Ci¡gi liczbowe
Informacje pomocnicze
Denicja 1. Ci¡giem liczbowym nazywamy funkcj¦ (an) odwzorowuj¡c¡ zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych tzn.
an: N → R.
Warto±ci tej funkcji dla danej liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu i oznaczamy an
(bn itp.). Ci¡g oznaczamy (an)a zbiór jego wyrazów (czyli warto±ci funkcji) {an}.
Przykªad 2. Ci¡g przyporz¡dkowuj¡cy ka»dej liczbie naturalnej n jej potrójn¡ warto±¢ pomniejszon¡
o 2 ma wzór: an= 3n − 2.
Wyrazami tego ci¡gu s¡: a1 = 1, a2 = 4, a3 = 7, . . . Denicja 3. Mówimy, »e ci¡g (an) jest:
• ograniczony z góry, gdy ci¡g jego wyrazów jest ograniczony z góry tzn.
∃M ∈R∀n∈N an≤ M ;
• ograniczony z doªu, gdy ci¡g jego wyrazów jest ograniczony z doªu tzn.
∃m∈R∀n∈N m ≤ an;
• ograniczony, gdy ci¡g jego wyrazów jest ograniczony zarówno góry jak i doªu tzn.
∃M,m∈R∀n∈N m ≤ an ≤ M.
Rysunek 1: ci¡g ograniczony a) z góry b) z doªu Przykªad 4. Rozwa»my ograniczono±¢ ci¡gów:
a) an: liczb parzystych;
b) bn= n+23n ; c) cn= (−1)nn.
Rozwi¡zanie: a) Ci¡g an jest ograniczony z doªu przez wyraz 0, natomiast z góry nie jest ograniczony przez »adn¡ liczb¦ rzeczywist¡.
b) Ci¡g bn jest ograniczony zarówno z góry jak i z doªu, a wi¦c i ograniczony, gdy»:
m = 0 < 3n
n + 2 = 3n + 6 − 6
n + 2 = 3 − 6
n + 2 < 3 = M.
c) Ci¡g cn, który przyjmuje warto±ci: −1, 2, −3, 4, −5, 6, . . . nie jest ograniczony ani z doªu, ani z góry.
Denicja 5. Ci¡g (an) nazywamy:
• rosn¡cym gdy
∀n∈N an< an+1;
• malej¡cym gdy
∀n∈N an> an+1. Analogicznie okre±lamy ci¡gi: niemalej¡cy inierosn¡cy.
Ci¡gi malej¡ce i rosn¡ce nazywamy ±ci±le monotonicznymi a nierosn¡ce i niemalej¡ce monotonicz- nymi. Mówimy te» o ci¡gach monotonicznych od pewnego wyrazu.
Przykªad 6. Zbadaj monotoniczno±¢ ci¡gu an= n+23n . Rozwi¡zanie: Poniewa»:
an+1− an = 3(n + 1)
(n + 1) + 2 − 3n
n + 2 = 3n + 3
n + 3 − 3n n + 2
= 3n2+ 6n + 3n + 6 − 3n2− 9n
(n + 3)(n + 2) = 6
(n + 3)(n + 2) > 0, wi¦c an+1> an.Zatem ci¡g an jest rosn¡cy.
Tabelka odczytywania monotoniczno±ci ci¡gu: Dla ci¡gów o wyrazach dodatnich, w celu bada- nia monotoniczno±ci zamiast bada¢ ró»nic¦ an+1− an mo»na bada¢ warto±¢ ilorazu an+1an w stosunku do warto±ci 1 (jeden).
an+1− an an+1
an monotoniczno±¢
> 0 > 1 rosn¡cy
= 0 = 1 staªy
< 0 < 1 malej¡cy
≥ 0 ≥ 1 niemalej¡cy
≤ 0 ≤ 1 nierosn¡cy Przykªad 7. Zbadaj monotoniczno±¢ ci¡gu an= 5n!n
Rozwi¡zanie: Poniewa»:
an+1
an = (n + 1)!
5n+1 : n!
5n = n! · (n + 1) 5 · 5n ·5n
n! = n + 1 5 , oraz n+15 > 1 dla n > 6, wi¦c ci¡g ten jest monotonicznie rosn¡cy dla n > 6.
