FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

2 α

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

1. Obliczyć:

a) cos

2120° - sin²120°

b) sin 1000°

c) cos

2105° - sin²105°

d) sin x + cos

2

x jeŜeli sin x - cos x = 1 e) cos jeśli cos α = ∧ α ∈ (π ; 2π)

f) log 4sin135°

g) °

° 10 sin

100

cos h) cos 72° jeśli sin 12° = p

i) log3 tg 30°

j) tg α , gdy sin α = i α ∈(π ; π) k) sin 2α , jeśli sin α = ∧ α ∈ (

2

π ; π)

l) sin

4

x + cos

4

x jeŜeli sin 2x = 0,2 ł) tg α jeŜeli sin α - cos α = ∧α∈ m) cos α jeŜeli tg α = 2 i α ∈

n) + °

− +

−

690 sin ) 1 ( , 0

...

27 1 9 1 3 1 1

o) sin α i cos α jeśli sin 2α = ∧ α ∈

p) °

° +

°

−

°

15 tg

300 sin 2 480 cos 2 225

tg

r) sin 12 13π

s) cos 3x + cos x jeŜeli sin x =

3

−1 i x ∈ ( π ; 2 3π

) t) sin

6

5π - log

3

ctg3

π

2.Rozwiązać równanie:

a) log_sinx ¹₂ =2

5 3

5

−3

2 3

5 4

2

2 )

; 2 (π4 π 2 )

; 3 (π2 π

5

− 3 )

4

; 3 (π2 π

b) sin 3x – sin x = cos 2x c) sin x = sin 2x d) sin

4

x + cos

4

x = cos 4x e) 1 + 3cos x – sin x = 0 f) 4^sinx =2^cos2x−1

g) 4^sin2x +5⋅4^cos2x =12

h) sin 3x – cos x = 0 i) 1 + sin x

j) 3sin x = 2cos

2

x k) sin x – cos 2x = 1 l) cos x + sin x = 0

ł) x x sinx

... 2 sin

4 1 sin

2

1+ 1 + ₂ + =

m) 2^−sin2x = ₂¹

n) cos x – cos (x - ) = sin 3x ∧ x ∈ ( -π ; π )

o) (sin x – cos x )

2

+ tg x = 2sin

2

x p)  tg x + ctg x =

3

4

r) sin

3

x - cos

3

x = 1 + sin 2x s) ctg ( π - 2x ) = ctg ( 2x - ) t) cos 2x + cos 4x = cos 3x

u) cos x = cos x + 2sin x ∧ x ∈ < 0 ; 2π >

w) tg x = tg x

1 3. Rozwiązać nierówności:

a) sin x > cos x ∧ x ∈ < -π ; π >

b) sin² x−1≥0 c) cos

2

x + cos

3

x + cos

4x + .... ≥ - 1 – cos x

d) logcosxsin x ≥ 1 ∧ x ∈ (0 ; 2π )

e) 2sin x – 1 < 0 ∧ x ∈ ( 0 ; π ) f) log

5 , 0

sin² x > 2 ∧ x ∈ < 0 ; 2π >

g) cos ( π - x) ≤ sin ( +x 2

π )

2

− x= x sin 1

cos

2 π

2 1

3 π

h) g [ f (x) ] ≥ 1 jeŜeli f (x) = 3

x

i g (x) = sin x i)  tg 2x  ≤ 1

j) cos

2

x + cos

3

x + ....< 1 + cos x ∧ x ∈ ( 0 ; 2π ) k) 2 >

2

1

l) sin

2x ≥ cos²x ł) 2 ≥ 2 ∧ x ∈ < 0 ; 2π >

m) 



 



 3

2 ≤ ∧ x ∈ ( π ; 2π )

n) ( 4sin

3

x) log_sinx2<log_sinx(4sin³x)

o)

( )

(

^0;2π

)

1 log

5

2

^{3tg 1}

∈

∧



〈



 





⁺

x

x

4. Narysować wykres funkcji:

a) y =sin2x⋅tgx

b) ^f

( )

^x =^cos2−^sinxsinx , dla

x ∈ ( ^{0 ; 2 π} )

c) ^f

( )

^x =¹− ^sin2x d) ^f

( )

^{x = 1+cos2x}

e)

( )

^{cos 2 2 1}

1

2  −



 



= x x

f

f)

( )

^sin

(

²

) ( )

^0;π

2

1 − ∧ ∈

= x x

x f

g) y= 2sin2x h) y= 2cos2x i)

