5 Ci¡gi liczbowe

Analiza matematyczna 1

Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki

5 Ci¡gi liczbowe

Denicja. Niech (an) b¦dzie ci¡giem liczbowym. Mówimy, »e:

• ci¡g (an) jest rozbie»ny do niesko«czono±ci ( lim

n→∞a_n= ∞), je±li

dla ka»dego K ∈ R istnieje N ∈ N takie, »e dla n ≥ N zachodzi an > K;

• ci¡g (an) jest rozbie»ny do minus niesko«czono±ci ( lim

n→∞a_n= −∞), je±li dla ka»dego K ∈ R istnieje N ∈ N takie, »e dla n ≥ N zachodzi an < K.

Uwaga. Cz¦sto mówi si¦ o ci¡gach zbie»nych do ±∞. Bez dodatkowego komentarza jest to niepoprawne. Mo»na jednak mówi¢ o granicach niewªa±ciwych; wtedy przez ci¡g zbie»ny do ±∞ mo»na w domy±le rozumie¢ ci¡g zbie»ny do granicy niewªa±ciwej ±∞.

Mo»na te» rozwa»a¢ zbiór R^∗= R ∪ {−∞, ∞}i okre±li¢ na nim metryk¦ w odpowiedni sposób, na przykªad nast¦puj¡co:

d^∗(x, y) = |f (x) − f (y)|,

gdzie f : R^∗ → R, f(x) = _1+|x|^x dla x ∈ R, f(∞) = 1, f(−∞) = −1. Mo»na udowodni¢, »e ci¡g liczbowy (a_n)jest zbie»ny do granicy (wªa±ciwej lub niewªa±ciwej) g ∈ R^∗ wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbie»ny do g w metryce d^∗, cz¦±ciowo mówi o tym poni»sze twierdzenie.

Twierdzenie. Ci¡g (an)jest rozbie»ny do niesko«czono±ci wtedy i tylko wtedy, gdy _1+|a^an_n| jest zbie»ny do 1.

Podobnie limn→∞= −∞wtedy i tylko wtedy, gdy limn→∞ a_n

1+|an| = −1. Dowód. Zauwa»my, »e:

1 − x

1 + |x|= 1

1 + x, x > 0.

St¡d je±li ε > 0, an > ¹_ε, to  

1 −_1+|a^an

n|

 < _1+ε¹−1 < ε, czyli je±li limn→∞ = ∞, to limn→∞arctan an = ^π₂. Podobnie je±li M > 0,

1 −_1+|a^an

n|

< _{M +1}¹ , to an> M, co daje implikacj¦ w drug¡ stron¦.

Druga cz¦±¢ twierdzenia ma analogiczny dowód.

Przykªad 1. Ci¡g (an) dany wzorem an = 3ⁿ+ (−2)ⁿ jest rozbie»ny do niesko«czono±ci. W istocie, niech K ∈ R. Wybierzmy liczb¦ naturaln¡ N > K + 1. Dla n ≥ N mamy

a_n≥ 3ⁿ− 2ⁿ≥ 3 · 2ⁿ⁻¹− 2ⁿ = 2ⁿ⁻¹ > n − 1 > K.

Twierdzenie. Ci¡g monotoniczny i ograniczony jest zbie»ny. ‘ci±lej:

• Ka»dy ci¡g niemalej¡cy jest zbie»ny (gdy jest ograniczony z góry) lub jest rozbie»ny do niesko«czono±ci (gdy jest nieograniczony z góry). Je±li jest zbie»ny, to granic¡ jest kres górny zbioru wyrazów ci¡gu.

• Ka»dy ci¡g nierosn¡cy jest zbie»ny (gdy jest ograniczony z doªu) lub jest rozbie»ny do minus niesko«czono±ci (gdy jest nieograniczony z doªu). Je±li jest zbie»ny, to granic¡ jest kres dolny zbioru wyrazów ci¡gu.

Dowód. Niech (an) b¦dzie ci¡giem niemalej¡cym. Je±li A = {an : n ∈ N} jest nieograniczony z góry, to dla ka»dego K ∈ R istnieje wyraz aN taki, »e aN > K. Wówczas dla wszystkich n ≥ N zachodzi an ≥ a_N > K, zatem limn→∞a_n = ∞. Je±li A jest ograniczony z góry, to niech g = sup A. Wówczas g − ε nie jest ograniczeniem górnym A, wi¦c dla ka»dego ε > 0 istnieje wyraz aN taki, »e aN > g − ε i wobec tego an> g − ε dla wszystkich n ≥ N. Z drugiej strony a_n ≤ g < g + ε i ostatecznie |an− g| < ε dla n ≥ N.

