Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 16. – rozwiązania zadań domowych
16 kwietnia 2019
Grupa 8:00
Znajdź maksymalną objętość równoległościanu, którego suma długości trzech krawędzi (długość, szerokość i głębokość) nie przekracza 108 cm.
Jest jasne, że ze wszystkich równoległościanów (objętość to pole podstawy razy wysokość) o takich samych bokach najlepszy jest prostopadłościan (wtedy wysokość jest równa długości boku, a inaczej jest mniejsza). W mamy z = 108 − x − y, więc V (x, y) = xy(108 − x − y), zatem pochodne cząstkowe to
(108 − x − y)y − xy oraz
(108 − x − y)x − xy,
a ponieważ x = 0 lub y = 0 jest poza dziedziną, pytamy kiedy x = 108 − x − y, więc x = (108 − y)/2, czyli 108 − (108 − y)/2 = 2y, więc 54 = 3y/2, y = 36 = x = z, a zatem maksymalna objętość to 363= 46656 cm3.
Grupa 9:45
Znajdź maksymalną objętość równoległościanu, którego suma długości trzech krawędzi (długość, szerokość i głębokość) nie przekracza 54 cm.
Jest jasne, że ze wszystkich równoległościanów (objętość to pole podstawy razy wysokość) o takich samych bokach najlepszy jest prostopadłościan (wtedy wysokość jest równa długości boku, a inaczej jest mniejsza). W mamy z = 54 − x − y, więc V (x, y) = xy(54 − x − y), zatem pochodne cząstkowe to
(54 − x − y)y − xy oraz
(54 − x − y)x − xy,
a ponieważ x = 0 lub y = 0 jest poza dziedziną, pytamy kiedy x = 54 − x − y, więc x = (54 − y)/2, czyli 54 − (54 − y)/2 = 2y, więc 27 = 3y/2, y = 18 = x = z, a zatem maksymalna objętość to 183= 5832 cm3.
1