( )

x x x

f cos

= cos

j)

( )

x x x

f sin

= sin

k) ^f

( )

^{x = sinx −1 dla} x∈ ^0;2π

l) ^f

( )

^{x =sin2x+ cosxcosx dla} x∈ ^0;2π ł) ^f

( )

^x =^sgn

(

^sinx

)

m) ^f

( )

^{x =}

[ ]

^sinx

x sin

x sin

1 4sinx

1 cos 2 sinx− x+

3

³

2 2

1⁺

log

_0,75

n) ^f

( )

^x

(

^{sinx sinx}

)

2

1 +

=

o)

( )





 



 −

−

=1 2sin 2 π3 x x

f

p) ^f

( ) (

^{x = sinx+cosx}

)

²

r) y x x

4 4

sin cos −

=

s) ^f

( )

^x =^2cosx +^cosx

t) π π^;2π

2

cos 3 ∧ ∈ −



 



 −

−

= x x

y

u) sin cos π;π

2

2 − ∧ ∈ −

= x x x

y

w) ^f

( )

^{x = cos −cosx∧x∈ 0;2π}

y) ^f

( )

^{x =−2sinxcosx dla} x∈ −²π^;2π 5. Wykazać, Ŝe funkcja określona wzorem

( )

1 sin

2+

= x

x x x

f jest nieparzysta.

6. Uprościć wyraŜenie:

a)

(

^{sin cos}

)

²

2 sin 1

x x

x +

+

b)

π π π

π π

2 cos sin3 sin 2

4 cos ctg 3

2 2

2

2 3 2

3

b ab

a

b a

− +

+

c) π π π

3 cos19 4 2

tg13 6 3

sin20

3 − +

=

x

d) α

α α

cos 1 ctg sin

+ +

=

x

e) ^x=ctgα15°ctg16°Kctg74°ctg75° f) x=tg20°+tg40°+K+tg160°+tg180° g)x=sin112,5°⋅cos112,5°

h)

x x

y ₃ x ₃

cos sin

sin +

= jeŜeli tgx=2 7. Określić dziedzinę funkcji:

a) ^f

( )

^{x = −3cosx} b) ^f

( )

^{x = sinx−1} c)

d)

( ) ( ) ( )

^0;π

sin cos 2

log

₂1⁺₋ ^{∧ ∈}

= x

x x x

f

( )

cos 1 1

= + x x f

e) ^f

( )

^{x = 5sin2x+sin22x−4cos2x} f) ^f

( )

^x

log (

^{1 2sinx}

) log (

^{1 2cosx}

)

2 1 2

1 − − −

=

8. Dla jakich wartości parametru m równanie ma rozwiązanie:

a)

1 cos 1

= + m

x

b) 1 2₂

cos

m

x= − m

c)

1

cos 2₂

2

+

= m

x m Odp. ^{m∈ 0;∞}

)

d) wyznaczyć wszystkie wartości parametru m ∈ R+ dla których równanie ₂ 4 cos 3

m x m

= − ma rozwiązanie w przedziale 





;2 0 π

? 9. Sprawdzić toŜsamość:

a) x x x

3

sin 4 sin 3 3

sin = −

b) 4

1 5 cos2 cosπ5 ⋅ π =

c) α

α α

α

α ctg

sin 2 sin

2 cos cos

1 =

− +

−

10. Rozwiązać układ równań:

a) 

= +

= +

2 tg ctg

2 ctg tg

y x

y

x

b) 







=

=

+ +

4 16

1 2

2 2

cos sin

cos sin

y x

y x

11. Wyznaczyć zbiór

( ) ( )











 〉 ∧ ∈

−

= ^{sin 0;2}π

1

: sin ₂ x x

x x x

A

12. Rozwiązać układ nierówności





≥

+

〈 +

1 cos log

cos sin

cos sin

sin

3 3

x

x x

x x

x

13. Znajdź te wartości parametru α∈ ^0;π dla których rozwiązaniem układu równań





+

= +

= +

α α

sin 1 3 2

sin y x

y

x jest para liczb o jednakowych znakach.

14. Rozwiązać nierówność 



 



∈

∧

〈 + +

+2 sin cos 3 0 0;4

2 cos

4

log

₁₆ ^x

log

₄ ^x

log

₂ ^{x x π}

15. Dla jakich wartości k równanie 3cos x + cos 2x =k ma rozwiązanie ?

16. Znaleźć takie x i takie a Ŝe

a a

x log

log 1 cos

2 = +

18. Dla jakich a równanie ^{3sinx+cosx=log}

(

^a−1

)

^−log

(

^3−a

)

ma rozwiązanie.

