ZAKRES MATERIAŁU: Rozdziały 1–3 TEST 1 - zadania

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

TESTy POPRAWKOWE - zagadniania semestr zimowy 2019/2020

UWAGA: niektóre dowody, które obowiązywały na pierwszym terminie, teraz nie wchodzą w zakres materiału.

TEST 1

ZAKRES MATERIAŁU: Rozdziały 1–3 TEST 1 - zadania

• Części A i B z zestawów 01–09DRAP;

TEST 1 - teoria

Rozdział 2:

• definicja przestrzeni probabilistycznej;

• definicja σ–ciała zdarzeń;

• własności σ–ciała ;

• rozdział 2.1. przykład 5 (umieć znaleźć najmniejsze σ–ciało zawierające daną rodzinę)

• definicja σ–ciała zbiorów borelowskich;

• aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa;

• własności prawdopodobieństwa (W1–W7) z dowodami;

• rozdział 2.2, przykłady 3 i 4 z rozwiązaniami (przestrzenie z równo prawdopodobnymi zdarzeniami elementarnymi);

• zasada włączeń i wyłączeń dla n zdarzeń z dowodem dla 3 zdarzeń;

• nierówność Boole’a ;

• twierdzenia o ciągłości ;

• definicja przestrzeni probabilistycznej;

• definicja dyskretnej przestrzeni probabilistycznej;

• definicja przestrzeni probabilistycznej z prawdopodobieństwem geometrycznym;

• różnica między zdarzeniem niemożliwym (∅) a nieprawdopodobnym (takim, że P(A) = 0) – przykład 7 i zadania z ćwiczeń (w tym zadanie A6 z 06DRAP);

• Przestrzeń probabilistyczna odpowiadająca nieskończonemu rzutowi monetą: należy umieć podać sposób na znalezienie wyniku eksperymatu (ciągu orłów i reszek), który odpowiada punktowi w [0, 1) i wytłumaczyć, które wyniki są ignorowane.

Rozdział 3

• definicja prawdopodobieństwa warunkowego;

• wzór łańcuchowy z dowodem;

• wzór na prawdopodobieństwo całkowite z dowodem;

• wzór Bayesa z dowodem;

• definicja niezależności dwóch zdarzeń;

• rozdział 3.2 przykład 2 z rozwiązaniem (kiedy zdarzenia wzajemnie wykluczające się są niezależne)

• definicja niezależności 3 zdarzeń;

• definicja niezależności dla dowolnej liczby zdarzeń;

• twierdzenie o niezależności dopełnień zdarzeń niezależnych ;

• twierdzenie o tym jak ∪, ∩... wpływa na niezależność zdarzeń ;

• definicja przestrzeni produktowej;

• definicja schematu Bernoulliego;

• wzór na prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach w schemacie Bernoulliego z ideą dowodu;

• Lemat Borela–Cantelliego .

TEST 2

ZAKRES MATERIAŁU: Rozdziały 4.0–5.2

Zanim zaczniesz przygotowania, spójrz, co zawiera oficjalna ściąga.

TEST 2 - zadania

• Części A i B z zestawów 10DRAP–20DRAP (bez 12DRAP);

TEST 2 - teoria

Rozdział 4:

• definicja zmiennej losowej;

• definicja dystrybuanty zmiennej losowej;

• własności dystrybuanty zmiennej losowej ;

• inne przydatne własności dystrybuanty ;

• definicja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej;

• co to znaczy, że zmienna losowa jest skupiona na zbiorze A;

• definicja zmiennej losowej dyskretnej;

• definicja atomu rozkładu zmiennej losowej;

• jak podać rozkład zmiennej losowej dyskretnej;

• własności rozkładu zmiennej losowej dyskretnej;

• własności dystrybuanty zmiennej losowej dyskretnej;

• definicja zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym;

• własności gęstości rozkładu ciągłego;

• własności dystrybuanty zmiennej losowej ciągłej;

• czy każda zmienna losowa o ciągłej dystrybuancie jest zmienną losową ciągłą? (Należy umieć podać przykład z.l. o ciągłej dystrybuancie, która nie jest z.l. ciągłą. Umieć naszkicować jej dystrybuantę i podać własności dystrubuanty;

określić moc i wygląd zbioru, na którym jest skupiona ta z.l.; wiedzieć, czy ma atomy – bez dowodów – patrz ćwiczenia 12DRAP)

• czy dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej jednoznacznie wyznacza gęstość?

