(budownictwo, studia niestacjonarne, pierwszy semestr, 2019/2020)
[19,20.X] (1) Wyznacz dziedzinę i zbadaj, czy funkcja
f (x) = ln(−x2− 3x + 4) + ln(−x2+ 3x + 4) jest parzysta, czy nieparzysta.
(2) Wyznacz dziedzinę i zbadaj, czy funkcja f (x) =√
x2+ 5x + 4 +√
x2− 5x + 4 jest parzysta, czy nieparzysta.
(3) Wyznacz dziedzinę i zbadaj, czy funkcja f (x) = 2x−2x−x jest parzysta, czy nieparzysta.
(4) Wyznacz dziedzinę i zbadaj, czy funkcja f (x) = |x| + xx20202+1 jest parzysta, czy nieparzysta.
(5) Wyznacz dziedzinę i zbadaj, czy funkcja f (x) = xx38+x−15 jest parzysta, czy nieparzysta.
(6) Znajdź złożenie funkcji f [g(x)] oraz g[f (x)], gdy f (x) = sin x, g(x) = x3. (7) Znajdź złożenie funkcji f [g(x)] oraz g[f (x)], gdy
f (x) = √3
x + 1, g(x) = cos x.
(8) Znajdź funkcję odwrotną f−1(x) do funkcji f (x) = 25
√x+2.
(9) Znajdź funkcję odwrotną f−1(x) do funkcji f (x) = log2[log3(2x + 2)].
(10) Znajdź funkcję odwrotną f−1(x) do funkcji f (x) = 1 + (5 + x9)3. Prawdopodobne odpowiedzi:
(1): parzysta, D = (−1, 1)
(2): parzysta, D = (−∞, −4] ∪ [−1, 1] ∪ [4, +∞]
(3): parzysta, D = R \ {0}
(4): parzysta, D = R
(5): nieparzysta, D = R \ {−1, 1}
(6): f [g(x)] = sin(x3), g[f (x)] = (sin x)3 (7): f [g(x)] =√3
cos x + 1, g[f (x)] = cos√3 x + 1 (8): f−1(x) = log52x − 2
(9): f−1(x) = 12 · 32x − 1 (10): f−1(x) = 9
q
√3
x − 1 − 5
1
[26,27.X] (i) Wyznacz dziedzinę i zbadaj, czy funkcja
f (x) = xarc sin2019·arctgx3(13x) jest parzysta, czy nieparzysta.
(ii) Naszkicuj wykres funkcji f (x) =
( 1
2
x
dla x 0 1 + sin x dla x < 0 . Czy jest to funkcja ciągła?
(iii) Naszkicuj wykres funkcji f (x) =
( log22x dla x 12 1 − x2 dla x < 12 . Czy jest to funkcja ciągła?
(iv) Naszkicuj wykres funkcji f (x) =
|x − 3| dla x 2 x − 1 dla 0 ¬ x < 2
−x3− 1 dla x < 0 .
Czy jest to funkcja ciągła?
(v) Naszkicuj wykres funkcji f (x) =
2
π arc sin x dla − 1 ¬ x < 1 x dla x < −1
1 dla x 1
.
Czy jest to funkcja ciągła?
(vi) Oblicz limx→+∞ x2+x+1 2x2+√
x−1. (vii) Oblicz limx→+∞ 2x+33xx+1−1+1. (viii) Oblicz limx→1 xx−12−1.
(ix) Oblicz limx→−1 xx22+x−1. (x) Oblicz limx→2 x2+2x−8
x2−4 . Prawdopodobne odpowiedzi:
(i): D = [−3, 0) ∪ (0, 3], nieparzysta (ii): ciągła
(iii): nieciągła (iv): ciągła (v): ciągła (vi): 12 (vii): 3 (viii): 2 (ix): 2 (x): 32
[16,17.XI] (1) Oblicz pochodną funkcji f (x) = xe2x+ 1 − cos x + sin(x1+x2+x4 3). (2) Oblicz pochodną funkcji f (x) = (x3+1)·sin(xe2x−ex2+x).
