Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział , na którym funkcja f (x) = x 3 − 6x 2 + 9x − 3 jest ściśle malej¸ aca i wkl¸esła.

(1)

Analiza Matematyczna Egzamin Podstawowy

Zestaw C Zadanie 1

Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział , na którym funkcja f (x) = x ³ − 6x ² + 9x − 3 jest ściśle malej¸ aca i wkl¸esła.

Rozwi¸ azanie

Funkcja f (x) jako wielomian stopnia 3 jest ci¸ agła na prostej rzeczywistej (−∞ , ∞).

Istniej¸ a zatem ci¸ agłe pochodne funkcji do rz¸edu trzeciego wł¸ acznie określone na tym przedziale. Funkcja jest ściśle malej¸ aca i wkl¸esła wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest układ nierówności

f ⁽¹⁾ (x) < 0 f ⁽²⁾ (x) < 0 St¸ ad

f ⁽¹⁾ (x) < 0 ↔ 3(x ² − 4x + 3) < 0 ↔ 3(x − 1)(x − 3) < 0 ↔ (1 < x < 3) f ⁽²⁾ (x) > 0 ↔ 6(x − 2) < 0 ↔ (x < 2)

Z rozwi¸ azania układu nierówności wynika, że funkcja f (x) jest ściśle malej¸ aca i wkl¸esła na przedziale (1, 2).

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego prost¸ a y = 2x − 3 i parabol¸ a y = 4x − x ² . Patrz wykres 3.pdf oddzielny zał¸ acznik.

Rozwi¸ azanie

Rozwi¸ azuj¸ ac układ równań

y = 2x − 3 y = −x ² + 4x

Otrzymujemy punkty wspólne prostej i paraboli (−1, −5), (3, 3).

Zauważmy że pole obszaru zawartego mi¸edzy prost¸ a i parabol¸ a można podzielić na trzy

pola P ₁ , P ₂ , P ₃ .

(2)

Pole P ₁ dla x ∈ (−1, 0) zawarte jest mi¸edzy ujemn¸ a cz¸eści¸ a prostej i ujemn¸ a gał¸ezi¸ a paraboli. St¸ ad jego wartość

|P ₁ | = Z 0

−1

[0−(2x−3)−(0−(4x−x ² ))]dx = Z 0

−1

(3+2x−x ² )dx = −3(−1)−2(−1) ² /2+(−1) ³ /3 = 5/3 Pole P ₂ zawarte w zakresie 0 < x < 3/2 mi¸edzy dodatni¸ a gał¸ezi¸ a paraboli i ujemn¸ a

cz¸eści¸ a prostej jest równe

|P 2 | = Z 3/2

0

[(4x−x ² −0)+0−(2x−3)]dx = Z 3/2

0

(3+2x−x ² )dx = 3·3/2+(3/2) ² −(3/2) ³ /3 = 135/24 Pole P 3 zawarte dla 3/2 < x < 3 mi¸edzy dodatni¸ a gał¸ezi¸ a paraboli i prostej.

|P ₃ | = Z 3

3/2

[4x−x ² −2x+3)]dx = Z 3

3/2

(−x ² +2x+3)dx = −3 ³ /3+3 ² +3·3+(3/2) ³ /3−(3/2) ² −3·3/2 = 27/8 St¸ ad pole obszaru P zawartego mı¸edzy prost¸ a i parabol¸ a jest równe

|P | = 5

3 + 135 24 + 27

8 = 256

24 = 10 2 3 .

Uwaga : Zadanie można rozwi¸ azać za pomoc¸ a jednej całki

|P | = Z 3

−1

(4x−x ² −2x+3)dx = Z 3

−1

(3+2x−x ² )dx = 3·3+3 ² −3 ³ /3−3·(−1)−(−1) ² +(−1) ³ /3 = 10 2 3 . Zadanie 3

Prosz¸e obliczyć granic¸e ci¸ agu

b _n = −3n ² + 5 cos(n) + 1 2n ² − n + 2 · (−1) ⁿ Rozwi¸ azanie

Do obliczenia granicy wykorzystamy twierdzenie o trzech ci¸ agach.

Przypomnijmy to twierdzenie.