Dowód drugiego stwierdzenia jest analogiczny.

Przykªad 2. Niech a1 = 2, an+1 = a_n+_a¹

n− 1. Wówczas an≥ 1(bo x+¹_x ≥ 2) oraz an+1 < a_n. Zatem ci¡g (an)jest malej¡cy i ograniczony, przez co  zbie»ny.

Niech b1 = 1, bn+1 =√

2 + b_n. Wówczas bn< 2 dla wszystkich n (dowód indukcyjny) oraz b_n+1=p

2 + b_n>p

2b_n> b_n, a wi¦c ci¡g (bn) jest rosn¡cy i ograniczony. Wobec tego jest zbie»ny.

Niech cn = 1, cn+1 = (1 − _n¹2) c_n + 1. Wówczas cn ≤ n (dowód indukcyjny), przez co c_n+1 ≥ c_n, wi¦c (cn) jest niemalej¡cy. Poni»ej dowiedziemy, »e nie jest zbie»ny, wi¦c nie jest ograniczony.

Denicja. Niech (an) b¦dzie ci¡giem liczbowym. Okre±lamy granic¦ górn¡ oraz granic¦

doln¡ ci¡gu (an)wzorami

lim sup

n→∞

a_n = lim

n→∞



sup {a_k : k ≥ n}

; lim inf

n→∞ a_n = lim

n→∞



inf {a_k : k ≥ n} .

W przypadku, gdy która± z granic po prawej stronie jest niewªa±ciwa, mówimy o niewªa±ciwej granicy górnej lub dolnej.

Stosuje si¦ równie» oznaczenie lim na granic¦ górn¡ oraz lim na granic¦ doln¡.

Uwaga. Na mocy twierdzenia poprzedzaj¡cego denicj¦, granice (wªa±ciwe lub nie) w denicji lim sup i lim inf istniej¡ i ponadto

lim sup

n→∞

a_n = infn

sup {a_k : k ≥ n} : n ∈ No

; lim inf

n→∞ a_n = supn

inf {a_k : k ≥ n} : n ∈ No .

W ten sposób mo»na zdeniowa¢ granic¦ górn¡ i granic¦ doln¡ ci¡gu liczbowego, a tak»e (na mocy twierdzenia nieco poni»ej) jego granic¦, nie u»ywaj¡c kwantykatorów.

Podobnie jak granica, równie» granica górna i granica dolna ci¡gu nie zale»¡ od sko«czonej liczby wyrazów ci¡gu.

Twierdzenie. Niech K ∈ R. Je±li an ≥ bndla prawie wszystkich n, to równie» lim infn→∞an ≥ lim inf_n→∞b_n oraz lim supn→∞a_n ≥ lim sup_n→∞b_n

Dowód. Zaªó»my, »e an ≥ b_n dla wszystkich n ∈ N. Wtedy inf {ak: k ≥ n} ≥ inf {a_k : k ≥ n}

dla n ∈ N, a wi¦c lim infn→∞an ≥ lim infn→∞bn. Poniewa» granica dolna ci¡gu nie zale»y od jego pierwszych N wyrazów, teza jest prawdziwa równie» gdy an ≥ b_n dla n ≥ N. Drugiego stwierdzenia dowodzi si¦ podobnie.

Twierdzenie. Ci¡g liczbowy (an) jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy lim infn→∞an = lim sup_n→∞a_n, i wówczas lim infn→∞a_n = lim sup_n→∞a_n = lim_n→∞a_n. Twierdzenie to mo»na rozszerzy¢ na przypadek granic niewªa±ciwych.

Dowód. Zaªó»my, »e lim infn→∞an = lim sup_n→∞an = g. Niech ε > 0. Wówczas dla prawie wszystich n:

g − ε < inf {a_k : k ≥ n} ≤ a_n≤ sup {a_k : k ≥ n} < g + ε, czyli limn→∞a_n= g.