19. Podać liczbę rozwiązań równania

1 sin 1

= −

x m w zaleŜności od parametru.

20. Wyznaczyć te wartości

;2 0 π

α∈ , dla których równanie sin cos 0

2 α +^x+ α =

x ma

dwa róŜne pierwiastki rzeczywiste.

21. Rozwiązać graficznie nierówność 0;2π 2

cosx ≤ 1∧x∈ .

22. Rozwiązać układ równań





= +

=

−

1 sin cos

sin cos

sin

α α

α α

α y x

y

x z parametrem α .

Dla jakich wartości α suma x²+y² jest a) najmniejsza b) największa c) równa 1,5 23. Dla jakich wartości

;2 0 π

α∈ liczby sin α,cosα,tgα

2

tworzą ciąg geometryczny?

24. Dla jakich 



 

−

∈ ;2 2

π

x π suma wszystkich wyrazów ciągu x x xK

5 3

tg , tg ,

tg jest

równa 2

3?

25. Udowodnić toŜsamość cos x sin x cos2x

4

4 − = .

26. Obliczyć stosunek sinusów kątów ostrych w trójkącie o wierzchołkach A (4:2), B (3;0), C (0;-2)

27. Dla jakich wartości parametru α∈

(

^0;2π

)

równanie ^sin2x=^2cosα ma rozwiązanie?

28. Obliczyć miarę kąta α-β, jeŜeli α i β są kątami ostrymi oraz tg α=3 i tg β=

2 1 .

29. Dla jakich wartości parametru α∈ 0;π równanie 33 cos 2α

= 2 x

nie ma rozwiązań?

30. Zbadać liczbę pierwiastków równania tg x +ctg x = m w zaleŜności od parametru m 31. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji

( )

x x x

f sin cos

1

= + w przedziale

;2 0 π

32. Podać wzór na sinus sumy dwóch kątów. Obliczyć bez pomocy tablic sin 105°.

33. Podać definicję funkcji cotangens. Przedstawić w prostszej postaci wyraŜenie

(

^{x x}

)

x

x sin : 2sin cos cos

4

4 



 



 − , a następnie obliczyć jego wartość dla x = 15°.

34. Dla jakich wartości parametru α∈ 0;2π ciąg o wyrazie ogólnym an=ntgα+1 jest ciągiem rosnącym?

35. Dla jakich wartości parametru α równanie ^x2+

(

^4sinα

)

^x+1=0 ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

36. Podać sposób konstrukcji kąta 



 



∈π π

α ^;

2 takiego, Ŝe

5 sinα = 3

37. Podać najmniejszy pierwiastek równania tg2x=sin4x w przedziale 



 



π π 2; 38. Pokazać, Ŝe równanie 2sinx+cosx=3 nie ma rozwiązań.

39. Pokazać, Ŝe równanie cos sin cos 3

2 =

+

+ x x

x nie ma rozwiązań.

40. Podać największy ujemny pierwiastek równania tg3x=sin6x .

41. Dla jakich wartości parametru α punkt A (1;-1) naleŜy do wykresu funkcji

( )

^{x x R}

f

x − ∧ ∈

=2 3

sinα

42. Wykazać, Ŝe dla kaŜdego x ∈ R zachodzi nierówność sinx+cosx ≤ 2 . 43. Wyznaczyć x, jeŜeli

; 6 tg 3

; tg

3^x = x ^−x= β α −β =π

44. Dla jakich wartości parametru α nierówność ^x2−

(

^3cosα

)

^x+cos2α ^>0 jest prawdziwa dla kaŜdego x ∈ R ?

45. Która z liczb jest większa:

( )

6 sin101 9

4 ,

0 π

czy ?

46. Dla jakich wartości parametru α nierówność ^x2−

(

^2sinα

)

^{x+2sinα −cos2α ≥0 jest}

spełniona dla kaŜdego ^x∈

(

^−∞;∞

)

^?

47. Wiedząc, Ŝe funkcja określona na zbiorze liczb rzeczywistych jest róŜnowartościowa rozwiązać równanie ^{f 2sin2x}^{= f}

(

^3cosx

)



 





48. Dla jakiej wartości parametru β równanie

cos 2 3^−x₌ β

ma rozwiązanie dodatnie?

49. Dla jakiej wartości parametru α równanie ^2x =^sin2α ma rozwiązania ujemne?

50. Dla jakich wartości parametru m równanie sin 2sin 2 0

2x+ x− m=

m ma rozwiązanie?