”Jeśli a _n ≤ b _n ≤ c _n dla dostatecznie dużych n i ci¸ agi (a _n ), (b _n ) maj¸ a równe granice, to ci¸ ag b _n też ma granic¸e i zachodz¸ a równości

n→∞ lim a _n = lim

n→∞ b _n = lim

n→∞ c _n ” Dla dostatecznie dużego n zachodzi nierówność

−3n ² − 5 · 1 + 1 −3n ² −3n ²

(3)

Z twierdzenia o trzech ci¸ agach otrzymujemy

n→∞ lim a _n = lim

n→∞ b _n = lim

n→∞ c _n = − 3 2 Zadanie 4

Prosz¸e obliczyć

Z

sin ² x cos ³ xdx

Rozwi¸ azanie

Stosujemy podstawienie

t = sin x, dt = cos xdx

Z

sin ² x cos ³ xdx = Z

sin ² x cos ² x cos xdx = Z

sin ² x(1 − sin ² x) cos xdx =

= Z

t ² (1 − t ² )dt = Z

(−t ⁴ + t ² )dt = − sin ⁵ x

5 + sin ³ x 3 + C Zadanie 5

Prosz¸e obliczyć

Z −32

(x − 3)(x ² + 4x + 5) dx Rozwi¸ azanie

Rozkładamy funkcj¸e podcałkow¸ a na sum¸e ułamków prostych:

1 (x − 3)(x ² + 4x + 5) = A

x − 3 + Bx + C

x ² + 4x + 5 = (A + B)x ² + (4A − 3B + C)x + (5A − 3C) (x − 3)(x ² + 4x + 5)

St¸ ad







A + B = 0

4A − 3B + C = 0

5A − 3C = 0

(4)

Rozwi¸ azaniem układu jest

A = 1

26 , B = − 1

26 , C = − 7 26 . Prosz¸e sprawdzić!

St¸ ad

Z −32

x ² + 4x + 5 dx = − 16 13

Z 1

x − 3 dx + 16 13

Z x + 7

x ² + 4x + 5 dx = c 1 + c 2

c ₁ = − 16 13

Z 1

x − 3 dx = − 16

13 ln|x − 3| + E c 2 = 16

13 Z x + 7

x ² + 4x + 5 dx = 8 13

Z 2x + 14

x ² + 4x + 5 dx = 8 13

Z 2x + 4

x ² + 4x + 5 dx+ 80 13

Z dx

(x + 2) ² + 1 =

= 8

13 ln(x ² + 4x + 5) + 80

13 arctan(x + 2) + F Ostatecznie

Z −32

(x − 3)(x ² + 4x + 5) dx = − 8

13 ln(x − 3) ² + 8

13 ln(x ² + 4x + 5) + 80

13 arctan(x + 2) + G =

= 8

13 ln x ² + 4x + 5 (x − 3) ² + 80

13 arctan(x + 2) + G gdzie G = E + F .

Zadanie 6

Prosz¸e napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = tg(π · 4 ^x ) . w punkcie (−1, f (−1)).

Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział , na którym funkcja f (x) = x 3 − 6x 2 + 9x − 3 jest ściśle malej¸ aca i wkl¸esła.

Analiza Matematyczna Egzamin Podstawowy

Zestaw C Zadanie 1

Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział , na którym funkcja f (x) = x 3 − 6x 2 + 9x − 3 jest ściśle malej¸ aca i wkl¸esła.

Rozwi¸ azanie

Funkcja f (x) jako wielomian stopnia 3 jest ci¸ agła na prostej rzeczywistej (−∞ , ∞).

Istniej¸ a zatem ci¸ agłe pochodne funkcji do rz¸edu trzeciego wł¸ acznie określone na tym przedziale. Funkcja jest ściśle malej¸ aca i wkl¸esła wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest układ nierówności

 f (1) (x) < 0 f (2) (x) < 0 St¸ ad

f (1) (x) < 0 ↔ 3(x 2 − 4x + 3) < 0 ↔ 3(x − 1)(x − 3) < 0 ↔ (1 < x < 3) f (2) (x) > 0 ↔ 6(x − 2) < 0 ↔ (x < 2)

Z rozwi¸ azania układu nierówności wynika, że funkcja f (x) jest ściśle malej¸ aca i wkl¸esła na przedziale (1, 2).

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego prost¸ a y = 2x − 3 i parabol¸ a y = 4x − x 2 . Patrz wykres 3.pdf oddzielny zał¸ acznik.

