x2+ 5x + 4

Zadania przygotowuj¸ace do pierwszego kolokwium;

matematyka (inżynierska).

1. Wyznacz dziedzinę i zbadaj, czy podana funkcja jest parzysta, czy nieparzysta:

(a) f (x) = ln(−x²− 3x + 4) + ln(−x²+ 3x + 4) (b) f (x) =√

x²+ 5x + 4 +√

x²− 5x + 4 (c) f (x) = log₂^1−x_1+x

(d) f (x) = ln

2+x 2−x

³ (e) f (x) = tgx +^{arc sin}_x4−1^12x

(f) f (x) = sin x·cos x arc sin 2x

(g) f (x) = cos x + 2 sin²x +_arctgx^x3−x (h) f (x) = ^{arc sin 3x}_x·arctgx

(i) f (x) = ₂x−2^x−x.

2. Znajdź złożenie funkcji f [g(x)] oraz g[f (x)], gdy (a) f (x) = sin x, g(x) = x³

(b) f (x) = √³

x + 1, g(x) = cos x (c) f (x) = 2x, g(x) = (x + 1)³ (d) f (x) = 2^x, g(x) = arctgx

(e) f (x) = cos x, g(x) = 3x (f) f (x) = ln x, g(x) = x⁵

3. Znajdź funkcję odwrotną f⁻¹(x) do funkcji (a) f (x) = 2⁵

√x+2

(b) f (x) = arc sin x³+ 1 (c) f (x) = arc sin(x³+ 1) (d) f (x) = log₂[log₃(2x + 2)]

(e) f (x) = 1 + [2 + (3 + x⁹)]³

4. Naszkicuj wykres podanej funkcji.

Czy jest to funkcja ciągła?

(a) f (x) =

 ₁

2

x

dla x ­ 0, 1 + sin x dla x < 0 (b) f (x) =

 log₂2x dla x ­ ¹₂, 1 − x² dla x < ¹₂

(c) f (x) =







|x − 3| dla x ­ 2, x − 1 dla 0 ¬ x < 2,

−x³− 1 dla x < 0

(d) f (x) =







2

πarc sin x dla − 1 ¬ x < 1, x dla x < −1,

1 dla x ­ 1

5. Oblicz na dwa różne sposoby (w tym raz stosuj¸ac reguł¸e de L’Hospitala, drugi raz nie):

(a) limx→0sin²(2x) 3x²

(b) limx→0sin x·sin 3x 4x²

(c) lim_x→0sin 2x·cos 3x sin 5x

(d) lim_x→0sin 4x+sin 2x x+sin 3x

(e) limx→−∞ x³+x²+x 2x³−x²+1

(f) limx→+∞1+x+√ x

√3

x+2x

(g) lim_x→2^x2_x^+2x−8₃₋₈ (h) limx→−1 x³+1

2x²+5x+3

6. Oblicz:

(a) limx→−∞x · e^2x (b) limx→+∞ 1

x² · ln x (c) lim_x→0+(sin x)^{(ln x)−1} (d) lim_x→0+x · ln¹_x

(e) limx→+∞ln x√ x

(f) limx→+∞

√x²+ x −√ x²− 1
(g) lim_x→0+ 1

sin x−_{sin 2x}¹
7. Oblicz f⁰(x), gdy:

(a) f (x) = (x³− 1) ·√

sinx +^{cos 2x}_x (b) f (x) = x⁵·√

arctgx +^x_x+1²⁻¹ (c) f (x) =√³

x · arctg(x²) +^x_x+1³⁻¹ (d) f (x) = ln(e^2x+ 3x) +^{x·ln x}_x−1

(e) f (x) = ln(e^3x− x) +^{2x·ln x}_x+2 (f) f (x) = x³·√

arc sin x +^x_x+2^2−x (g) f (x) = _x+3^x2 − sin x ·√⁵

ln x

1

8. Naszkicuj wykres dowolnej funkcji jednocześnie:

(a) nieparzystej, rosn¸acej, z asymptot¸a po- ziom¸a i bez ekstremum lokalnego

(b) parzystej, malej¸acej w przedziale (0, ∞), bez asymptoty i z maksimum lokalnym (c) nieparzystej, malej¸acej, nieci¸agłej i bez eks-

tremum lokalnego

(d) parzystej, nieci¸agłej, bez pochodnej w punkcie x = 0, bez asymptoty, z punktem przegi¸ecia i z ekstremum

(e) nieparzystej, nieci¸agłej, rosn¸acej, z asymp- tot¸a ukośn¸a

(f) parzystej, ci¸agłej, różniczkowalnej, okreso- wej, z minimum lokalnym

9. Znajdź ekstrema lokalne funkcji:

(a) f (x) = ¹₇x⁷−¹₃x³ (b) f (x) = arc sin x²

(c) f (x) = arc sin²x (d) f (x) = ln²x

(e) f (x) = e^x3+x2−5x (f) f (x) = 2x + ln x (g) f (x) = _{ln 2}^x − log₂x (h) f (x) = arctgx − ln(x²+ 1)

(i) f (x) = (x + 1) ·√³ x² (j) f (x) = x ·p(x − 2)^{5 4} (k) f (x) =p(x^{9 2}− 4)²

(l) f (x) =p(x − 1)^{7 6}

(m) f (x) = p(x + 2)^{3 2}−p(x − 2)^{3 2} (n) f (x) = p(x + 2)^{3 2}+p(x − 2)^{3 2} (o) f (x) =√

x²− 4x

10. Znajdź wartość najwi¸eksz¸a i najmniejsz¸a funkcji:

(a) f (x) = (x − 1)e^x w zbiorze [−1, 1]

