Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 25. – rozwiązania
28 maja 2019
1. Czy istnieje funkcja klasy C2, f : R2→ R, taka że
∂f
∂x = x sin y,
∂f
∂y = y cos x?
Mielibyśmy
∂2f
∂x∂y = x cos y,
∂2f
∂y∂x = −y sin x a powinno być równe. Więc taka funkcja nie istnieje.
2. Niech f (x, y) = x + y2. Znajdź maksimum funkcji f na zbiorze
A = {(x, y) ∈ R2: 3x2+ 2y2+ 8x ¬ 1}.
Widać, że funkcja f nie ma punktów krytycznych, bo ∂f ∂x = 1 6= 0. Sprawdzamy zatem maksima na brzegu, czyli dla F (x, y) = 3x2+ 2y2+ 8x − 1 = 0. f0 = (1, 2y) oraz F0(x, y) = (6x + 8, 4y), zatem 1 = λ(6x + 8) i 2y = λ4y. Jeśli y 6= 0, to λ = 1/2, zatem 1 = 3x + 4, x = −1, 3 + 2y2− 8 = 1, czyli y2= 3, y = ±√
3. Gdy y = 0, to 3x2+ 8x − 1 = 0. ∆ = 64 + 12 = 76. Czyli x = (3 ±√
19)/3. Zatem mamy cztery kandydatury: (−1, ±√
3) oraz (3 ±√
19)/3, 0). Wartości to odpowiednio 2, 2, 3 +√
19)/3 oraz 3 −√ 19)/3, z czego wartość 3 +√
19)/3 jest największa.
3. Niech K = {(x, y) ∈ R2: 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 2} oraz f (x, y) = x2+ y − xy2. Znajdź maksimum i minimum f na K.
Szukamy punktów krytycznych f0 = (2x − y2, 1 − 2xy), zatem w punktach krytycznych x = y2/2, czyli y3 = 1, zatem y = 1 oraz x = 1/2. W tym punkcie f (x, y) = 3/4 − 1/2 = 1/4. Szukamy ekstremów na bokach i w wierzchołkach:
• dla x = 0 mamy f (y) = y, co nie ma punktów krytycznych,
• dla x = 1 mamy f (y) = −y2+ y + 1, f0= −2y + 1, ma punkt krytyczny dla y = 1/2 i wartość tam 5/4,
• dla y = 0 mamy f (x) = x2 ma punkt krytyczny dla x = 0 i wartość tam 0,
• dla y = 2 mamy f (x) = x2− 4x + 2, f0= 2x − 4, ma punkt krytyczny poza przedziałem (0, 1),
• w punkcie (0, 0) wartość 0,
• w punkcie (0, 2) wartość 2,
• w punkcie (1, 0) wartość 1,
• w punkcie (1, 2) wartość −1.
Zatem minimum to −1 w punkcie (1, 2), a maksimum to 2 w punkcie (0, 2).
1
4. Znajdź i sklasyfikuj punkty krytyczne funkcji f : R2→ R zadanej wzorem f (x, y) = x3+ y3+ 3xy + 3.
f0 = (3x2+ 3y, 3y2+ 3x), zatem dostajemy punkty krytyczne (−1, −1) oraz (0, 0). Macierz drugiej po- chodnej to
6x 3 3 6y
, co w punkcie (−1, −1) daje
−6 3
3 −6
,
czyli macierz ujemnie określoną (wyznaczniki minorów to −6 oraz 27) – mamy tu maksimum lokalne, zaś w punkcie (0, 0) daje
0 3 3 0
,
czyli też macierz niokreśloną – nie ma tu też ekstremum lokalnego.
5. Niech f (r, θ) = (r2cos(2θ), r2sin(2θ)), gdzie (r, θ) ∈ (0, 1) × (0, 2π). Naszkicuj obraz funkcji f .
Punkt f (r, θ) jest w odległości r2 od (0, 0) i pod kątem 2θ od osi x, zatem obraz to koło o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 1, bez brzegu i bez środka.
6. Niech f będzie funkcją zdefiniowaną w poprzednim zadaniu. Rozstrzygnij, czy a) f jest lokalnie dyfeomorfizmem na zbiorze (0, 1) × (0, 2π)?
f0=
2r cos(2θ) −2r2sin(2θ) 2r sin(2θ) 2r2cos(2θ)
, co daje wyznacznik
2r3(cos2(2θ) + sin2(2θ)) = 3r36= 0
dla r ∈ (0, 1), zatem z Twierdzenia o funkcji odwrotnej lokalnie istnieje funkcja odwrotna klasy C1, czyli lokalnie to jest dyfeomorfizm.
b) f jest dyfeomorfizmem na zbiorze (0, 1) × (0, 2π)?
Nie, bo nie jest różnowartościowa, f (1/2, π/2) = (−1/4, 0) = f (1/2, 3π/2).
7. Niech z(x, y) będzie funkcją wyznaczoną przez równanie sin(xz) = yz taką, że z(1, 0) = 0. Oblicz
∂z
∂x(1, 0),
oraz ∂z
∂y(1, 0).
Czyli F (x, y, z) = sin(xz) − yz, F0(x, y, z) = [z cos xz, −z, x cos xz − y]. W punkcie (1, 0, 0) daje [0, 0, 1], i 1 6= 0, więc ta funkcja jest wyznaczona i
z0= (Fz0)−1· Fxy0 =1
1 · [0, 0] = [0, 0], zatem
∂z
∂x(1, 0) = 0 = ∂z
∂y(1, 0).
8. Znajdź równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni
S = {(x, y, z) ∈ R3: sin(xz) = yz}
w punkcie (1, 0, 0).
F0(x, y, z) = [z cos xz, −z, x cos xz −y], co punkcie (1, 0, 0) daje [0, 0, 1], zatem równanie przestrzeni linowej stycznej to z = 0, a w tym punkcie to również z = 0.
2
9. Czy zbiór
M = {(x, y, z) ∈ R3: x2+ y2+ z2= 1, z = x2+ y2} ⊆ R3
jest rozmaitością?
F (x, y, z) = (x2+ y2+ z2− 1, x2+ y2− 1), zatem
F0(x, y, z) =
2x 2y 2z 2x 2y 1
,
te wiersze są liniowo niezależne o ile 2z 6= 1, czyli dla z 6= 1/2. Dla z = 1/2 mamy x2+ y2 = 3/4 oraz x2+ y2= 1/2 – co jest sprzeczne, więc z = 1/2 nie zachodzi na rozpatrywanym zbiorze. Zatem w każdym punkcie zbioru wiersze F0 są liniowo niezależne – to jest rozmaitość.
10. Rozstrzygnij, czy forma kwadratowa zadana macierzą
1 −1 0
1 1 0
0 0 1
jest dodatnio określona, ujemnie określona, dodatnio półokreślona, ujemnie półokreślona, lub nieokreślona?
Wyznaczniki kolejnych minorów to 1 > 0, 2 > 0 oraz 2 > 0, zatem z kryterium Sylvestera ta forma jest dodatnio określona (a zatem też dodatnio półokreślona).
3