Je±li (an) jest zbie»ny do g i ε > 0, to g − ε ≤ an ≤ g + ε dla prawie wszystkich n, sk¡d g − ε ≤ lim infn→∞an ≤ g + ε. St¡d lim infn→∞an= g. Analogicznie post¦pujemy dla granicy górnej.

Przypadek granic niewªa±ciwych jest analogiczny.

Wniosek. Je±li (an) i (bn) s¡ zbie»ne i an ≤ b_n dla prawie wszystkich n, to limn→∞a_n ≤ lim_n→∞b_n.

Wniosek. Dla dowolnego ci¡gu liczbowego (an), lim infn→∞a_n ≤ lim sup_n→∞a_n.

Wniosek. Je±li |an−g| < b_ndla prawie wszystkich n, za± limn→∞b_n= 0, to limn→∞a_n= g. Wniosek (twierdzenie o trzech ci¡gach). Je±li an ≤ bn≤ cn i ci¡gi (an)i (cn) s¡ zbie»ne do tej samej granicy g, to równie» (bn) jest zbie»ny do g.

Przykªad 3. Niech bn = √ⁿ

4ⁿ− 3ⁿ. Wówczas bn ≤ 4 oraz bn ≥ √ⁿ

4ⁿ− 3 · 4ⁿ⁻¹ = 4ⁿ q

1 − ³₄ = 4ⁿ

q1

4. Ci¡gi an= 4 ⁿ q1

4 i cn= 4 d¡»¡ do tej samej granicy 4, zatem równie» limn→∞b_n= 4. Wniosek (twierdzenie o dwóch ci¡gach). Je±li an ≤ b_n i ci¡g (an) jest rozbie»ny do niesko«- czono±ci, to równie» (bn) jest rozbie»ny do niesko«czono±ci.

Denicja. Element g nazywamy punktem skupienia ci¡gu (an), je±li istnieje podci¡g (akn) ci¡gu (an) zbie»ny do g.

Twierdzenie. Granica górna i granica dolna ci¡gu (an), je±li s¡ granicami wªa±ciwymi, s¡

punktami skupienia ci¡gu (an).

Dowód. Przyjmijmy, »e lim supn→∞a_n = g. Skonstruujemy ci¡g kn indukcyjnie. Niech k1 = 1. Przypu±¢my, »e znana jest ju» warto±¢ kn. Okre±lamy kn+1 nast¦puj¡co.

Istnieje N takie, »e dla wszystkich j ≥ N zachodzi

g ≤ sup {a_i : i ≥ j} < g + _n¹. Niech j = max(N, kn+ 1). Istnieje wi¦c i ≥ j takie, »e

g − _n¹ < a_i < g + _n¹. Okre±lamy kn+1= i.

Z konstrukcji wynika, »e (kn) jest rosn¡cym ci¡giem liczb naturalnych oraz |akn− g| < _n−1¹ dla wszystkich n ≥ 2. St¡d akn → g.

Wniosek (twierdzenie Bolzano-Weierstrassa). Z ka»dego ciagu ograniczonego mo»na wybra¢

podci¡g zbie»ny (np. do granicy górnej lub granicy dolnej).

Uwaga. Przestrze« metryczn¡ X o tej wªasno±ci, »e ka»dy ci¡g elementów X zawiera podci¡g zbie»ny, nazywa si¦ przestrzeni¡ zwart¡. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa mówi, »e ka»dy ograniczony przedziaª domkni¦ty jest zbiorem zwartym.

Wniosek. Niech (an)b¦dzie podstawowym ci¡giem liczbowym. Wówczas (an)jest ograniczony, a wi¦c zawiera podci¡g zbie»ny. Wynika st¡d, »e (an)jest zbie»ny.

Uwaga. Je±li w przestrzeni metrycznej ka»dy ci¡g podstawowy jest zbie»ny, to przestrze« nazywamy zupeªn¡.

Zbiór liczb rzeczywistych z metryk¡ moduª ró»nicy jest wi¦c przestrzeni¡ zupeªn¡.

Uwaga. Warunek ci¡g (an) jest ci¡giem podstawowym, tzn. warunek:

dla ka»dego ε > 0 istnieje N ∈ N takie, »e dla wszystkich k, l ≥ N zachodzi |ak− a_l| < ε nazywa si¦ warunkiem Cauchy'ego zbie»no±ci ci¡gu.