• przykład zmiennej losowej, która nie jest ani ciągła ani dyskretna;

• zapis dystrybuanty jako kombinacji wypukłej dystrybuanty z.l. ciągłej i dyskretnej (patrz ćwiczenia 12DRAP)

• słynne rozkłady dyskretne: przykłady eksperymentów, które związane są z tymi rozkładami;

• zastosowanie twierdzenia o gęstości zmiennej losowej będącej funkcją ϕ(X) zmiennej losowej ciągłej X o gęstości f (bez sformułowania, tylko dowód);

• definicja wartości oczekiwanej zmiennej losowej dyskretnej/ciągłej;

• twierdzenie o własnościach wartości oczekiwanej;

• addytywność wartości oczekiwanej: wzór + zastosowanie do wyznaczenia wartości oczekiwanej zmiennych losowych o rozkładach: dwumianowym, ujemnym dwumianowym, hipergeometrycznym (z rozdziału 4.5).

• twierdzenie o wartości oczekiwanej funkcji zmiennej losowej (ciągłej/dyskretnej);

• twierdzenia o wartości oczekiwanej zmiennej losowej o wartościach nieujemnych dla zmiennych losowych cią- głych/dyskretnych

• ... wraz z zastosowaniem do wyznaczenia wartości oczekiwanej zmiennej losowej o rozkładzie: geometrycznym i wykładniczym (z rozdziału 4.5).

• definicja wariancji i odchylenia standardowego;

• prosty wzór na wyznaczenie wariancji (z dowodem);

• wzór na zależność między Var(aX + b) a VarX (z dowodem);

• definicja momentów zwykłych/absolutnych/centralnych;

Rozdziały 5.0, 5.1 i 5.2

• definicja wektora losowego;

• jak podać rozkład łączny dyskretnego/ciągłego wektora losowego (X, Y );

• własności rozkładu łącznego wektora losowego dyskretnego;

• własności gęstości rozkładu łącznego wektora losowego ciągłego;

• rozkład jednostajny na zbiorze w R²(rozdział 5.0 przykład 4 i 5);

• rozkłady brzegowe: definicja;

• jak wyznaczyć rozkład brzegowy zmiennej losowej dyskretnej;

• jak wyznaczyć rozkład brzegowy zmiennej losowej ciągłej;

• czy znając rozkłady brzegowe można wyznaczyć rozkład łączny? (rozdział 5.0 przykłady 7 i 8)

• definicja dystrybuanty rozkładu łącznego wektora losowego;

• własności dystrybuanty rozkładu łącznego wektora losowego;

• definicja niezależności zmiennych losowych;

• twierdzenie o dystrybuancie wektora niezależnych zmiennych losowych;

• twierdzenie o rozkładzie łącznym niezależnych zmiennych losowych dyskretnych;

• twierdzenie o gęstości łącznej niezależnych zmiennych losowych ciągłych z przykładem (rozdz. 5.1. prz. 2 i prz. 3);

• twierdzenie o funkcjach zmiennych losowych niezależnych;

• wzór na rozkład splotu zmiennych losowych dyskretnych;

• wzór na gęstość splotu zmiennych losowych ciągłych;

• wzór na wartość oczekiwaną funkcji wektora zmiennych losowych dyskretnych/ciągłych;

• twierdzenie o wartości oczekiwanej iloczynu niezależnych zmiennych losowych;

• definicja kowariancji;

• nierówność Schwarza

• wniosek z nierówności Schwarza o kowariancji (i współczynniku korelacji)

• definicja i własności współczynnika korelacji (Kiedy ρ(X, Y ) = ±1?);

• różnica między zmiennymi losowymi niezależnymi a nieskorelowanymi (rozdz. 5.2 prz. 7);

• własności kowariancji (z dowodami);

• twierdzenie o wariancji sumy zmiennych losowych (z dowodem dla dwóch zmiennych losowych) i...

