Zadania domowe z Analizy I.2 – seria 8. (na piątek 18.05.2018)

Zadania domowe z Analizy I.2 – seria 8. (na piątek 18.05.2018)

Zadanie 1. Oblicz granicę

x→0lim

1 − cos ln(1 + x) − x√

1 + x

(1 + x²)¹¹ x(sin x − arctg x)

Zadanie 2. Rozwiń funkcję f (x) = arctg^1−x_1+x²2 w szereg potęgowy wokół 0 (czyli znaleźć jej szereg Taylora w 0, nazywany również szeregiem Maclaurina). Znajdź zbiór wszystkich x ∈ R, dla których ten szereg jest zbieżny.

Zadanie 3. Niech funkcja f : R → R będzie zdefiniowana wzorem

∞

X

n=0

1 2ⁿ+ 2^x.

Wykaż, że f jest ciągła. Czy istnieje pochodna f⁰(0)?

Zadanie 4. Znajdź przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

nxⁿ n + 1

i wykaż, że funkcja f (x) będąca sumą tego szeregu spełnia tożsamość xf (x) = _1−x^x + ln(1 − x) w każdym punkcie przedziału zbieżności.

Zadanie 5. Oblicz sumę szeregu

∞

X

n=0

3ⁿ(n + 1) n! .

1