Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Biotechnologia
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
9. Funkcja logarytmiczna
9.1. Logarytm
Niech a ∈ R
+\ {1}, b ∈ R
+. Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy liczbę c wtedy i tylko wtedy, gdy a
c= b. Piszemy
log
ab = c ⇐⇒ b = a
c. log
a1 = 0
log
aa = 1 a
logab= b
log b = log
10b – logarytm dziesiętny
ln b = log
eb – logarytm naturalny (e ≈ 2, 718281828)
Działania na logarytmach
log
a(xy) = log
ax + log
ay, a ∈ R
+\ {1}, x, y ∈ R
+log
a(xy)= log
ax − log
ay, a ∈ R
+\ {1}, x, y ∈ R
+log
ab
m= m log
ab, a ∈ R
+\ {1}, b ∈ R
+, m ∈ R log
ab =
loglogcbca
, a, c ∈ R
+\ {1}, b ∈ R
+log
ab =
log1ba
, a, b ∈ R
+\ {1}
9.2. Funkcja logarytmiczna
Funkcja logarytmiczna to funkcja postaci f (x) = log
ax, gdzie a ∈ R
+\ {1}, x ∈ R
+.
WŁASNOŚCI:
• dziedzina R
+;
• zbiór wartości R;
• funkcja różnowartościowa;
• funkcja ciągła;
• funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie;
• jeśli a > 1, to funkcja jest rosnąca;
• jeśli 0 < a < 1, to funkcja jest malejąca.
9.3. Równania logarytmiczne
Jeżeli f (x) > 0, g(x) > 0, a ∈ R
+\ {1}, to
log
af (x) = b ⇐⇒ f(x) = a
blub
log
af (x) = log
ag(x) ⇐⇒ f(x) = g(x).
9.4. Nierówności logarytmiczne Jeśli 0 < a < 1, to
log
af (x) > log
ag(x) ⇐⇒ f(x) < g(x).
Jeśli 0 < a < 1, to
log
af (x) > log
ag(x) ⇐⇒ f(x) 6 g(x).
Jeśli a > 1, to
log
af (x) > log
ag(x) ⇐⇒ f(x) > g(x).
Jeśli a > 1, to
log
af (x) > log
ag(x) ⇐⇒ f(x) > g(x).
9.5. Przykładowe zadania 1. Obliczyć log
19
3 √
33.
Rozwiązanie:
log
1 93 √
33 = log
19
3
43= log
1 9(
3
−2)−2
3
= log
1 9(1
9
)−2
3
= −
23Odpowiedź: −
23.
2. Obliczyć 8
log43. Rozwiązanie:
8
log43= (4 · 2)
log43= 4
log43· 2
log43= 3 · 2
log3 41= 3 · 2
2 log3 21= 3 · 2
12log23= 3 · 2
log2√3= 3 √ 3 Odpowiedź: 3 √
3.
3. Obliczyć log
35 · log
2581.
Rozwiązanie:
log
35 · log
2581 = log
35 ·
loglog381325
= log
35 ·
loglog334352
= log
35 ·
4 log2 log3335
=
42= 2 Odpowiedź: 2.
4. Rozwiązać równanie log
2(x + 1) + log
2(x + 3) = 3.
Rozwiązanie:
Założenia: x + 1 > 0, czyli x > −1 oraz x + 3 > 0, czyli x > −3. Zatem D = (−1, +∞).
Korzystamy ze wzoru log
a(x · y) = log
ax + log
ay log
2((x + 1)(x + 3)) = 3
Z definicji logarytmu
(x + 1)(x + 3) = 2
3x
2+ 4x − 5 = 0
∆ = 36, x
1= −5 /∈ D, x
2= 1 Odpowiedź: x = 1.
5. Rozwiązać równanie log
4(x + 3) − log
4(x − 1) = 2 − log
48.
Rozwiązanie:
Założenia: x + 3 > 0, czyli x > −3 oraz x − 1 > 0, czyli x > 1. Zatem D = (1, +∞).
Korzystamy ze wzoru log
a(
xy) = log
ax − log
ay oraz x = log
aa
xlog
4 x+3x−1= log
44
2− log
48
log
4 x+3x−1= log
4 168log
4 x+3x−1= log
42
x+3 x−1
= 2
x + 3 = 2(x − 1) x = 5
Odpowiedź: x = 5.
6. Rozwiązać równanie log
2x = 6 + log x.