Denicja 8. (granica wªa±ciwa)
Mówimy, »e ci¡g (an)jest zbie»ny do granicy g ∈ R, co zapisujemy lim
n→∞an = g gdy
∀ε>0∃n0∈N∀n>n0 |an− g| < ε.
Rysunek 2: Ilustracja geometryczna granicy wªa±ciwej ci¡gu Przykªad 9. Na podstawie powy»szej denicji wyka», »e
n→∞lim n + 2
n = 1.
Rozwi¡zanie: Zgodnie z denicj¡ granicy wªa±ciwej dla dowolnego ε > 0 musimy wykaza¢ istnienie n0(ε) ∈ N takiego, »e
n + 2 n − 1
< ε.
Zatem, niech ε > 0 b¦dzie dowolne, wówczas
|n + 2
n − 1| < ε ⇔ |2
n| < ε ⇔ 2
n < ε ⇔ n > 2 ε.
Zatem za n0 mo»emy wzi¡¢ cz¦±¢ caªkowit¡ liczby 2ε powi¦kszon¡ o jeden. Np. dla ε = 0, 01 mamy n0 = [0,012 ] + 1 = 201.
Denicja 10. (granica niewªa±ciwa +∞)
Mówimy, »e ci¡g (an)jest zbie»ny do granicy +∞ co zapisujemy lim
n→∞an = +∞ gdy
∀M >0∃n0∈N∀n>n0 an> M.
Denicja 11. (granica niewªa±ciwa −∞)
Mówimy, »e ci¡g (an)jest zbie»ny do granicy −∞ co zapisujemy lim
n→∞an= −∞, gdy
∀M >0∃n0∈N∀n>n0 an< −M.
Twierdzenie 12. (o arytmetyce granic ci¡gów)
Dla ci¡gów (an), (bn) zbie»nych lub rozbie»nych do ∞ lub −∞ zachodz¡:
a) lim
n→∞(an± bn) = lim
n→∞an± lim
n→∞bn;
b) lim
n→∞(an· bn) = lim
n→∞an· lim
n→∞bn; c) lim
n→∞
an
bn = n→∞limlim an
n→∞bn, je±li lim
n→∞bn 6= 0;
d) lim
n→∞(an)p =
n→∞lim anp
, p ∈ Z \ {0};
e) lim
n→∞
√k
an= qk
n→∞lim an, k ∈ N \ {1};
o ile powy»sze dziaªania s¡ wykonywalne w zbiorze liczb rzeczywistych.
Granice niektórych ci¡gów:
a) lim
n→∞
a
n = 0, b) lim
n→∞
1
nα = 0, α > 0 c) lim
n→∞nα = +∞, α > 0 d) lim
n→∞an= 0, |a| < 1 e) lim
n→∞an = ∞, a > 1 f ) lim
n→∞
√n
a = 1, a > 0 g) lim
n→∞
√n
n = 1 h) lim
n→∞
nα
an = 0, α > 0, a > 1 i) lim
n→∞
logan
n = 0, n > 1 j) lim
n→∞
nn
n! = ∞ k) lim
n→∞an= ∞, a > 1 l) lim
n→∞an = 0, |a| < 1 m) lim
n→∞(1 + 1n)n = e n) lim
n→∞(1 − 1n)n= e−1 o) lim
n→∞(1 + an)n = ea p) lim
n→∞(1 + a1
n)an = e o ile (an) to ci¡g o wyrazach dodatnich zbie»ny do granicy niewªa±ciwej (∞).
Wskazówka: Przy liczeniu granic ci¡gu typu "wielomian"przez "wielomian", je»eli
• licznik i mianownik s¡ tego samego stopnia, to granica jest równa ilorazowi wspóªczynników przy najwy»szej pot¦dze;
• licznik jest ni»szego stopnia ni» mianownik, to granica jest równa zero;
• licznik jest wy»szego stopnia ni» mianownik, to granica jest równa +∞(gdy wspóªczynniki przy najwy»szych pot¦gach s¡ tego samego znaku) lub −∞(gdy wspóªczynniki przy najwy»szych pot¦gach s¡ tego samego znaku).
Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:
a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞
a
∞ = 0, −∞ < a < ∞ 0a+ = ∞, 0 < a ≤ ∞
a
0+ = −∞, −∞ ≤ a < 0 0a− = −∞, 0 < a ≤ ∞
a
0− = ∞, −∞ ≤ a < 0
a∞= 0, 0+ ≤ a < 1 a∞= ∞, 1 < a ≤ ∞
∞a= 0, −∞ ≤ a < 0 ∞a = ∞, 0 < b ≤ ∞ Symbole nieoznaczone: ∞∞, 00, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1∞, 00, ∞0
Twierdzenie 13. (o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym) Ka»dy ci¡g monotoniczny i ograniczony jest zbie»ny, przy czym:
- ci¡g niemalej¡cy i ograniczony z góry jest zbie»ny do granicy, która jest kresem górnym zbioru jego warto±ci,
- ci¡g nierosn¡cy i ograniczony z doªu jest zbie»ny do granicy, która jest kresem dolnym zbioru jego warto±ci.
Twierdzenie 14. (o dwóch ci¡gach) Je±li ci¡gi (an) i (bn) speªniaj¡ warunki:
1) an≤ bn (lub an≥ bn) dla ka»dego n ≥ n0, gdzie n, n0 ∈ N, 2) lim
n→∞an= ∞ (lub −∞) to lim
n→∞bn = ∞ (lub −∞).
Twierdzenie 15. (o trzech ci¡gach)
Je±li ci¡gi (an), (bn) i (cn) speªniaj¡ warunki:
1) an≤ bn ≤ cn dla ka»dego n ≥ n0, gdzie n, n0 ∈ N, 2) lim
n→∞an= lim
n→∞cn = q to lim
n→∞bn = q.
Twierdzenie 16. (Kryterium d'Alemberta)
Niech (an)n∈N b¦dzie ci¡giem liczbowym i istnieje granica g := lim
n→∞
an+1
an
. Wówczas je±li:
• g < 1, to lim
n→nan = 0,
• g > 1, to ci¡g an jest rozbie»ny,
• g = 1, to kryterium nie rozstrzyga o zbie»no±ci ci¡gu (musimy bada¢ innymi metodami).
Twierdzenie 17. (Kryterium Cauchy'ego)
Niech (an)n∈N b¦dzie ci¡giem liczbowym i istnieje granica g := lim
n→∞
p|an n|. Wówczas je±li:
• g < 1, to lim
n→nan = 0,
• g > 1, to ci¡g an jest rozbie»ny,
• g = 1, to kryterium nie rozstrzyga o zbie»no±ci ci¡gu (musimy bada¢ innymi metodami).
Kilka prostych przykªadów obliczania granic ci¡gów:
a) lim
n→∞
3n2−n
2n2+4 = lim
n→∞
n2(3−1n) n2(2+ 4
n2) = lim
n→∞
3−1n 2+4
n2
= 32; b) lim
n→∞
4n2−4
2n−1 = lim
n→∞
n(4n−n4)
n(2−n1) = lim
n→∞
4n−4n
2−1n = +∞;
c) lim
n→∞
3n+4
2n3+n2 = lim
n→∞
n3( 3
n2+4
n3)
n3(2+n1) = lim
n→∞
3 n2+ 4
n3
2+n1 = 0, d) lim
n→∞
√n
2n+ 5n= ...
Tutaj skorzystamy z twierdzenia o trzech ci¡gach. Niech bn = n2n+ 5n, poniewa» zachodz¡ nierów- no±ci
an = 5 = √n
5n < √n
2n+ 5n< √n
5n+ 5n= √n
2 · 5n= 5√n 2 = cn oraz lim
n→∞5 = 5 jak równie» lim
n→∞5√n
2 = 5,wi¦c
n→∞lim
√n
2n+ 5n= 5.
e)
n→∞lim
√n2− 2n − n = lim
n→∞
(√
n2− 2n − n)(√
n2− 2n + n)
√n2− 2n + n = lim
n→∞
n2− 2n − n2
√n2− 2n + n =
= lim
n→∞
√ −2n
n2− 2n + n = lim
n→∞
n(−2) n(q
1 − 2n+ 1)
= lim
n→∞
−2 q
1 −n2 + 1
= −2
2 = −1;
f )
n→∞lim
2n + 4 2n + 1
3n−1
= lim
n→∞
2n + 1 + 3 2n + 1
3n−1
= lim
n→∞
1 + 3 2n + 1
3n−1
=
= lim
n→∞
1 + 1
2n+1 3
3n−1
= lim
n→∞
1 + 1
2n+1 3
2n+13 ·3(3n−1)
2n+1
= e92, gdy» lim
n→∞
3(3n−1) 2n+1 = 92.