(3) Oblicz pochodną funkcji f (x) = x +√
x · e−x− 1 + sin(x+xx6+x4+12).
(4) Oblicz pochodną funkcji f (x) = arctg(1 + e4x) + cos x · ln(x2 + 1) +xx+12+1. (5) Oblicz pochodną funkcji f (x) = ln(x6+ 1) · arctg(x2) − sin 2x + 1+xex8. (6) Znajdź przedziały monotoniczności funcji f (x) = 14x4− 12x2+18. (7) Znajdź przedziały monotoniczności funcji f (x) = 13x3+ x2− 8x + 10.
(8) Znajdź przedziały monotoniczności funcji f (x) = ln(x2+ 123456789).
(9) Znajdź przedziały monotoniczności funcji f (x) = arctg(x3− 3x).
(10) Znajdź przedziały monotoniczności funcji f (x) = 2arctgx + ln(x2+ 1).
Prawdopodobne odpowiedzi:
(1): f0(x) = 1 · e2x+ x · e2x· 2 + sin x +cos(x2+x3)·(2x+3x(1+x2)·(1+x4)24)−sin(x2+x3)·4x3
(2): f0(x) = [3x2·sin(x2+x)+(x3+1)·cos(x2+x)·(2x+1)]·(e2x−ex)−(x3+1)·sin(x2+x)·(e2x·2−ex) (e2x−ex)2
(3): f0(x) = 1 +2√1x · e−x+√
x · e−x· (−1) + cos(x+x2)·(1+2x)·(x6+x4+1)−sin(x+x2)·(6x5+4x3) (x6+x4+1)2
(4): f0(x) = 1+(1+e1 4x)2 · e4x· 4 + (− sin x) · ln(x2+ 1) + cos x ·x21+1· 2x +1·(x2+1)−(x+1)·2x (x2+1)2
(5): f0(x) = x61+1· 6x5· arctg(x2) + ln(x6+ 1) ·1+(x12)2 · 2x − cos 2x · 2 +ex·(1+x(1+x8)−e8)2x·8x7
(6)∗: funkcja maleje w przedziale (−∞, −1] oraz w [0, 1], a rośnie w [−1, 0] oraz [1, +∞) (7)∗: funkcja maleje w przedziale [−4, 2], a rośnie w (−∞, −4] oraz [2, +∞)
(8)∗: funkcja maleje w przedziale (−∞, −0], a rośnie w [0, +∞)
(9)∗: funkcja maleje w przedziale [−1, 1], a rośnie w (−∞, −1] oraz [1, +∞) (10)∗: funkcja maleje w przedziale (−∞, −1], a rośnie w [−1, +∞)
∗ odpowiedź ze wszystkimi przedziałami otwartymi też jest akceptowalna
[30.XI, 1.XII] (1) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x) = ln2x.
(2) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x) = ex3+x2−5x.
(3) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x) = arctgx − ln(x2+ 1).
(4) Znajdź ekstrema lokalne funkcji: f (x) = (x + 1) ·√3 x2.
(5) Znajdź ekstrema lokalne funkcji f (x) = q3 (x + 2)2+q3(x − 2)2.
(6) Znajdź wartość najwi¸eksz¸a i najmniejsz¸a funkcji f (x) = (x−1)ex w zbiorze [−1, 1].
(7) Znajdź wartość najwi¸eksz¸a i najmniejsz¸a funkcji f (x) = arctg3x w zbiorze [0, 1].
(8) Znajdź wartość najwi¸eksz¸a i najmniejsz¸a funkcji f (x) = x4− x3− 12x2 w zbiorze [0, 2].
(9) Znajdź wartość najwi¸eksz¸a i najmniejsz¸a funkcji f (x) = 1000 − ln(x2+ 1) w przedziale [−√
e − 1,√
e2 − 1].