Rozwiązanie:
Założenia: x > 0. Zatem D = (0, +∞).
Wprowadźmy podstawienie log x = t. Wówczas nasze równanie jest postaci t
2= 6 + t, stąd otrzy- mujemy do rozwiązania równanie kwadratowe t
2− t − 6 = 0.
Ponieważ ∆ = 25, więc t
1= −2, t
2= 3.
Wracając do podstawienia otrzymujemy
log x = −2, stąd x = 10
−2lub log x = 3, stąd x = 10
3. Odpowiedź: x ∈ {
1001, 1000 }.
7. Rozwiązać równanie log
3(x
2+ 4x + 12) = 2.
Rozwiązanie:
Założenia: x
2+ 4x + 12 > 0, ∆ = −32 < 0, D = R.
Z definicji logarytmu x
2+ 4x + 12 = 3
2x
2+ 4x + 3 = 0
∆ = 4, x
1= −3, x
2= −1 Odpowiedź: x ∈ {−3, −1}.
8. Rozwiązać równanie
log(5x2 log x−4)= 1.
Rozwiązanie:
Założenia: x > 0, 5x − 4 > 0, czyli x >
45oraz log(5x − 4) ̸= 0, czyli log(5x − 4) ̸= log 1, 5x − 4 ̸= 1, x ̸= 1. Zatem D = (
45, + ∞) \ {1}
Mnożymy obie strony równania przez log(5x − 4) 2 log x = log(5x − 4)
log x
2= log(5x − 4)
x
2= 5x − 4
x
2− 5x + 4 = 0
∆ = 9, x
1= 1 / ∈ D, x
2= 4 Odpowiedź: x = 4.
9. Rozwiązać nierówność log
2(x + 2) > 3.
Rozwiązanie:
Założenia: x + 2 > 0, czyli x > −2, zatem D = (−2, +∞).
Korzystamy ze wzoru log
ab
m= m log
ab log
2(x + 2) > log
22
3x + 2 > 8, czyli x > 6
Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy, że x ∈ (6, +∞).
Odpowiedź: x ∈ (6, +∞).
10. Rozwiązać nierówność log
12
(x − 1) < 2.
Rozwiązanie:
Założenia: x − 1 > 0, czyli x > 1, zatem D = (1, +∞).
Korzystamy ze wzoru log
ab
m= m log
ab log
12
(x − 1) < log
12
(1 2
)2
x − 1 >
14x >
54Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy x ∈
(54, + ∞
). Odpowiedź: x ∈
(54, + ∞
).
11. Rozwiązać nierówność log
3(2x − 7) 6 2 − log
3(8 − x).
Rozwiązanie:
Najpierw wyznaczamy dziedzinę:
2x − 7 > 0, czyli x >
72oraz 8 − x > 0 , czyli x < 8. Zatem D = (
72, 8).
log
3(2x − 7) + log
3(8 − x) 6 2
Korzystamy ze wzoru log
a(x · y) = log
ax + log
ay oraz log
aa
k= k log
3((2x − 7)(8 − x)) 6 2
log
3((2x − 7)(8 − x)) 6 log
33
216x − 2x
2− 56 + 7x 6 9
−2x
2+ 23x − 65 6 0 2x
2− 23x + 65 > 0
∆ = 9, x
1= 5, x
2=
1325 1 32 x
x ∈ (−∞, 5] ∪ [
132, + ∞)
Po uwzględnieniu dziedziny x ∈
(72, 5
]
∪
[132, 8
). Odpowiedź: x ∈
(72, 5
]
∪
[132, 8
).
12. Rozwiązać nierówność log
2x−3x > 1.
Rozwiązanie:
Najpierw wyznaczamy dziedzinę:
Założenia: x > 0 oraz 2x − 3 > 0, czyli x >
32oraz 2x − 3 ̸= 1, czyli x ̸= 2. Zatem D = (
32, 2) ∪ (2, +∞).
Rozważamy dwie sytuacje: gdy podstawa logarytmu jest większa od 1 lub gdy jest z przedziału (0, 1).
a) 2x − 3 > 1, czyli x > 2 – wtedy funkcja logarytmiczna jest rosnąca, zatem log
2x−3x > log
2x−3(2x − 3)
x > 2x − 3, czyli x < 3
Po uwzględnieniu założeń x ∈ (2, 3).
b) 0 < 2x − 3 < 1, czyli 3 < 2x < 4, więc
32< x < 2 – wtedy funkcja logarytmiczna jest malejąca, zatem
log
2x−3x > log
2x−3(2x − 3) x < 2x − 3, czyli x > 3
Po uwzględnieniu założeń x ∈ ∅.
