zanie og´ olne r´ ownania:

Zadania domowe z Analizy II. Seria 3. 29.04.2016 1. Wyznaczy´ c rozwia

_ι

zanie og´ olne r´ ownania:

(a) ^dy _dx = ^1+y _x

²

, (b) ^dy _dx = ^2y−x−5 _y−2x−4 , (c) 6xy ^{5 dy} _dx = x ³ + 4y ⁶ ,

(d) _dx ^dy = y + ^e _x

^x

, (e) ^d _dx

²

^y

2

− ( ^dy _dx ) ² = y ^{2 dy} _dx , (f) x ² (log x − 1) ^d _dx

²

^y

2

− x _dx ^dy + y = 0 wsk. Znale´ z´ c najpierw rozwia

_ι

zanie w postaci wielomianu. (h) ^d _dx

³

^y

₃

+ ^d _dx

²

^y

₂

+ ^dy _dx + y = cos x , (j) x ^d _dx

²

^y

₂

− ^dy _dx − 4x ³ y = 0 wsk. jednym z rozwia

_ι

za´ n jest e ^x

²

(k) x ^{2 d} _dx

²

^y

2

− x ^dy _dx + y = 0 wsk. jednym z rozwia

_ι

za´ n jest x (l) (t + 1 + e ^t )x ⁰⁰ + tx ⁰ − x = 0 wsk. jednym z rozw. jest t (m) y ⁰⁰ − (y ⁰ ) ² = y ² y ⁰ (n) (x ² − 2xy − y ² )y ⁰ + y ² = 0 (o) ^dy _dx (x + y) ² = a ² (p) (x ³ + y)dx − xdy = 0 (q) (y ² + 3x)dy − ydx = 0 (r) ^d _dx

²

^y

₂

− ( ^dy _dx ) ² = y ^{2 dy} _dx ; (s) _dx ^dy = _2x+y ^2y

₂

; (t)

d

²

y

dx

²

+ 4y = 2 tan x ; (u) ^dy _dx + y ² − 2y sin x + sin ² x − cos x = 0 , wsk. jednym z rozwia

_ι

za´ n jest sin x (w) x ^{2 dy} _dx = x ² y ² + xy + 1 wsk. jednym z rozwia

_ι

za´ n jest − _x ¹

2. Rozwia

_ι

za´ c zagadnienie pocza

_ι

tkowe:

(a) (x + 2) ^{5 d} _dx

²

^y

2

= 1 , y(−1) = ₁₂ ¹ , _dx ^dy (−1) = − ¹ ₄ , (b) 2 ^d _dx

²

^y

₂

= _x ^{1 dy} _dx + x ^{2 1}

_dy

dx

, y(1) =

√ 2

5 , ^dy _dx (1) =

√ 2

2 , (c) ^d _dx

²

^y

₂

= e ^2y , y(0) = 0 , ^dy _dx (0) = 1 ,

(d) ^d _dx

³

^y

3

+ 4 ^d _dx

²

^y

2

+ 3 ^dy _dx = x , y(0) = ^dy _dx (0) = ^d _dx

²

^y

2

(0) = 0 (e) ^dy _dx = (x + y) ² − 2 , y(1) = −1 , y(0) = 0 (f)

dy

dx x + y = xy ² , y(0) = 1 (g) ^dy _dx − y = xy ² , y(0) = 0 (h)







dx

dt = −2x + y + 2z x(0) = 1

dy

dt = −3x + 3z y(0) = 0

dz

dt = −2x + y + 2z z(0) = 2 3. Rozwia

_ι

za´ c uk lady r´ owna´ n:

(a)

 dx

dt = 2x + y + 2e ^t

dy

dt = x + 2y + t ² (b)







dx

dt = y + z x(0) = 0

dy

dt = x + z y(0) = 1

dz

dt = x + y z(0) = 0 (c)

 dx

dt = 2x + 2y + 1 − t

dy

dt = −2x − 2y + 1 + t

(d)







dx

dt = −x + y − 2z x(0) = 1

dy

dt = 4x + y y(0) = −1

dz

dt = 2x + y − z z(0) = −1 (e)

( _d

2

x

dt

²

+ 3 = 3x + 4y

d

²

y

dt

²

= −x − y + 5 (f)







dx

dt = 2z x(0) = 2

dy

dt = x − 5z y(0) = −1

dz

dt = y + 4z z(0) = 0 4. Znale´ z´ c rozwia

_ι

zania og´ olne r´ ownania:

(a) y ⁰⁰ + 2y ⁰ + 5y = − ¹⁷ ₂ cos 2x ; (b) y ⁰⁰ − 3y ⁰ + 2y = 2e ^x cos ^x ₂ ; (c) y ⁰⁰ − 4y ⁰ + 4y = 2(x + sin 2x) ; (d) y ⁰⁰ + y = sin x − 2e ^−x . (e) y ⁰⁰ − 6y ⁰ + 9y = 25e ^x sin x; (f) y ⁰⁰ + 4y ⁰ + 8y = e ^2x (sin 2x + cos 2x). (g) y ⁰⁰⁰ + y ⁰⁰ − y ⁰ − y = t ² − 1 + te ^2t + te ^−t + 4 sin t (h) y ⁰⁰ − 2y ⁰ + y = xe ^x .

5. Rozwia

_ι

za´ c zagadnienie pocza

_ι

tkowe: ^d _dx

³

^y

3

+ 4 ^d _dx

²

^y

2

+ 3 ^dy _dx = x , y(0) = ^dy _dx (0) = _dx ^d

²

^y

2

(0) = 0 6. Wyznaczy´ c rozwia

_ι

zanie og´ olne r´ ownania:

(a) x ^d _dx

²

^y

₂

− _dx ^dy − 4x ³ y = 0 wsk. jednym z rozwia

_ι

za´ n jest e ^x

²

; (b) x ^{2 d} _dx

²

^y

₂

− x ^dy _dx + y = 0 wsk. jednym z rozwia

_ι

za´ n jest x

7. U lo˙zy´ c r´ ownanie, kt´ orego baza

_ι

rozwia

_ι

za´ n jest:

(a) sin x , e ^x ; (b) sin x , sin(2x) ; (c) x , x ² , x ³ ;

1