(10) Znajdź wartość najwi¸eksz¸a i najmniejsz¸a funkcji f (x) = q3 (x − 2)2+q3(x + 2)2 w przedziale [−2, 0].
Prawdopodobne odpowiedzi:
(1): minimum dla x = 1
(2): minimum dla x = 1, maksimum dla x = −53 (3): maksimum dla x = 12
(4): minimum dla x = 0, maksimum dla x = −25
(5): minimum dla x = −2, maksimum dla x = 0, minimum dla x = 2 (6): wartość największa to 0, a najmniejsza to −1
(7): wartość największa to π643, a najmniejsza to 0 (8): wartość największa to 6, a najmniejsza to −12 (9): wartość największa to 1000, a najmniejsza to 998 (10): wartość największa to 2√3
4, a najmniejsza to √3 4
[14,15.XII] (Zadania i wykresy)
(1) Zbadaj przebieg i narysuj wykres funkcji f (x) = x − 2 + x+11 .
x y
0
(2) Zbadaj przebieg i narysuj wykres funkcji f (x) = 2x + (x−1)1 2.
x y
0
(3) Zbadaj przebieg i narysuj wykres funkcji f (x) = 2 − x2x+12 .
x y
1 0
(4) Zbadaj przebieg i narysuj wykres funkcji f (x) = 3−xx32.
x y
0
(5) Zbadaj przebieg i narysuj wykres funkcji f (x) = 1 −√3
x5− 5√3 x2.
x y
[11,12.I] (1) Oblicz Rx · sin xdx.
(2) Oblicz Rx · cos xdx.
(3) Oblicz Rx · exdx.
(4) Oblicz Rx · ln xdx.
(5) Oblicz R√
x · ln xdx.
(6) Oblicz Rx2· sin x3dx.
(7) Oblicz Rx · cos(x2+ 1)dx.
(8) Oblicz R(2x + 11)2020dx.
(9) Oblicz Rsin5x · cos xdx.
(10) Oblicz Rsin x · cos6xdx.
Prawdopodobne odpowiedzi:
(1) −x cos x + sin x + C, (2) x sin x + cos x + C (3) xex− ex+ C (4) 12x2ln x −14x2+ C (5) 23x3/2ln x −49x3/2+ C (6) −13cos x3 + C
(7) 12sin(x2+ 1) (8) 40421 (2x + 11)2021 (9) 16sin6x + C (10) −17cos7x + C
[25.I] Kolokwium dla obu grup odbędzie się w sobotę o godz. 10.35.
(i) Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y = x3, y = x4. (ii) Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y = 12x2, y = 14x3. (iii) Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y =√
−x, y = 0, x = −1.
(iv) Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y =√
−x + 1, y = 0, x = 0.
(v) Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y =√
x, y =√3 x.
(vi) Naszkicuj krzywą o równaniu biegunowym r(ϕ) =√ sin 2ϕ i oblicz pole obszaru ograniczonego tą krzywą.
(vii) Naszkicuj krzywą o równaniu biegunowym r(ϕ) = √ cos 2ϕ i oblicz pole obszaru ograniczonego tą krzywą.
(viii) Naszkicuj krzywą o równaniu biegunowym r(ϕ) = √
1 + cos 2ϕ i oblicz pole obszaru ograniczonego tą krzywą.
(ix) Naszkicuj krzywą o równaniu biegunowym r(ϕ) =√
1 + cos 3ϕ i oblicz pole obszaru ograniczonego tą krzywą.
(x) Naszkicuj krzywą o równaniu biegunowym r(ϕ) =√
1 + cos 4ϕ i oblicz pole obszaru ograniczonego tą krzywą.
Prawdopodobne odpowiedzi:
(i) 201 (ii) 13 (iii) 23 (iv) 23 (v) 121 (vi) 1 (vii) 1 (viii) π (ix) π (x) π
