁰ +

d

X

j=2

|α₁α_j|C₃^0+ D

¬ δ⁻¹_B (x)^− α²₁C1δ⁻¹_B (x) − max

i>1 α²_iC₂⁰ + (d − 1) max

j>1 |α1αj|C₃^0+ D (22) Poka»emy, »e dla dowolnego kierunku ω = (α1, . . . , αd)

−α²₁C₁δ_B⁻¹(x) − max

i>1 α²_iC₂⁰ + (d − 1) max

j>1 |α₁α_j|C₃⁰ ¬ −C₂⁰ 2d.

Poniewa» dla ka»dej ω mamy jedynie sko«czon¡ liczb¦ wspóªrz¦dnych, wi¦c istnieje i takie, »e αI = max_j=2,...,d|α_j|. Oznaczmy C3 = C₃⁰(d − 1) oraz C2 = ^C₂²⁰. We¹my x tak bliskie ∂B, aby

δ_B(x)⁻¹ ­ max{(C₃− C₂)C₃²

C₁C₂² ,C₃d + C₂

C₁ }. (23)

Zaªó»my, »e α1 ­ α_I, oczywi±cie wówczas α1 ­ ^√1

d, ponadto z (23) dostajemy:

− α²₁C₁δ_B⁻¹(x) − 2α²_IC₂+ α₁α_IC₃ ¬ −α²₁C₁C₃d + C₂

C₁ + α₁α₁C₃

¬ −α²₁C₃d −C₂

d + α₁α₁C₃ = −C₂ d (24) Zaªó»my, »e α1 < α_I, oczywi±cie wówczas αI ­ ^√1

d, zaªó»my dodatkowo, »e αI ­ α₁^C_C³

2, dostajemy:

− α²₁C₁δ_B⁻¹(x) − α²_IC₂+ α₁αIC₃− α²_IC₂

¬ α_I(α1C3− α_IC2) − α²_IC2 ¬ α_I(α1C3− C₂α1

C₃

C₂) − α²_IC2

= −α_I²C₂ ¬ −C₂ d (25) Zaªó»my, »e α1 < α_I, oczywi±cie wówczas αI ­ ^√1

d, zaªó»my dodatkowo, »e αI < α₁^C_C³

2, a to daje nam, »e −(^α_α¹_I)² ¬ −(^C_C²

3)²,

− α²₁C₁δ_B⁻¹(x) − α²_IC₂+ α₁α_IC₃− α²_IC₂

¬ α_I²

α₁

α_IC₃−^α₁ α_I

2

C₁δ⁻¹_B (x) − C₂



− C₂ d

¬ α²_I



C₃−^C₂ C₃

2

C₁δ_B⁻¹(x) − C2



− C₂ d

¬ α²_I



C₃−^C₂ C₃

2

C₁(C₃− C₂)C₃² C₁C₂² − C₂



− C₂

d = −C₂ d (26) Dostajemy zatem, »e dla t ¬ r1 (22) jest ograniczone przez

− δ_B⁻¹(x)C₂

d + D, (27)

a zatem wystarczy wystarczy znale¹¢ r ¬ r1 tak maªe, aby dla |x − y| < r zachodziªo

−1 oraz aby warunki w (23) byªy zapewnione. Finalnie dostajemy, »e wyra»enie

Dowód twierdzenia 2.4. Niech δ0 = inf{y∈∂D∩P }×{z∈R^d\(D∪{v:f (v)=0})}|y −z|. Niech R b¦dzie promieniem z faktu 1.4 przy denicji zbioru klasy C^1,1 mniejszym ni» δ0. Niech r = R/3.

Niech K jest j¡drem Poissona zwi¡zanym z kul¡ B = B(x0, r) w której domkni¦ciu le»y punkt y ∈ ∂D∩P . Niech y b¦dzie ±rodkiem ukªadu wspóªrz¦dnych a o± x1 dobrana tak, »e x₀ = (r, 0, . . . , 0). Niech ε0 jest staª¡ o której istnieniu mówi wniosek 2.7. Niech δ = r/2.

Dla tak dobranej δ i K z lematu 2.1 wynika istnienie takiej ε0 > κ > 0 niezale»nej od y,

»e dla ka»dego x bli»szego y ni» κ pochodna drugiego rz¦du K w dowolnym kierunku jest ujemna dla dowolnego z spoza kuli B(x0, r + δ). O κ zakªadamy, »e κ  1.

B¦dziemy rozwa»ali drug¡ pochodn¡ w kierunku ω = ζx1+ ξx₂ = ζv + ξv_s: Dla funkcji α−harmonicznych zachodzi nast¦puj¡ca równo±¢:

∂²f

∂x_i∂x_j(x) =

Z

B^c(x0,r)

f (z) ∂²K

∂x_i∂x_j(x, z)dz (29)

B¦dziemy szacowali tylko te x, które le»¡ na osi x1 wewn¡trz B i |x − y| ¬ κ.

∂²K

∂ω² = ζ²∂²K

∂v² + 2ζξ ∂²K

∂v∂v_s + ξ²∂²K

∂v_s². (30)

Poka»emy, »e

Z

B^c(x0,r)

f (z)∂²K

∂v² (x, z)dz ¬ −C⁰δ_D^α/2−2(x), (31) I_II⁰ =

Z

B^c(x0,r)

f (z) ∂²K

∂v∂v_s(x, z)dz ¬ Cδ^α/2−1_D (x)| log(δD(x))|, (32) I_III⁰ =

Z

B^c(x0,r)

f (z)∂²K

∂v_s²(x, z)dz ¬ Cδ_D^α/2−1(x)| log(δ_D(x)| (33) dla x bli»szych y ni» pewna κ1 która zostanie dokªadnie scharakteryzowana w pó¹niej- szej cz¦±ci dowodu.

Zauwa»my, »e z lematu 2.1 oraz tego, »e A1,1, B1,1 i E1,1 s¡ ujemne wynika, »e dla x bli»szych y ni» κ mamy

Z

B^c(x0,r)

f (z)∂²K

∂v² dz

¬

Z

B(x0,r+δ)\B(x0,r)

f (z)K(x, z)(C11+ D11+ F11)(x, z)dz +

Z

B(4x0,r)

f (z)∂²K

∂v² (x, z)dz. (34)

Zauwa»my równie», »e B(4x0, r) ⊂ B(4x₀, 2R/3)oraz, »e B(4x₀, 2R/3) ⊂ B((R, 0, . . . , 0), R) ⊂ D.