Przykªad 4. Niech

a_n = 1 1² − 1

2² + 1 3² − 1

4² + ... +(−1)ⁿ⁺¹ n² . Wówczas dla k, l ∈ N, k ≤ l, zachodzi:

|a_k− a_l| =    

(−1)^k+1

k² + (−1)^k+2

(k + 1)² + (−1)^k+3

(k + 2)² + ... + (−1)^l+1 l²

=    

1

k² − 1

(k + 1)² + 1

(k + 2)² + ... + (−1)^l−k l²

    .

Wyra»enie pod warto±ci¡ bezwzgl¦dn¡ jest nieujemne (mo»na to zauwa»y¢, ª¡cz¡c kolejne pary wyrazów: suma ka»dej pary jest nieujemna); ponadto nie przekracza warto±ci pierwszego wy- razu (znów ª¡czymy kolejne pary wyrazów, ale tym razem pomijaj¡c pierwszy wyraz). St¡d

|ak− al| ≤ 1 k² . W ogólno±ci, dla wszystkich k, l ∈ N mamy zatem

|a_k− a_l| ≤ 1 min(k², l²).

Je±li wi¦c k, l > ^√1_ε, to |ak − a_l| < ε, a wi¦c (an) jest ci¡giem podstawowym. Na mocy wniosku, (an) jest zbie»ny. Granic¦ ci¡gu (an) wyznaczy¢ jednak bardzo trudno; zachodzi lim_n→∞a_n = ^π₁₂².

Twierdzenie. Z ka»dego ci¡gu zbie»nego mo»na wybra¢ podci¡g monotoniczny.

Dowód. Niech (an) b¦dzie zbie»ny do g. Co najmniej jeden ze zbiorów {n : an> g}, {n : a_n= g}, {n : an< g} jest niesko«czony. Je±li jest to drugi z nich, (an) zawiera pod- ci¡g staªy. Gdy niesko«czony jest trzeci zbiór, post¦pujemy podobnie, jak w przypadku, gdy niesko«czony jest pierwszy. Zaªó»my zatem, »e an> g dla niesko«¢zenie wielu n.

Okre±lamy ci¡g kn indukcyjnie. Niech k1 b¦dzie dowolnym indeksem, dla którego ak1 > g. Przypu±¢my, »e mamy ju» zdeniowane kn takie, »e akn > g. Istnieje N takie, »e dla j ≥ N zachodzi |aj− g| < a_kn− g. Wybieramy kn+1 ≥ N takie, »e akn+1 > g. Takie kn+1 istnieje wobec zaªo»enia, »e aj > g dla niesko«czenie wielu j. Ponadto akn+1− g < a_kn− g, czyli akn+1 < a_kn.

W ten sposób wybrali±my podci¡g ±ci±le malej¡cy (akn) ci¡gu (an). Wniosek. Ka»dy ci¡g zawiera podci¡g monotoniczny.

Dowód. Niech (an) b¦dzie ci¡giem liczbowym. Ci¡g (_1+|a^an_n|) jest ograniczony, wi¦c ma podci¡g zbie»ny, który ma podci¡g (_1+|a^akn_kn|) monotoniczny. Ci¡g (akn) jest wówczas monotonicznym podci¡giem ci¡gu (an).

6 Arytmetyka granic i funkcje ci¡gªe

Denicja. Niech d b¦dzie metryk¡ na X, a %  na Y . Funkcj¦ f : X → Y nazywamy ci¡gª¡, je±li ze zbie»no±ci ci¡gu (xn) do g w metryce d wynika zbie»no±¢ ci¡gu (f(xn)) do f(g) w metryce %.

Twierdzenie. Dziaªania arytmetyczne s¡ funkcjami ci¡gªymi. ‘ci±lej,

R² 3 (a, b) 7→ a + b ∈ R, R² 3 (a, b) 7→ a − b ∈ R, R² 3 (a, b) 7→ a · b ∈ R, R × (R \ {0}) 3 (a, b) 7→ a

b ∈ R s¡ funkcjami ci¡gªymi. Innymi sªowy, je±li limn→∞a_n= g oraz limn→∞b_n= h, to

n→∞lim(an+ bn) = g + h, lim

n→∞(an− bn) = g − h,

n→∞lim(a_n· b_n) = g · h, lim

n→∞

a_n b_n = g

h, przy czym w ostatniej równo±ci zakªadamy, »e bn6= 0 oraz h 6= 0.