51. Dla jakich wartości parametru ^α∈

( )

^0;π równanie 2 ctg 0

2− ^x+ α =

x ma dwa róŜne

pierwiastki rzeczywiste?

52. Znaleźć miejsca zerowe funkcji f

( )

x =^sin

(

π −x

)

−^2sinx dla x∈ ^0;2π

)

53. Podać przedział w którym funkcje ^f

( )

^{x = sinx i g}

( )

^{x =sinx} przyjmuje te same wartości.

54. Doprowadzić do najprostszej postaci wyraŜenie:

( ) ( ) (

^xx

) (

^{x x}

)

y °+ ⋅ °+

°

−

⋅

−

= °

270 cos 180

sin

270 cos

180 sin gdzie x ∈ (0°;90°)

55. Udowodnić, Ŝe równanie

30 cos 1

sin

5

5x x= jest sprzeczne.

56. Dla jakiej wartości parametru a układ równań







=

= a y x

y x

cos cos

4 sin 1

sin ma rozwiązanie?

57. Przeprowadzić dyskusję rozwiązania równania sin x = k x w zaleŜności od parametru k . 58. WykaŜ, Ŝe równanie logsinx=sinx nie ma rozwiązań w zbiorze R .

59. Znaleźć zbiór wartości funkcji ^f

( )

^{x =1−cos2x+sin2x}

60. Niech π

1992

! sin 83

=

S oraz π

1992

! cos 83

=

C . WykaŜ, Ŝe S < C . 61. Znaleźć miejsce zerowe funkcji ^f

( )

^{x =2sinx−2−1 .}

62. Wykazać, Ŝe suma nieskończonego ciągu geometrycznego − x+ x− x+K

6 4

2

sin sin

sin 1 nie moŜe być równa

2 1 .

63. Wykazać, Ŝe dla kaŜdego x ∈ R zachodzi nie równość sinxcosx〉−0,51. 64. Dla jakich wartości x wykres funkcji ^f

( )

^{x sin2x cosx}

2

1 −

= , x∈R przecina oś OX ? 65. Znaleźć zbiór wartości funkcji ^f

( )

^{x =cos2x+sin2x+sin2x}

66. Wyznaczyć takie α∈ 0;2π , aby prosta o równaniu 4x−2y+3=0 była styczna do wykresu funkcji y =−x²+x+5cos²α

67. Dla jakich wartości parametru a równanie

2 4 sin 6

cos

2−

=



 

 −

− a

x

x π

ma rozwiązanie?

68. Narysować zbiór (x, y) takich punktów, Ŝe log_1+sinx(y−cosx)≥0

69. Znaleźć (bez stosowania pochodnej) największą wartość wyraŜenia w x x

2

cos 2 2

sin +

= w przedziale 0;π

70. Podać rozwiązanie równania 4sin 8sin sin 2

2

3x+ x− x= naleŜące do przedziału

(

^3π;4π

)

^.

71. RozwiąŜ równanie ^tg2

(

^{x+ y}

)

^+ctg2

(

^x+y

)

^=1−2x−x2

72. Dla jakich wartości parametru m równanie

( )

x m x

x

cos 1 2

cos cos 1 2

= −

+ posiada rozwiązanie?

73. RozwiąŜ równanie x

x x

x ²

cos cos 4

2 sin cos

4 − =

. Dla jakiej wartości parametru m równanie

to oraz równanie ^sin3x=msinx+

(

^4−2m

)

^sin2x mają wspólne rozwiązanie?

74. Znajdź wszystkie pary liczb rzeczywistych x i y, które spełniają równanie

(

^{x y}

)

y x

y

x+ ⁴ + ² ⋅ ² = + ² +

4

sin 3 ctg

ctg 2 tg

tg .

75. Dla jakich wartości a równanie:

K

K= + + +

+

− +

−sin³2 sin⁵2 sin⁷2 ^{2 3} 2

sin x x x x a a a , gdzie obie strony są sumami

szeregów geometrycznych ma rozwiązanie?

