Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 23. – rozwiązania zadań domowych
21 maja 2019
Grupa 8:00
Wśród punktów należących do przecięcia płaszczyzny x + y + z = 12 i paraboloidy z = x2+ y2znajdź najbliższy i najdalszy od środka układu współrzędnych.
Badamy f (x, y, z) = x2+ y2+ z2dla F (x, y, z) = (x + y + z − 12, x2+ y2− z) = (0, 0). Zatem f0= (2x, 2y, 2z), F10 = (1, 1, 1) oraz F20 = (2x, 2y, −1). Zatem
2x = λ1+ 2λ2x 2y = λ1+ 2λ2y 2z = λ1− λ2
x + y + z = 12 z = x2+ y2
Jeśli λ2= 1, to λ1= 0, wtedy z = −1/2, co niemożliwe, bo z ostatniego równania wiemy, że z 0. Zatem
x = λ1 2 − 2λ2
= y
W takim razie z = 12 − 2x oraz 12 − 2x = 2x2, czyli x2+ x − 6 = 0 i x = y = 2 lub x = y = −3. Wtedy odpowiednio z = 8 lub z = 18, zatem te punkty to (2, 2, 8) i (−3, −3, 18). Wartości funkcji f to odpowiednio 72 i 342, więc (2, 2, 8) to punkt najbliższy, a (−3, −3, 18) – najdalszy.
Grupa 9:45
Wśród punktów należących do przecięcia płaszczyzny x + y + z = 12 i paraboloidy x = y2+ z2znajdź najbliższy i najdalszy od środka układu współrzędnych.
Badamy f (x, y, z) = x2+y2+z2dla F (x, y, z) = (x+y+z −12, −x+y2+z2) = (0, 0). Zatem f0= (2x, 2y, 2z), F10 = (1, 1, 1) oraz F20 = (−1, 2y, 2z). Zatem
2x = λ1− λ2
2y = λ1+ 2λ2y 2z = λ1+ 2λ2z x + y + z = 12 x = y2+ z2
Jeśli λ2= 1, to λ1= 0, wtedy x = −1/2, co niemożliwe, bo z ostatniego równania wiemy, że x 0. Zatem
y = λ1 2 − 2λ2 = z
W takim razie x = 12 − 2y oraz 12 − 2y = 2y2, czyli y2+ y − 6 = 0 i y = z = 2 lub y = z = −3. Wtedy odpowiednio x = 8 lub x = 18, zatem te punkty to (8, 2, 2) i (18, −3, −3). Wartości funkcji f to odpowiednio 72 i 342, więc (8, 2, 2) to punkt najbliższy, a (18, −3, −3) – najdalszy.
1