Dowód. Udowodnimy tylko najtrudniejszy przypadek  ci¡gªo±¢ ilorazu. Ustalmy ε > 0. Dla dowolnego δ > 0 istnieje N(δ) takie, »e dla n ≥ N(δ) zachodzi |an− g| < δ oraz |bn− h| < δ. Wobec tego

an

b_n − g h    

= |h an− g bn|

|h| · |b_n| ≤ |h| · |an− g| + |g| · |h − bn|

|h| · |b_n| . Zaªó»my, »e δ ≤ ^|h|₂ . Wtedy

a_n bn

− g h    

< |h| · δ + |g| · δ

|h| · |h − δ| ≤ δ |h| + |g|

|h| · ^|h|₂ .

Je±li dodatkowo δ ≤ _2|h|+2|g|^{ε |h|2} , to prawa strona nie przekracza ε. Ostatecznie dla n ≥ N(δ) dla δ = min(^|h|₂ ,_2|h|+2|g|^{ε |h|2} ) otrzymujemy

a_n b_n − g

h    

< ε . To dowodzi tezy.

Uwaga. Nie jest konieczne jawne wskazanie wielko±ci δ w powy»szym dowodzie, zupeªnie wy- starczy uzasadni¢, »e δ speªniaj¡ce odpowiednie warunki istnieje.

Wniosek. Indukcyjnie mo»na udowodni¢, »e limn→∞a^k_n= (lim_n→∞a_n)^k dla wszystkich k ∈ N i wszystkich ci¡gów zbie»nych (an). Innymi sªowy, funkcja R 3 x 7→ x^k ∈ R jest ci¡gªa dla ka»dego k ∈ N.

Przykªad 5. Niech an= ^{p n+q}_{r n+s}, r 6= 0. Wówczas

n→∞lim a_n= lim

n→∞

p + _n^q

n + _n^s = p + q limn→∞ 1 n

n + s limn→∞ 1 n

= p s. Analogicznie mo»na obliczy¢ wiele podobnych granic.

Przykªad 6. Rozwa»my ci¡g (an) z przykªadu 2. Wiemy, »e jest on zbie»ny  nazwijmy granic¦ g. Poniewa» an+1= a_n+_a¹

n − 1, wi¦c g = lim

n→∞a_n+1= lim

n→∞a_n+ 1

lim_n→∞a_n − 1 = g + 1 g − 1, sk¡d ªatwo g = 1.

Przykªad 7. Rozwa»my ci¡g (cn) z przykªadu 2. Zaªó»my (nie wprost), »e jest on zbie»ny  nazwijmy granic¦ g. Poniewa» cn+1= (1 − _n¹2) c_n+ 1, wi¦c

g = lim

n→∞c_n+1 =



1 + lim

n→∞

1 n²



n→∞lim a_n+ 1 = g + 1,

sprzeczno±¢. Zatem ci¡g cnnie jest zbie»ny (i wobec tego jest rozbie»ny do niesko«czono±ci).

Twierdzenie. Pot¦gowanie liczb dodatnich jest funkcj¡ ci¡gª¡. ‘ci±lej, (0, ∞) × R 3 (a, b) 7→ a^b ∈ R

jest funkcj¡ ci¡gª¡. Innymi sªowy, je±li limn→∞a_n= g, limn→∞b_n = h, an > 0 oraz g > 0, to

n→∞lim a^b_nⁿ = g^h. Podobnie logarytmowanie, tj. funkcja

(0, ∞) \ {1}
× (0, ∞) 3 (a, b) 7→ log_ab ∈ R jest funkcj¡ ci¡gª¡.

Dowód tego twierdzenia zamieszczony b¦dzie wraz z wygodn¡ denicj¡ pot¦gowania i logarytmowania w rozdziale o szeregach.

Przykªad 8. Rozwa»my ci¡g bn z przykªadu 2. Niech g b¦dzie jego granic¡. Poniewa» bn+1=

√2 + b_n, otrzymujemy g = √

2 + g, sk¡d g > 0 i g² = 2 + g. Ostatecznie g = 2.

Przykªad 9. Niech an=√ n (√

n + 1 −√

n − 1). Wówczas:

n→∞lim a_n = lim

n→∞

√n · ((n + 1) − (n − 1))

√n + 1 +√

n − 1 = lim

n→∞

2 q

1 + _n¹ + q

1 − ¹_n

= 2

q

1 + lim_n→∞ ¹_n+ q

1 − lim_n→∞n¹

= 1.