• ... z zastosowaniem do wyznaczenia wariancji zmiennych losowych o rozkładzie hipergeometrycznym, dwumianowym i ujemnym dwumianowym;

TEST 3

ZAKRES MATERIAŁU: Rozdziały 5.3–8.0

Zanim zaczniesz przygotowania, spójrz, co zawiera oficjalna ściąga.

TEST 3 - zadania

• Części A i B z zestawów DRAP21–26;

TEST 3 - teoria

Rozdział 5.3:

• definicja rozkładu warunkowego dla zmiennych losowych dyskretnych;

• definicja gęstości rozkładu warunkowego dla zmiennych losowych ciągłych;

• definicja warunkowej wartości oczekiwanej z.l. X pod warunkiem Y = y dla zmiennych losowych dyskretnych i ciągłych;

• definicja warunkowej wartości oczekiwanej zmiennej losowej X względem zmiennej losowej Y dla zmiennych losowych dyskretnych i ciągłych;

• twierdzenie o wartości oczekiwanej warunkowej wartości oczekiwanej

• własności warunkowej wartości oczekiwanej;

Rozdział 6

W tym rozdziale uwaga na nazewnictwo – proszę korzystać z tego z wykładu, bo różne źródła podają różne nazwy.

• Nierówność Czebyszewa

• Nierówność Markowa z dowodem;

• Nierówność Czebyszewa–Bienaym´e z dowodem;

• Wykładnicza nierówność Czebyszewa z dowodem;

• Nierówność Bernsteina

• typy zbieżności ciągów zmiennych losowych – definicje (prawie na pewno, według prawdopodobieństwa, według p–tego momentu, według rozkładu);

• twierdzenia o zbieżności

• słabe prawo wielkich liczb Bernoulliego (z dowodem)

• słabe prawo wielkich liczb z dowodami;

• mocne prawo wielkich liczb Bernoulliego

• mocne prawa wielkich liczb

• centralne twierdzenie graniczne i twierdzenie de Moivre’a–Lalpace’a - sformułowanie;

Rozdział 7

• definicje funkcji tworzącej, funkcji tworzącej momenty i funkcji charakterystycznej rozkładu.

• twierdzenia o jednoznaczności dla funkcji tworzącej, funkcji tworzącej momenty i funkcji charakterystycznej rozkładu (z dowodem dla funkcji tworzących)

• Umieć opisać, jak wyznaczyć momenty zmiennej losowej znając: funkcję tworzącą, funkcję tworzącą momenty, funkcję charakterystyczną rozkładu. Umieć podać odpowiednie twierdzenia związane z tym zagadnieniem.

• Wzór na funkcję tworzącą/funkcję tworzącą momenty/funkcję charakterystyczną zmiennej losowej będącej sumą niezależnych zmiennych losowych. (z dowodem dla funkcji tworzących i funkcji tworzących momenty)

• Wzór na funkcję tworzącą momenty/funkcję charakterystyczną zmiennej losowej typu aX + b. (z dowodem dla funkcji tworzących momenty)

• Twierdzenie o funkcji tworzącej sumy X1+ . . . + XN, gdzie N, X1, X2, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi

• Co to jest proces gałązkowy?

• Twierdzenie o n-tym pokoleniu

• Twierdzenie o wymarciu

• Twierdzenie o ciągłości dla funkcji tworzących/funkcji tworzących momenty/funkcji charakterystycznych.

• Twierdzenie Poissona z dowodem wykorzystującym funkcje tworzące.

Rozdział 8

• definicje: łańcuch Markowa, rozkład początkowy, macierz przejścia (stochastyczna), jednorodny łańcuch Markowa;

• macierz przejścia w n krokach (jak wygląda; fakt o tym, jakie „informacje” zawiera);

• definicje: stan osiągalny ze stanu i, stany wzajemnie skomunikowane (podział na zbiory stanów wzajemnie skomuni- kowanych), stan nieistotny, stan pochłaniający

(umieć znajdować stany danego typu na „graficznie” przedstawionym łańcuchu Markowa);

• definicja łańcucha nieprzywiedlnego i okresowego, definicja okresu stanu (z praktycznym zastosowaniem - patrz zadanie z wykładu)

• definicja rozkładu stacjonarnego, jak będzie się „zachowywać” łańcuch Markowa po przyjęciu za rozkład początkowy rozkładu stacjonarnego;

• twierdzenie ergodyczne.