ODPOWIEDZI

2.

a) 2

−1 b) –cos 10°

c) 2

− 3 d) 1

e) 5

5 2 cos∝2 =−

f) 4

−1 g) –1

h) ²¹

(

^{1−p2 − 3p}

)

i) 2

−1

j) 4 3

k) sin 2α = 25

−24 l) 0,98

ł) m) cos α =

5

− 5

n) 14

−27

o) 10

cos 10 10 ,

10

sin∝=3 ∝=−

p) 13

r) 4

6 2−

s) 2

27

−28

t) 2 3 2.

a)(^x= ^π4 +^2kπ ∨ ^x 4π ^2kπ

3 +

= ) ∧ k∈C

b) (^{x π} 2^kπ

1 4 +

= ∨ ^x=^π6 +^2kπ ∨ ^x 6π ^2kπ

5 +

= ) ∧ k∈C

c) ( x = kπ ∨^x= ^π3 +^2kπ ∨^x=−^π3 +^2kπ)∧ k∈ C

d) x = ₂¹ kπ ∧ k∈ C e) x = ^π₂ + kπ ∧ k ∈ C f) x= kπ ∧ k ∈ C g) ^x=^π₄ +₂^1kπ ∧ k ∈ C

h)( ^x=^π₈ +^2kπ ∨^x=^π₄ +^kπ )∧ k ∈ C i) ( x = 2kπ ∨^x=−^π2 +^2kπ ) ∧ k ∈ C

j) (x=^π₆ +2kπ ∨ x= ₆⁵π +2kπ ) ∧ k∈C

k) (x = kπ∨ ^x=−^π₆ +^2kπ∨ ^x= ₆⁷π +^2kπ ) ∧ k∈C l) ^x=−^π₄ +^kπ∧ k ∈ C

ł) x = ^π₂ +2 kπ ∧ k ∈ C m) x = ^π₂ + kπ ∧ k ∈ C

n) 



− − −

;2 12

;5

;12

; 2 12

; 7 12

11π π π π π π

o) x=^π₄ +₂¹kπ ∧ k ∈ C

p) (x=^π₆ +₂¹kπ ∨ x=^π₃ +₂¹kπ ) ∧ k ∈ C r) x = ^π₂ +2 kπ ∨ x = π +2 kπ ∧ k ∈ C s) ^{x π} 4^kπ

1 3 +

= ∧ k ∈ C

t) k x k k C

x k

x ∧ ∈



 



 = −π + π ∨ =π + π ∨ =π + π 3 2 3

2 6 3

u) x = 0 ∨ x = π 4

3 ∨ x = 2π

w) 2

4 2

4 ^{2 2}

2

2 + ∨ = + +

= π − π kπ k π

k x x k

5.

a) x ∈ < -π ; ^kπ 4

−3 > ∪ ( π π 4; >

b) x = π +kπ ∧k∈C 2

c) ^x∈R\

{

^{x∈R:x=kπ ∧k∈C}

}

d) x ∈ ( 0 ; 4 π )

e) x ∈ ( 0 ; 6 π _{) ∪ (}

6

5π ; π )

f) 



 



∪



 



∪



 



∪



 



∈ π π π π π π π

2 6 ; 11 6

;7 6 ;

5

;6 0 x

g) x∈〈−π + kπ π + kπ〉∧k∈C 2 2

; 2 2

h) x = log

3

(π π

k

2 +2 ) ∧ k ∈ N

i) x∈ − +k⋅ +k⋅ ∧k∈C 2

;8 2 8

π π π π

j) 



 



∪



 



∈

4

;7 4 5 4

;3 4

π π π

x π

k) x π 2kπ 2

3 +

≠

l) x∈ π +kπ π +kπ ∧k∈C 4

;3 4

ł) ∈ π >∪< π π ∪< π π >

6

;11 6 ) 7 6 ; 5

;6 0 ( x

m) x ∈ π π >

2

;3 (

n) x k k k k ∧k∈C



 



 + +

∪



 



 +

∈ π π π π π^;π ² π

6 2 5 6 2

; 2

o) 



 



∪



 



∈π π π π 2

;3 6 7

;2 x 6

6. - 5.

17.

b) 1 dla x=−π +kπ ∧k∈C 4

b) a + b

c) 2

−1

= x

d) ^sinα

= 1 x e) x = 1 f) x = 0

g) 4

− 2

= x

h) 11

=10 y

18.

a) x∈ π + kπ π + kπ ∧k∈C 2 2

;3 2 2

b) 



 = + ∧ ∈

= x x k k C

D π π

2 2 :

c) .^D=

{

^x:x≠π +^2kπ

}

d) 



 



∈ π^;π 3 x 2

e) x∈ π +kπ π +kπ i k∈C 6

;5 6

f) x k k ∧k∈C



 



 + +

∈ π π π ² π

4

;5 6 2

5 19.

a) m≥0

b) ^m∈

(

^{−∞;−1− 2 ∪ −1+ 2;∞}

)

c) ^{m∈ 0;∞}

)

d) ^m∈

(

^{−∞;−4 ∪}

( )

^1;2

20. – 21.

a) Odp.