Rozwi¸ azanie

Rozwi¸ azuj¸ ac układ równań

 y = 2x − 3 y = −x 2 + 4x

Otrzymujemy punkty wspólne prostej i paraboli (−1, −5), (3, 3).

Zauważmy że pole obszaru zawartego mi¸edzy prost¸ a i parabol¸ a można podzielić na trzy

pola P 1 , P 2 , P 3 .

Pole P 1 dla x ∈ (−1, 0) zawarte jest mi¸edzy ujemn¸ a cz¸eści¸ a prostej i ujemn¸ a gał¸ezi¸ a paraboli. St¸ ad jego wartość

|P 1 | = Z 0

−1

[0−(2x−3)−(0−(4x−x 2 ))]dx = Z 0

−1

(3+2x−x 2 )dx = −3(−1)−2(−1) 2 /2+(−1) 3 /3 = 5/3 Pole P 2 zawarte w zakresie 0 < x < 3/2 mi¸edzy dodatni¸ a gał¸ezi¸ a paraboli i ujemn¸ a

cz¸eści¸ a prostej jest równe

|P 2 | = Z 3/2

0

[(4x−x 2 −0)+0−(2x−3)]dx = Z 3/2

0

(3+2x−x 2 )dx = 3·3/2+(3/2) 2 −(3/2) 3 /3 = 135/24 Pole P 3 zawarte dla 3/2 < x < 3 mi¸edzy dodatni¸ a gał¸ezi¸ a paraboli i prostej.

|P 3 | = Z 3

3/2

[4x−x 2 −2x+3)]dx = Z 3

3/2

(−x 2 +2x+3)dx = −3 3 /3+3 2 +3·3+(3/2) 3 /3−(3/2) 2 −3·3/2 = 27/8 St¸ ad pole obszaru P zawartego mı¸edzy prost¸ a i parabol¸ a jest równe

|P | = 5

3 + 135 24 + 27

8 = 256

24 = 10 2 3 .

Uwaga : Zadanie można rozwi¸ azać za pomoc¸ a jednej całki

|P | = Z 3

−1

(4x−x 2 −2x+3)dx = Z 3

−1

(3+2x−x 2 )dx = 3·3+3 2 −3 3 /3−3·(−1)−(−1) 2 +(−1) 3 /3 = 10 2 3 . Zadanie 3

Prosz¸e obliczyć granic¸e ci¸ agu

b n = −3n 2 + 5 cos(n) + 1 2n 2 − n + 2 · (−1) n Rozwi¸ azanie

Do obliczenia granicy wykorzystamy twierdzenie o trzech ci¸ agach.

Przypomnijmy to twierdzenie.

”Jeśli a n ≤ b n ≤ c n dla dostatecznie dużych n i ci¸ agi (a n ), (b n ) maj¸ a równe granice, to ci¸ ag b n też ma granic¸e i zachodz¸ a równości

n→∞ lim a n = lim

n→∞ b n = lim

n→∞ c n ” Dla dostatecznie dużego n zachodzi nierówność

−3n 2 − 5 · 1 + 1 −3n 2 −3n 2

Z twierdzenia o trzech ci¸ agach otrzymujemy

n→∞ lim a n = lim

n→∞ b n = lim

n→∞ c n = − 3 2 Zadanie 4

Prosz¸e obliczyć

Z

sin 2 x cos 3 xdx

Rozwi¸ azanie

Stosujemy podstawienie

t = sin x, dt = cos xdx

Z

sin 2 x cos 3 xdx = Z

sin 2 x cos 2 x cos xdx = Z

sin 2 x(1 − sin 2 x) cos xdx =

= Z

t 2 (1 − t 2 )dt = Z

(−t 4 + t 2 )dt = − sin 5 x

5 + sin 3 x 3 + C Zadanie 5

Prosz¸e obliczyć

Z −32

(x − 3)(x 2 + 4x + 5) dx Rozwi¸ azanie

Rozkładamy funkcj¸e podcałkow¸ a na sum¸e ułamków prostych:

1

(x − 3)(x 2 + 4x + 5) = A

x − 3 + Bx + C

x 2 + 4x + 5 = (A + B)x 2 + (4A − 3B + C)x + (5A − 3C) (x − 3)(x 2 + 4x + 5)

Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział , na którym funkcja f (x) = x ³ − 6x ² + 9x − 3 jest ściśle malej¸ aca i wkl¸esła.