(b) f (x) = xe^x w zbiorze [−2, 0]

(c) f (x) = 2^x2 w zbiorze [−1, 1]

(d) f (x) = arctg(x³) w zbiorze [−1, 1]

(e) f (x) = arctg³x w zbiorze [0, 1]

(f) f (x) = x⁴− x³−¹₂x² w zbiorze [0, 2]

(g) f (x) = x³+ x²− 5x w zbiorze [0, 2]

(h) f (x) = ¹₄x⁴+ x³− 2x² w zbiorze [−1, 2]

(i) f (x) = 1000 − ln(x² + 1) w przedziale [−√

e − 1,√ e²− 1]

(j) f (x) =√³

x²+p(x + 2)^{3 2}−√³

4 w przedziale [−2, 0]

Prawdopodobne odpowiedzi:

(1a): parzysta, D = (−1, 1)

(1b): parzysta, D = (−∞, −4] ∪ [−1, 1] ∪ [4, +∞]

(1c): nieparzysta, D = (−1, 1) (1d): nieparzysta, D = (−2, 2)

(1e): nieparzysta, D = [−2, 2] \ {−1, 1, −^π₂,^π₂} (1f): parzysta, D =−¹₂, 0
∪ 0,¹₂

(1g): parzysta, D = R \ {0}

(1h): nieparzysta, D =−¹₃, 0
∪ 0,¹₃ (1i): parzysta, D = R \ {0}

(2a): f [g(x)] = sin(x³), g[f (x)] = (sin x)³ (2b): f [g(x)] =√³

cos x + 1, g[f (x)] = cos√³

x + 1

(2c): f [g(x)] = 2(x + 1)³, g[f (x)] = (2x + 1)³ (2d): f [g(x)] = 2^arctgx, g[f (x)] = arctg (2^x) (2e): f [g(x)] = cos 3x, g[f (x)] = 3 cos x (2f): f [g(x)] = ln x⁵, g[f (x)] = (ln x)⁵ (3a): f⁻¹(x) = log⁵₂x − 2

(3b): f⁻¹(x) =psin(x − 1)³ (3c): f⁻¹(x) =√³

sin x − 1 (3d): f⁻¹(x) = ¹₂· 3^2x− 1 (3e): f⁻¹(x) =p⁹ √₃

x − 1 − 5 (4a): ciągła; (4b): nieciągła;

(4c): ciągła; (4d): ciągła

(5a): ⁴₃; (5b): ³₄; (5c): ²₅; (5d): ³₂; (5e): ¹₂; (5f): ¹₂; (5g): ¹₂; (5h): 3 (6a): 0; (6b): 0; (6c): e;

(6d): 0; (6e): 0; (6f): ¹₂; (6g): +∞

2

(7a): f⁰(x) = 3x²·√

sin x + (x³− 1) · ¹

2√

sin x· cos x + (− sin 2x)·2·x−cos 2x·1 x²

(7b): f⁰(x) = 5x⁴·√

arctgx + x⁵· ₂^√_arctgx¹ ·_x2¹+1+ 2x·(x+1)−(x²−1)·1 (x+1)²

(7c): f⁰(x) = ¹₃x⁻²³ · arctgx²+√³

x ·_1+(x¹₂₎₂ · 2x + ^{3x2(x+1)−(x}_(x+1)2^3−1)·1 (7d): f⁰(x) =_e2x¹+3x· (e^2x· 2 + 3) + ^{(1·ln x+x·1x})(x−1)−x·ln x·1

(x−1)²

(7e): f⁰(x) = _e3x¹−x· (e^3x· 3 − 1) + (2·ln x+2x·_x¹)(x+2)−2x·ln x·1 (x+2)²

(7f): f⁰(x) = 3x²·√

arc sin x + x³· ¹

2√

arc sin x·^{√ 1}

1−x² +(2x−1)(x+2)−(x²−x)·1 (x+2)²

(7g): f⁰(x) = ^{2x·(x+3)−x}_(x+3)2 ^2·1−cos x ·√⁵

ln x + sin x ·¹₅(ln x)⁻⁴⁵ ·¹_x (9a): minimum dla x = 1, maksimum dla x = 0

(9b): minimum dla x = 0 (9c): minimum dla x = 0 (9d): minimum dla x = 1

(9e): minimum dla x = 1, maksimum dla x = −⁵₃ (9f): nie ma ekstremów

(9g): minimum dla x = 1 (9h): maksimum dla x = ¹₂

(9i): minimum dla x = 0, maksimum dla x = −²₅ (9j): minimum dla x = 2, maksimum dla x = ¹⁰₉

(9k): minimum dla x = −2, maksimum dla x = 0, minimum dla x = 2 (9l): minimum dla x = 1

(9m): minimum dla x = −2, maksimum dla x = 2

(9n): minimum dla x = −2, maksimum dla x = 0, minimum dla x = 2 (9o): nie ma ekstremów

(10a): wartość największa to 0, a najmniejsza to −1 (10b): wartość największa to 0, a najmniejsza to −¹_e (10c): wartość największa to 2, a najmniejsza to 1 (10d): wartość największa to ^π₄, a najmniejsza to −^π₄ (10e): wartość największa to ^π₆₄³, a najmniejsza to 0 (10f): wartość największa to 6, a najmniejsza to −¹₂ (10g): wartość największa to 2, a najmniejsza to −3 (10h): wartość największa to 12, a najmniejsza to 0 (10i): wartość największa to 1000, a najmniejsza to 998 (10j): wartość największa to 2 −√³

4, a najmniejsza to 0

3