Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 15. – rozwiązania
11 kwietnia 2019
1. Znajdź maksymalną wartość funkcji:
a) z(x, y) = 1 +43x3+ 4y3− x4− y4,
Pochodne cząstkowe to: 4x2− 4x3 oraz 12y2− 4y3. Są równe zero dla x = 0 oraz x = 1 oraz y = 0 lub y = 3. I to są cztery punkty, w których można sprawdzić wartość: z(0, 0) = 1, z = (0, 3) = 28, z(1, 0) = 4/3 i z(1, 3) = 2813. Ponieważ funkcja dąży do −∞, gdy k(x, y)k → ∞ i jest ciągła, to wartością maksymalną jest 2813.
b) z(x, y) = (1 + x2) exp(−x2− y2).
Pochodne cząstkowe to 2xe−x2−y2− 2x(1 + x2)e−x2−y2 = −2x3e−x2−y2 oraz −2y(1 + x2)e−x2−y2, i są zerowe tylko dla x = y = 0. Wtedy z(0, 0) = 1. Zauważamy też, że funkcja dąży do 0, gdy k(x, y)k → ∞ i jest ciągła, to wartością maksymalną jest 1.
2. Znajdź wymiary x, y, z prostopadłościennego pudełka o objętości V = 1000 i minimalnym polu powierzch- ni. Czy ma sens pytanie o maksymalne możliwe pole powierzchni?
z = 1000/xy, pole powierzchni to S(x, y) = 2xy + 2yz + 2xz = 2xy + 2000/x + 2000/y i pochodne cząstkowe to 2y − 2000/x2 oraz 2x − 2000/y2, które są równe zero, gdy y = 1000/x2 oraz x = 1000/y2, czyli x = 1000 · x4/1000000 , czyli dla x = x4/1000, czyli dla x = 10 (x = 0 jest poza dziedziną) oraz y = 10. Czyli minimalne pole powierzchni dostaniemy dla x = y = z = 10. Tak, nie ma maksymalnego pola – funkcja rośnie nieograniczenie.
3. Znajdź wymiary x, y, z prostopadłościennego pudełka o maksymalnej pojemności i polu powierzchni wy- noszącym 600cm2.
2xy + 2yz + 2xz = 600, więc z(x + y) = 300 − 2xy, czyli z = 300−xyx+y . Zatem
V (x, y) = 300xy − x2y2 x + y . Pochodne cząstkowe to
−2y2(x2+ 2xy − 300) (x + y)2 oraz
−2x2(y2+ 2xy − 300) (x + y)2 ,
zatem x2+ 2xy = 300 oraz y2+ 2xy = 300, zatem x2− y2= 0, a skoro x, y > 0 to x = y, zatem 3x2= 300, czyli x = y = z = 10 i to daje maksymalną pojemność 1000, bo gdy k(x, y)k → 0 lub → ∞, to V → 0.
4. Prostopadłościenne pudełko bez pokrywy ma pojemność 4 litrów. Jaką wymiary x, y, z należy wybrać, aby zminimalizować powierzchnię ścian bocznych?
z = 4000/xy, więc pole powierzchni to S(x, y) = xy + 2xz + 2yz = xy + 8000/x + 8000/y. Pochodne cząstkowe: y − 8000/x2 i x − 8000/y2 są zero dla y = 8000/x2, i x = x4/8000, w takim razie x3 = 8000, zatem x = 20. Także y = 20 więc z = 10.
5. Prostopadłościenne pudełko ma objętość 48 litrów. Koszt materiałów to 1P LN za m2 ściany bocznej, 2P LN za m2pokrywy oraz 3P LN za m2dna. Oblicz minimalny koszt takiego pudełka.
1
Zatem xyz = 48 w dm. z = 48/xy, zatem koszt w 0, 01P LN
K(x, y) = 2xz + 2yz + 2xy + 3xy = 96/y + 96/x + 5xy.
Pochodne cząstkowe to −96/x2+ 5y oraz −96/y2+ 5x, są równe zero dla y = 96/5x2, 5x = 96 · 25x4/962, zatem (x = 0 poza dziedziną) dla x3 = 96/5, czyli x = p96/5 oraz y =3 p963 3/53· 52/962 = p96/5 i3 wtedy
K(p3
96/5,p3
96/5) = 33
√
962· 5 =√3
46080/100P LN.
2
