6. TRYGONOMETRIA
2. Temat : Sinus, cosinus, tangens oraz cotangens w trójkącie prostokątnym – rozwiązywanie zadań.
Zad. 6.6
2
4
Żeby obliczyć wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych kąta α, musimy mieć długości wszystkich boków trójkąta. Korzystamy z Tw. Pitagorasa:
42+22=x2 16+4=x2 x2=20 x=
√ 20
x=
√ 4 ∙ 5
x=2
√ 5
Korzystając z poznanych na lekcji poprzedniej zależności obliczamy:
sinα = 2
2 √ 5 sinα =
1
√ 5
1
√ 5 ∙
√ 5
√ 5 usuwamy niew ymierność z mianownika
√ 5
√ 25
√ 5
5
cosα= 4 2 √ 5
2
√ 5
2
√ 5 ∙
√ 5
√ 5 usuwamy niewymierność z mianownika 2 √ 5
5
tgα= 2 4
1 2 4
2
Teraz podstawiamy nasze obliczone wartości do przykładu w zadaniu:
a) 1+2∙sinα∙cosα=1+2∙
√ 5
5
∙2 √ 5
5
=1+2∙ 2 √ 25
25 =1+2 ∙ 10
25 =1+ 20 25 =1 20
25 =1 4 5
b) (tgα cosα+ctgα sinα∙ ∙ )2=
1 2 ∙ 2 √ 5
5
¿
+2
∙ √ 5
5
)2 ¿
( √ 5 5 + 2 √ 5
5 )2= ( 3 √ 5 5 )2= 9 √ 25 25 = 45 25 = 9
= 9 √ 25 25 = 45 25 = 9
5 =1 4 5
αx
Zad. 6.7 (tylko podpunkt a) 90o
√ 3
√ 7
αŻeby obliczyć wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych kąta α, musimy mieć długości wszystkich boków trójkąta. Korzystamy z Tw. Pitagorasa:
x
2+ √ 3
2= √ 7
2x
2+3=7 x
2=7−3 x
2=4 x= √ 4
x=2Korzystając z poznanych na lekcji poprzedniej zależności obliczamy:
sinα = 2
√ 7 sinα =
2
√ 7 ∙
√ 7
√ 7 sinα =
2 √ 7
√ 49
sinα = 2 √ 7
7
cosα= √ 3
√ 7
cosα= √ 3
√ 7 ∙
√ 7
√ 7
cosα= √ 21
7
tgα= 2
√ 3
tgα= 2
√ 3 ∙
√ 3
√ 3
tgα= 2 √ 3
3
ctgα= √ 3
2
zauważ: cotangens to odwrotnośćtangensa
Teraz podstawiamy nasze obliczone wartości do przykładu w zadaniu:
a)
4 sin
2α ∙cos
2α+tg
2α ∙ ctg
2α=4 ∙ ( 2 7 √ 7 )2∙ ( √ 7 21 )2+ ( 2 √ 3 3 )2∙ ( √ 2 3 )2= 4 ∙ 4 ∙7 49 ∙ 21 49 + 4 ∙3
+ ( 2 √ 3 3 )2∙ ( √ 2 3 )2= 4 ∙ 4 ∙7 49 ∙ 21 49 + 4 ∙3
= 4 ∙ 4 ∙7 49 ∙ 21 49 + 4 ∙3
9 ∙ 3 4 =¿
¿
4 1 ∙ 28
49 ∙ 21 49 + 12
9 ∙ 3
4 = 2352 2401 + 36
36 = 2352
2401 +1=1 2352 2401 =1 48
49
Zad. 6.15
a)a=4cm, tgα=
8 15
x
Rysujemy trójkąt prostokątny:
c a=4
b
Mamy daną wartość funkcji tangens. Wiemy, że tangens to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α do przyprostokątnej leżącej przy kącie α. Zatem korzystając z rys. Możemy zapisać:
tgα= 4
b
zamiast symbolu tgα podkładamy wartość tej funkcji czyli8 15 8
15 = 4
b
mnożymy na skos8b=15∙4 8b=60 /:8 b=7,5 cm
Teraz korzystamy z Tw. Piotagorasa:
42+7,52=c2 16+56,25=x2 72,25=x2 x=
√ 72,25
x=8,5 cm
Zad. 6.16
c) a=3, cosα=
8 17
Rysujemy trójkąt prostokątny:
c a=3
b
Wiemy, że cosinus kąta α to stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie α to przeciwprostokątnej. Możemy to zapisać (korzystając z danych z rys. ):
cosα=
b
c
podstawiamy pod cosα wartość daną w zadaniu czyli8 17
αα
8 17 = b
c
mnożymy na skos 8c=17b /:8c=
17 8 b
Korzystamy teraz z Tw. Pitagorasa:
32+b2=c2 podstawiamy za c wartość =
17 8 b
9+b2=(17
8 b
)2 9+b2=289
64 b
2 mnożymy obie strony równania przez 64 aby pozbyć się mianownika 576+64b2=289b264b2-289b2= -576 -225b2= -576 /:(-225) b2=2,56
b=
√ 2,56
b=1,6 cm
Zostaje nam tylko obliczyć bok c, który przecież wyliczaliśmy że jest równy c=
17 8 b
. Czyli c=17
8 ∙1 6 10 = 17
8 ∙ 16 10 = 17
1 ∙ 2 10 = 34
10 =3,4
cm6.23
Zróbmy rysunek:
Na rysunku dane są obie przyprostokątne, więc mogę zapisać stosunek:
14
23 =tgα
Podziel 14 przez 230,6087
≈
tgα Poszukaj w tabeli z lekcji poprzedniej w kolumnie tgα wyniku najbliższegoliczbie 0,6087.To liczba 0,6009. Tangens jakiego kąta tyle wynosi?
α≈31o
Praca domowa:
zad.6.22, 6.24, 6,16a, 6,15b
