Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 23. – rozwiązania
21 maja 2019
1. Pokaż, że wśród prostokątów z wierzchołkami na okręgu o promieniu 1, kwadrat ma największe pole.
Bierzemy punkt (x, y) jako wierzchołek prostokąta, który musi leżeć na okręgu więc F (x, y) = x2+y2−1 = 0 oraz maksymalizujemy pole, które wynosi f (x, y) = 2x · 2y = 4xy. Zatem f0(x, y) = (2y, 2x) oraz F0(x, y) = (2x, 2y), czyli 2y = λ2x oraz 2x = λ2y. Zatem x = λ2 = y, zatem x = y = ±√
2/2. Ale taki punkt jako wierzchołek daje właśnie kwadrat.
2. Jaki prostokąt ma największe pole wśród takich które da się wpisać w obszar pomiędzy bokiem kwadratu i okręgiem z poprzedniego zadania?
Wyznaczmy (x, y) jako punkt na okręgu, więc znów F (x, y) = x2+ y2− 1 = 0 (ale interesują nas tylko punkty √
2/2 ¬ x ¬ 1) i tym razem pole to f (x, y) = (x −√
2/2)2y = 2xy − y√
2. Zatem f0(x, y) = (2y, 2x −√
2) oraz F0(x, y) = (2x, 2y), czyli 2y = λ2x, ale 2x −√
2 = λ2y, czyli x −√
2/2 = λ2x, zatem x =
√ 2/2
1−λ2, jeśli λ 6= ±1 (inaczej mamy sprzeczność). I wtedy y = λ
√ 2/2
1−λ2 , zatem 1/2 + λ2/2 = 1 − λ2, czyli 3λ2= 1, zatem λ = ±1/√
3, czyli
x =
√6 2(√
3 − 1) y =
√6 2(3 −√
3) to wierzchołek wyznaczający opisywany prostokąt.
3. Wśród punktów które należą do przecięcia płaszczyzny x + 2y + 3z = 3 oraz stożka z2 = x2+ y2 znajdź najbliższy i najdalszy do środka układu współrzędnych.
F (x, y, z) = (x + 2y + 3z − 3, z2− x2− y2) = (0, 0) oraz f (x, y, z) = x2+ y2+ z2. Zatem f0= (2x, 2y, 2z) oraz F10 = (1, 2, 3), F20 = (−2x, −2y, 2z), zatem
2x = λ1− 2λ2x 2y = 2λ1− 2λ2y 2z = 3λ1+ 2λ2z x + 2y + 3z = 3 z2= x2+ y2
Z pierwszych dwóch równań wynika, że y = 2x. Zatem z2 = 5x2 oraz 3x + 3z = 3, zatem x = 1 − z, czyli 0 = 4z2− 10z + 5, czyli z = (5 ±√
5)/4, x = (−1 ∓√
5)/4 oraz y = (−1 ∓√
5)/2. Czyli punkt (−1 −√
5)/4, (−1 −√
5)/2, (5 +√
5)/4)) jest najdalszy, a (−1 +√
5)/4, (−1 +√
5)/2, (5 −√
5)/4)) – najbliższy.
4. Znajdź minimalną i maksymalną wartość funkcji f (x, y) na zbiorze S ⊆ R2, gdzie:
a) f (x, y) = x2y2, S = {(x, y) ∈ R2: x2+ 4y2= 4},
f0 = (2xy2, 2x2y), F0 = (2x, 8y), zatem 2xy2 = 2λx, 2x2y = 8λy, co jeśli x 6= 0 daje y2 = λ oraz x2 = 4λ, czyli 5λ = 4, a zatem λ = 4/5. Wartość funkcji w tych punktach wynosi 64/25 – i jest maksymalna wartość. Jeśli x = 0, to mamy wartość 0 – minimalną.
b) f (x, y) = x2+ y2, S = {(x, y) ∈ R2: 2x + 2y = 6}.
Skoro S to płaszczyzna, zatem f nie ma maksymalnej wartości. f0 = (2x, 2y) F0 = (2, 2), zatem x = y = 3√
2/2 i ta wartość to 9.
1
5. Znajdź minimumalną i maksymalną f (x, y, z) na zbiorze S ⊆ R3, gdzie:
a) f (x, y, z) = 3x + 2y + z, S = {(x, y, z) ∈ R3: x2+ y2+ z2= 1},
f0(x, y, z) = (3, 2, 1), F (x, y, z) = (2x, 2y, 2z), czyli 3 = 2λx, 2 = 2λy i 1 = 2λz, czyli x = 3/2λ, y = 1/λ, z = 1/2λ, zatem 4λ142 = 1, zatem λ = ±p7/2 i skoro f(x, y, z) = λ7, to minimalna wartość to
−√
14, a maksymalna to √ 14.
b) f (x, y, z) = x2+ y2+ z2, S = {(x, y, z) ∈ R3: 3x + 2y + z = 6},
Znów, jasne jest, że maksymalna wartość nie istnieje. Dla znalezienia minimalnej mamy f0= (2x, 2y, 2z) F0 = (3, 2, 1), zatem x = 3λ/2 y = λ, z = λ/2 oraz 14λ = 6, czyli λ = 3/7. Czyli minimalna wartość to 63/98.
c) f (x, y, z) = xyz, S = {(x, y, z) ∈ R3: x2+ y2+ z2¬ 1, x + y + z = 1},
Ignorując pierwszy warunek póki co widzimy, że f0 = (yz, xz, xy) oraz F0(x, y, z) = (1, 1, 1). Zatem yz = xz = xy, x + y + z = 1. Zatem mamy punkty (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) i (1/3, 1/3, 1/3). Wszystkie spełniają nierówność i wartości w nich to 0 i 1/27. Jeśli dorzucimy F2 = x2+ y2+ z2− 1 = 0, to F20 = (2x, 2y, 2z), zatem yz = λ1+ 2λ2x, xz = λ1+ 2λ2y, xy = λ1+ 2λ2z, to poza już znalezionymi rozwiązaniami (λ2= 0) dostajemy (−1/3, 2/3, 2/3), (2/3, 2/3, −1/3), (2/3, 2/3, −1/3). Wartość na tych punktach wynosi −2/27. Zatem minimalna wartość to −2/27, a maksymalna to 1/27.
6. Stosując tw. Kuhna-Tuckera znajdź maksymalną wartość funkcji f (x, y) = x + ay na zbiorze M = {(x, y) ∈ R2: x2+ y2¬ 1, x + y 0}.
Czyli minimalizujemy −x−ay oraz x2+y2−1 ¬ 0, −x−y ¬ 0. Zatem L = −x−ay+λ1(x2+y2−1)−2(x+y) oraz −1 + 2λ1x − λ2= 0 i −a + 2λ1y − λ2= 0 oraz λ1(x2+ y2− 1) = 0 i λ2(x + y) = 0. Mamy następujące rozwiązania (pamiętamy, że λ1, λ2 0):
(i) dla a ¬ −1, (1/√
2, −1/√
2), (−1/√
a2+ 1, −a/√
a2+ 1) z wartościami (−1 − a)/√
2 oraz 1 – mak- simum oryginalnej funkcji (1 + a)/√
2, (ii) dla a −1, (−1/√
2, 1/√
2), (1/√
a2+ 1, a/√
a2+ 1) z wartościami (1 + a)/√
2 oraz −1 – maksimum oryginalnej funkcji 1,
2
