Zadania domowe z Analizy I.2 – seria 6. (na piątek 27.04.2018)

Zadania domowe z Analizy I.2 – seria 6. (na piątek 27.04.2018)

Zadanie 1. Dla dowolnej funkcji f : [a, b] → R definiujemy fn(x) = ^{bnf (x)c}_n dla x ∈ [a, b], n ∈ N. Wykaż, że ciąg {f_n} jest jednostajnie zbieżny do f na przedziale [a, b].

Zadanie 2. Zbadaj punktową i jednostajną zbieżność na R ciągu f_n(x) = n ln

 1 +x²

n

 .

.

Zadanie 3. Znajdź zbiór wszystkich punktów w R, w których następujący szereg jest zbieżny:

∞

X

n=1

xⁿ⁻¹

(1 − xⁿ)(1 − xⁿ⁺¹), x 6= ±1.

Zadanie 4. Zbadaj jednostajną zbieżność szeregu

∞

X

n=1

ln(1 + nx)

nxⁿ na [2, ∞).

Zadanie 5.

(a) Wykaż, że jeśli ciąg funkcji {fn} jednostajnie ciągłych na R jest jednostajnie zbieżny do funkcji f, to f jest jednostajnie ciągła na R.

(b) Podaj przykład świadczący o tym, że bez założenia jednostajnej ciągłości funkcji {fn} granica f nie musi być jednostajnie ciągła (z założenia jednostajnej zbieżności nie rezygnujemy).

1