Zadania
1. Znale¹¢ kilka pocz¡tkowych wyrazów poni»ej okre±lonych ci¡gów:
(a) an= √n
n + 1, (b) bn= (1 + n1)n,
(c) cn = nn!n, (d) dn =
(3n dla n nieparzystego n3 dla n parzystego,
(e) en=
n + 2 n
+
n + 1 n
n + 3 n + 1
, (f) f1 = 7, fn+1= fn+ 3, (g) g1 = 1, g2 = 3, gn+2= gn+ gn+1.
2. W oparciu o warto±ci kilku pocz¡tkowych wyrazów ci¡gu (an), poda¢ jedn¡ z mo»liwych postaci jego wyrazu ogólnego:
(a) 1, 3, 5, 7, 9, (b) −2√
2, 4, −4√ 2, 8,
(c) 23,13,29,16,152,19, (d) 0.5, 0.(6), 0.75, 0.8, 0.8(3), (e) 0, 23, 0, 2323, 0, 232323, ..., 0, 2323...23
| {z }
n par
, (f) 12,24,68,2416,12032, (g) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (ci¡g Fibbonaciego).
3. Zbadaj monotoniczno±¢ ci¡gów (an): (a) an= 3n−25n+1, (b) an=
n
P
k=0 1 2k+1−
n
P
k=1 1
2k, (c) an=√
n + 1 −√ n + 2, (d) an= n2n!+1, (e) an= (2n)!4n , (f) an= nn!n,
(g) an= 3n+5n2 .
4. Zbadaj ograniczono±¢ ci¡gów (an):
(a) an= n4n2+12 , (b) an =
n
P
k=1 1
k(k+1), (c) an= n[1 + (−1)n], (d) an= 4 − n2, (e) an = 2nn2, (f) an= nn!n,
(g) an= 2n!n, (h) an = 3nsinnπ2 , (i) an= (−1)nn+1cos(3n+1), (j) √n12+1 +√ 1
n2+2 + · · · + √ 1
n2+n.
5. Korzystaj¡c z twierdzenia o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym wyka» zbie»no±¢ podanych ci¡gów (an):
(a) an= n5n2, (b) an= (n!)(2n)!2, (c) an = 2n−1n , (d) an = n+11 +n+21 + · · · +n+n1 , (e) an= 511+1!+52+2!1 +· · ·+5n1+n!.
6. Zbadaj zbie»no±¢ i oblicz granice ci¡gów okre±lonych rekurencyjnie:
(a) a1 = 32, an =√
3an−1− 2, (b) a1 =√
5, an+1 =√
5 + an, (c) a1 = 1, an+1 = 1 + 1+a1
n. 7. Z denicji granicy ci¡gu udowodnij, »e
(a) lim
n→∞
3n−1
4n+1 = 34, (b) lim
n→∞
(−1)n
5n = 0, (c) lim
n→∞
1
2n+n = 0, (d) lim
n→∞
3n
5n+1 = 0, (e) lim
n→∞
4n2+4
2n2+n = 2, (f) lim
n→∞(3n − 1) = +∞, (g) lim
n→∞(−n2+ 2n) = −∞, (h) lim
n→∞7
√n = +∞, (i) lim
n→∞(3n+ n2+ 5) = ∞.
8. Dla ci¡gu an = 2n−14n+1 wybieraj¡c w denicji granicy ci¡gu ε = 13 okre±l dla jakich n ∈ N jest ona speªniona.
9. Dla ci¡gu an= 2n−1n−2 okre±l liczb¦ wyrazów nie nale»¡cych do przedziaªu (2 − 0, 01; 2 + 0, 01).
10. Na podstawie denicji granicy ci¡gu wyka», »e lim
n→∞
3n+1 n+2 6= 2.
11. Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic ci¡gów, oblicz granice podanych ci¡gów (o ile istniej¡):
(a) an= n2+ 5n − 6, (b) bn = −n2− 3n + 5, (c) an = 1 + 2n+31 , (d) an= 5nn22+3n−2 , (e) an= nn23−3n+4 , (f ) an = 2n4n+3n3−42−1, (g) an= (2n+3)(1−7n)(1−2n)3 2, (h) an= 5−3n1−2n2
, (i) an= (2n+1)(2n−1) (3n+6)(2n+2), (j) an= 2n√2−3n+4
n4+4 , (k) an =
q4n3+n2
n3+2 , (l) an =√
n + 5 −√ n, (m) an =√
n2− 2n − n, (n) an =√3
n3+ 3n2− n, (o) an =√
n2+ n + 1 −√
n2− n + 1, (p) an= 56nn−4+3nn, (q) an= 3·28·42nn+5−5, (r) an = 39n+2n+5−2·7n−1n,
(s) an=√
32n− 2 · 7n, (t) an= (n+1)!−n!(n+1)!+n!, (u) an= 1+2+···+n6n2+3 , (v) an= n1+2+7+...+(3n−2)
n3+1 , (w) an=
1
6+361+...+6n1
3
5+259+...+(35)n, (x) an= 1−2+3−4+...−2n√ n2+1 , (y) an= log7 49nn2+42−1, (z) an= 12n2−22
, (a2) an= 3n2+5n−6, (b2) an= 7−3n3+1n2+1 , (c2) an= log1
2
n2−2
n , (d2) an = 17n2+23+4n2+322−3n−2+···+n2. 12. Korzystaj¡c z denicji liczby e obliczy¢ granice:
(a) lim
n→∞ 1 + 2nn
, (b) lim
n→∞
n−4 n
2n
, (c) lim
n→∞
2n+3 2n+1
n+1
, (d) lim
n→∞
n2+2 n2+1
n2
, (e) lim
n→∞
2n 2n−3
3n
, (f ) lim
n→∞
3n2+3 3n2+1
3n−1
, (g) lim
n→∞
n2−3 n2+1
5n2
, (h) lim
n→∞
n3+5 n3−2
6n2+3n
. 13. Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech ci¡gach obliczy¢ podane granice:
(a) lim
n→∞
√n
4n+ 5n, (b) lim
n→∞
√n
3n+ 5n+ 7n, (c) lim
n→∞
cos n2 n , (d) lim
n→∞
n sin 2n
(3n−1)2, (e) lim
n→∞
√ 1
n2+1 + √ 1
n2+2 + · · · + √ 1
n2+n, (f ) lim
n→∞
√n
n + 3, (g) lim
n→∞
√n
3 · 5n+ 2 · 4n, (e) lim
n→∞
1
n2+1 +n22+2 + · · · + n2n+n, (h) lim
n→∞
√n
5n + cos n, (i) lim
n→∞
[an]
n , dla dowolnego a ∈ R
14. Korzystaj¡c z twierdzenia o dwóch ci¡gach obliczy¢ granice podanych ci¡gów.
(a) lim
n→∞
1−n2
n−sin n, (b) lim
n→∞[n4 + (−1)nn], (c) lim
n→∞
7n+5n
5n+3n, (d) lim
n→∞(sin n − 2)n2. 15. Wykaza¢, »e ci¡g (an) nie ma granicy
(a) an= (−1)n, (b) an= n(−1)n+1, (c) an= (1 + (−1)n) + n+5n , (d) an= n[1 − (−1)n], (e) an= cosπn2 , (f) an = sinnπ2 + cosnπ2 . 16. Korzystaj¡c z kryterium Cauchy'ego obliczy¢ podane granice:
(a) lim
n→∞
n+1 n
n2
, (b) lim
n→∞lnn 2 + n1 , (c) lim
n→∞
3n n2n. 17. Korzystaj¡c z kryterium d'Alemberta obliczy¢ podane granice:
(a) lim
n→∞
4n
n!, (b) lim
n→∞
5n
n4, (c) lim
n→∞
nn 3nn!. 18. Udowodnij, »e je»eli lim
n→∞an= g, to lim
n→∞|an| = |g|.
19. Udowodnij, »e je»eli ci¡g (an) jest ograniczony oraz lim
n→∞bn= 0, to lim
n→∞anbn = 0.
20. Korzystaj¡c z poprzedniego zadania oblicz granic¦ ci¡gów (an) : (a) an= n2n+1cos(n2 + n), (b) an= 1+2+···+nn5+2n sin(n!).