Odpowiedź: x ∈ (2, 3).
9.6. Zadania
Obliczyć:
1. log
224 − log
23.
2. log 2 + log 50.
3. log
35 · log
2527.
4. log
4 √22.
5. log
√3( √
33)
12. 6. ln
√31e2
. 7. log
9( √
3 ).
8. log
2 (√2−2 1−√
2
)
.
9. √
25
1−log53. 10. 2
log35− 5
log32. 11.
√
10
2+12log 16.
12. Obliczyć log
35, jeżeli log
62 = a, log
65 = b.
13. Obliczyć log
253 + log
9√
5, jeżeli log
53 = a.
14. Wiadomo, że log
9√
x =
14. Obliczyć log
3x.
Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
15. f (x) = log(x
2+ 3x − 4).
16. f (x) =
√log
x(3 − x).
17. f (x) = log(2x
2− 7x + 3).
18. f (x) = log
3(1 −
2x). 19. f (x) =
√log
212
(x − 3) − 1.
20. f (x) =
log13x
−
2−log103(x+1)
.
21. f (x) =
4xln(32+3x−|x|)−1. 22. f (x) = log(x
2− 4) + √
6 − 2x.
23. f (x) =
√
log(9−x2) 3x−1.
24. f (x) = log
x2−3(x
3+ 4x
2− x − 4).
25. f (x) = log
3(3
1x− 3
x). 26. f (x) = log
(log
12
(x
2− 1)
).
Wyznaczyć dziedzinę i miejsca zerowe funkcji:
27. f (x) = log
(x2−3x2−3x
)
. 28. f (x) = log
(2x−1 4−x
)
.
29. f (x) = ln(x − 2) + ln(4 − x).
30. f (x) = −1 + log
2(x
2− x).
31. f (x) = log
2(1 − log
12
(x
2− 5x + 6)).
32. f (x) =
√
ln
( x x2−1
)
. 33. f (x) =
√log
x(3 − x).
34. f (x) = ln √
x
2+ x − 2 − x.
Naszkicować wykresy funkcji:
35. f (x) = log
12
(x − 1) − 1.
36. f (x) = 1 − log
3(x −
12).
37. f (x) = | ln |x| − 1|.
38. f (x) = | log
2x |.
39. f (x) = − log
2(x − 2) + 3.
40. f (x) = log( −x) + 2.
41. f (x) = | ln |x||.
42. f (x) = ln( |x| + 1).
43. f (x) = ln |x| − 1.
44. f (x) = ln |x − 1|.
Rozwiązać równanie:
45. 2 log
2x = 3.
46. log
√2x = 2.
47. log
12
(x
2− 1) = 0.
48. log
2x + log
2(x + 1) = 1.
49. log
2(2x − 1) = 3 log
82.
50. log(x
2− 4) = log(3x).
51. log
8x =
12.
52. log(x + 11) − log(x − 5) = 1 − log 2.
53. |3 − log
2x | = 1.
54. log
3(x − 1) = 2 log
3(3 − x).
55. 9
log3(x−3)= 4.
56. log
3(log
5(2x + 1)
)= 0.
57. log x + 4 √
log x = 5.
58. ln
3x + 3 ln
2x − ln x = 3.
59. | log
2(3x − 1) − log
23| = | log
2(5 − 3x) − 1|.
60. log
12
(
log
8 x2x−2x−3 )= 0.
Rozwiązać nierówność:
61. log
12
(3x + 1) > 0.
62. log
12
x − log
12
(x + 2) > 2.
63. log
6x > log
6(2x − 3).
64. log
12
(3 + 2
x) > −2.
65. log
2(
1x+ 4) 6 2.
66. log
23
x 6 log
23
(6 − x).
67. log
4 x4−x−1>
12. 68. log
13
(x − 2) < 2 log
13
(x − 4).
69. log
3(x
2− 2x) 6 1.
70. log
2(9 − 2
x) > 3 − x.
71. log
2x+3x
2< 1.
72. log
3x(3 − x) < 1.
73. |3 − log
2x | < 1.
74. 4
log x+ x
log 46 32.
75. log
x (2x−1x−1
)