+

= +

= π π π π

k y

k x

4 4

b) Odp.









+

= +

=

∨









+

= +

=

∨









+

= +

=

∨









+

= +

=

π π

π π π π

π π π

π π π π

π π π

k y

k x

k y

k x

k y

k x

k y

k x

3 2 5 6 2 11

3 2 6 2 7

3 2 4 6 2 5

3 2 2 6 2

22. ^A=

( ) ( )

^{0;1 ∪ 1;2}

23.

;2 4

π

∈ π x

24. 



 



∪



 



∈π π π π 6

;5 2

;2 x 6

25. 



 



∪



 



∈

;4 24 5

;24

0 π π π

x

26. ;4

8

−17

∈ k

27. ^{a x k} ^∪

(

^{a= ∧x= k}

)

^∧k∈C



 



 = ∧ =π +² π ^{10 2} π 10

1

19. 101

;301 101

∈ 103 a

19. Dla ^m∈

(

^−∞;0

) ( )

^{∪ 2;∞} równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, dla

( ) ( )

^{0;1 ∪ 1;2}

∈

m nie ma rozwiązań.

20. ∪



 



∈

;2 12

5

;12

0 π π π

x

21. π π π π

3

;5 3 4 3

;2

3 ∪

∈ x

22. a)α =kπ ∧k∈C ^b)α =π +^kπ ∧^k∈^C

2 c) α =π + kπ ∧k∈C

2 1 4 23. 4

α =π

24. 6

=π x

25. - 26. 5

65

27. α π π π π

3

;5 3 4 3

;2

3 ∪

∈

28. α-β=

4 π

29. α π α π

4 3

4 ∨ =

=

30. ^m∈

(

^{−∞;−2 ∪ 2;∞}

)

równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań; dla ^m∈

(

^−2;2

)

równanie nie ma rozwiązań.

31. ; 1

2

2 =

=

MIN MAX

y y

32. 4 2 6+

33. ;ctg30 3

2 2

ctg ≠ ^kπ °=

x

34. 



 



∪



 



∈

2

;3

;2

0 π π π

α

35. α∈ π +^kπ π +^kπ 6

;5 6 36. - 37. 8

3π

= x

38. - 39. - 40.

12

−π

= x

41.. α =π +2kπ ∧k∈C 2

42. -

43. x=

2 1

44. Nie ma takiego α.

45. -

46. α∈ π + kπ π +²kπ ∧k∈C 6

;5 6 2

47. x=−π + kπ∨x=π + kπ ∧k∈C 3 2

3 2

48. ^β∈

(

^{−π +4kπ;π +4kπ}

)

^∧k∈C

49. 



 



 +

∈ π π π

α ^{k k}

;2 50. −2;2

51. 



 



∈π π

α ^;

4

52. x=0∨x=π 53. ^{np 0;}π 54. y = 1 55. -

56. 4

;3 4

−3

∈ a

57. Dla k=0 równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, dla ^k∈

( )

^0;1 równanie ma trzy rozwiązania (rozwiązań graficznie np. dla k=

2

1), dla pozostałych wartości k jedno rozwiązanie.

58. - 59. 0;2 60. -

61. x= π +²kπ ∧k∈C 2

3 62. - 63. -

64. x=π +kπ ∨x=π + kπ k∈C 2 2

2 65. 0;2

66. ∧k∈C







∈

3

;5 3

;4 3

;2 3

π π π α π

67. a∈ − 3−1;1− 3〉∪〈 3−1; 3+1 68. -

69.

w

_max=1+ 2

70. π π

6 23 6

19 ∨ =

= x

x

71. x y k y ∧k∈C



 



 =− = +π + π∨ = −π +π 1 4

1 4 , 1

72..^m∈

(

^−∞;−2

) ( )

^{∪ 0;∞}

73. ^{x k}π ^x π ^kπ ^x π ^2kπ 6

2 5

6 + ∨ = +

=

∨

= ; ^m∈

( ) { } ( )

^{0;1 ∪ 4 ∪ 5;∞}

76. x k y k x k y k ∧k∈C



 



 =− + ∧ =− +

∨



 



 =π + π ∧ =π + π π π π π

4 4

4 4

77. 



 

−

∈ 3

;1 1 a