f ⁽¹⁾ (x) < 0 f ⁽²⁾ (x) < 0 St¸ ad

f ⁽¹⁾ (x) < 0 ↔ 3(x ² − 4x + 3) < 0 ↔ 3(x − 1)(x − 3) < 0 ↔ (1 < x < 3) f ⁽²⁾ (x) > 0 ↔ 6(x − 2) < 0 ↔ (x < 2)

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego prost¸ a y = 2x − 3 i parabol¸ a y = 4x − x ² . Patrz wykres 3.pdf oddzielny zał¸ acznik.

y = 2x − 3 y = −x ² + 4x

pola P ₁ , P ₂ , P ₃ .

Pole P ₁ dla x ∈ (−1, 0) zawarte jest mi¸edzy ujemn¸ a cz¸eści¸ a prostej i ujemn¸ a gał¸ezi¸ a paraboli. St¸ ad jego wartość

|P ₁ | = Z 0

[0−(2x−3)−(0−(4x−x ² ))]dx = Z 0

(3+2x−x ² )dx = −3(−1)−2(−1) ² /2+(−1) ³ /3 = 5/3 Pole P ₂ zawarte w zakresie 0 < x < 3/2 mi¸edzy dodatni¸ a gał¸ezi¸ a paraboli i ujemn¸ a

[(4x−x ² −0)+0−(2x−3)]dx = Z 3/2

(3+2x−x ² )dx = 3·3/2+(3/2) ² −(3/2) ³ /3 = 135/24 Pole P 3 zawarte dla 3/2 < x < 3 mi¸edzy dodatni¸ a gał¸ezi¸ a paraboli i prostej.

|P ₃ | = Z 3

[4x−x ² −2x+3)]dx = Z 3

(−x ² +2x+3)dx = −3 ³ /3+3 ² +3·3+(3/2) ³ /3−(3/2) ² −3·3/2 = 27/8 St¸ ad pole obszaru P zawartego mı¸edzy prost¸ a i parabol¸ a jest równe

(4x−x ² −2x+3)dx = Z 3

(3+2x−x ² )dx = 3·3+3 ² −3 ³ /3−3·(−1)−(−1) ² +(−1) ³ /3 = 10 2 3 . Zadanie 3

b _n = −3n ² + 5 cos(n) + 1 2n ² − n + 2 · (−1) ⁿ Rozwi¸ azanie

”Jeśli a _n ≤ b _n ≤ c _n dla dostatecznie dużych n i ci¸ agi (a _n ), (b _n ) maj¸ a równe granice, to ci¸ ag b _n też ma granic¸e i zachodz¸ a równości

n→∞ lim a _n = lim

n→∞ b _n = lim

n→∞ c _n ” Dla dostatecznie dużego n zachodzi nierówność

−3n ² − 5 · 1 + 1 −3n ² −3n ²

n→∞ lim a _n = lim

n→∞ b _n = lim

n→∞ c _n = − 3 2 Zadanie 4

sin ² x cos ³ xdx

sin ² x cos ³ xdx = Z

sin ² x cos ² x cos xdx = Z

sin ² x(1 − sin ² x) cos xdx =

t ² (1 − t ² )dt = Z

(−t ⁴ + t ² )dt = − sin ⁵ x

5 + sin ³ x 3 + C Zadanie 5

(x − 3)(x ² + 4x + 5) dx Rozwi¸ azanie

(x − 3)(x ² + 4x + 5) = A

x ² + 4x + 5 = (A + B)x ² + (4A − 3B + C)x + (5A − 3C) (x − 3)(x ² + 4x + 5)

x ² + 4x + 5 dx = − 16 13

x ² + 4x + 5 dx = c 1 + c 2

c ₁ = − 16 13

x ² + 4x + 5 dx = 8 13

x ² + 4x + 5 dx = 8 13

x ² + 4x + 5 dx+ 80 13

(x + 2) ² + 1 =

13 ln(x ² + 4x + 5) + 80

(x − 3)(x ² + 4x + 5) dx = − 8

13 ln(x − 3) ² + 8

13 ln(x ² + 4x + 5) + 80

13 ln x ² + 4x + 5 (x − 3) ² + 80

Prosz¸e napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = tg(π · 4 ^x ) . w punkcie (−1, f (−1)).

(x ₀ )(x − x ₀ ) + f (x ₀ )