Twierdzenie. Je±li limn→∞a_n = 0, a ci¡g (bn)jest ograniczony, to limn→∞a_nb_n= 0. Dowód. Je±li |bn| ≤ K dla wszystkich n, to |anb_n| ≤ K |a_n|.

W przypadku, gdy nie da si¦ zastosowa¢ twierdze« o rachunku granic, potrzebne s¡ inne metody. Poni»sze twierdzenie dostarcza u»ytecznej techniki.

Twierdzenie. Niech (an) b¦dzie ci¡giem liczb dodatnich. Je±li dla pewnego g ∈ (0, ∞) zacho- dzi

lim sup

n→∞

a_n+1 an

< g,

to an< gⁿ dla prawie wszystkich n i lim supn→∞ ⁿ

√an< g. Analogicznie je±li

lim inf

n→∞

an+1

a_n > g, to an> gⁿ dla prawie wszystkich n i lim infn→∞ ⁿ

√a_n> g. Podobnie z warunku

n→∞lim a_n+1

a_n = g wynika, »e limn→∞ ⁿ

√a_n = g.

Dowód. Zaªó»my, »e zachodzi pierwszy z warunków. Niech h speªnia lim supn→∞

an+1

an < h < g. Istnieje N ∈ N takie, »e ^an+1_an < hdla n ≥ N. Niech M ∈ N b¦dzie tak du»e, »e

h^M

g^m < a_Ng^N. Wówczas dla n ≥ M + N zachodzi:

a_n = a_N · aN +1

a_N · ... ·an−1

a_n ≤ a_Nh^n−N ≤ a_Nh^Mh^{n−M −N} < g^{M +N} h^{n−M −N}. W szczególno±ci an< gⁿ dla n ≥ M + N. St¡d te»

lim sup

n→∞

√n

a_n ≤ lim sup

n→∞

pn

g^{M +N} h^{n−M −N} = h · lim sup

n→∞

n

rg^{M +N}

h^{M +N} = h < g.

Analogicznie dowodzi si¦ drugiej cz¦±ci twierdzenia, a trzecia wynika z dwóch poprzednich.

Wniosek. Dla ka»dego K > 1, lim

n→∞

n Kⁿ = 0.

Dowód. Niech an = _Kⁿn. Wówczas ^an+1_an = ⁿ⁺¹_{K n} = _K¹ +_{K n}¹ , a wi¦c lim supn→∞

an+1

an = _K¹ < ^1+K_2K i wobec tego 0 < an< (^1+K_2K )ⁿ dla prawie wszystkich n. Z twierdzenia o trzech ci¡gach wynika,

»e limn→∞a_n= 0.

Wniosek. Zachodzi limn→∞ ⁿ

√n = 1.

Dowód. Wystarczy zastosowa¢ trzeci¡ cz¦±¢ twierzdenia do ci¡gu an= n.

Twierdzenie. Niech (an)b¦dzie ci¡giem liczbowym. Je±li dla pewnego g ∈ R zachodzi lim sup

n→∞

(a_n+1− a_n) < g, to an< n g dla prawie wszystkich n i lim supn→∞

an

n < g. Analogicznie je±li lim inf

n→∞ (a_n+1− a_n) > g, to an> n g dla prawie wszystkich n i lim infn→∞an

n > g. Podobnie z warunku

n→∞lim(an+1− an) = g wynika, »e limn→∞ an

n = g.

Dowód. Wystarczy zastosowa¢ poprzednie twierdzenie do ci¡gu 2^an i liczby 2^g oraz skorzysta¢

z ci¡gªo±ci pot¦gowanie i logarytmowania.

Wniosek. Je±li ci¡g liczbowy (an) jest zbie»ny do g, to ci¡g (An)±rednich:

A_n = a₁+ a₂+ ... + a_n n

równie» jest zbie»ny do g.

Dowód. Niech xn= n An= a1+ a2+ ... + an. Zachodzi:

n→∞lim(x_n+1− x_n) = lim

n→∞a_n+1= g, wi¦c na mocy poprzedniego twierdzenia,

n→∞lim A_n= lim

n→∞

x_n n = g .