1. Prosz¦ doko«czy¢ zadanie dotycz¡ce kwantowego oscylatora harmonicznego.

Zadania z mechaniki kwantowej dla III r. biozyki, 4 grudnia 2013

1. Prosz¦ doko«czy¢ zadanie dotycz¡ce kwantowego oscylatora harmonicznego.

Kwantowy oscylator harmoniczny. Hamiltonian kwantowego oscylatora harmoniczne- go otrzymujemy z wyra»enia klasycznego zast¦puj¡c wielko±ci klasyczne przez operatory i narzucaj¡c reguªy komutacji:

H = 1

2m P ² + 1

2 mω ² X ² = ~ω

 1

2m~ω P ² + mω 2~ X ²



, gdzie [X, P ] = i~.

(a) Deniujemy operator

ˆ

a = i

√

2m~ω P + r mω 2~ X.

Prosz¦ znale¹¢ operator ˆa ^? .

(b) Prosz¦ wyliczy¢ ˆa ^? ˆ a , a nast¦pnie wyrazi¢ H przez operatory ˆa i ˆa ^? . (c) Prosz¦ wyliczy¢ komutatory: [ˆa, ˆa ^? ] oraz [H, ˆa] i [H, ˆa ^? ] .

(d) Oznaczmy przez ψ E unormowany stan wªasny hamiltonianu do warto±ci wªasnej E:

Hψ _E = Eψ _E i (ψ _E , ψ _E ) = 1.

Prosz¦ pokaza¢, »e ˆaψ E i ˆa ^? ψ E s¡ (w ogólno±ci nieunormowanymi) stanami wªasnymi hamiltonianu do warto±ci wªasnych odpowiednio (E − ~ω) i (E + ~ω), tzn.

ˆ

a ^? ψ _E = α(E)ψ _E+~ω i ˆ aψ _E = β(E)ψ _E+~ω

gdzie α(E) i β(E) s¡ staªymi normalizacyjnymi. Wskazówka: Trzeba pokaza¢, »e H ˆ aψ _E = (E − ~ω)ˆaψ E i analogicznie dla ˆa ^? ψ _E . W tym celu wykorzysta¢ to»samo±¢

H ˆ a = [H, ˆ a] + ˆ aH .

(e) Prosz¦ pokaza¢, »e dla dowolnego stanu ψ

(ψ, Hψ) ≥ 0

i wywnioskowa¢ st¡d, »e istnieje stan podstawowy ψ E

taki, »e ˆaψ E

= 0 . Zadziaªa¢ na stan ψ E

hamiltonianem i pokaza¢, »e E 0 = ¹ ₂ ~ω. Jest to energia stanu podstawowego oscylatora harmonicznego (energia drga« zerowych)!

(f) Prosz¦ wykaza¢, »e dopuszczalne warto±ci energii oscylatora harmonicznego maj¡ posta¢

E = (n + 1

2 )~ω ≡ E n , a odpowiadaj¡ce im stany wªasne s¡ zdeniowane przez

ψ _E

= c _n (ˆ a ^? ) ⁿ ψ _E

, gdzie c n jest staª¡ normalizacyjn¡.

(g) Wprowadzamy skrócon¡ notacj¦: ψ E

≡ ψ n . W tej notacji ˆ

a ^? ψ _n = α _n ψ _n+1 i aψ ˆ _n+1 = β _n+1 ψ _n . Prosz¦ pokaza¢, »e mo»na przyj¡c α n = √

n + 1 i β n = √

n oraz, »e przy tej konwencji ψ _n = 1

√ n! (ˆ a ^? ) ⁿ ψ ₀ .

Wskazówka: Prosz¦ pokaza¢, »e β n+1 = α _n oraz |α n | ² = n + 1 .

(h) Prosz¦ rozwi¡za¢ równanie ˆaψ 0 = 0 w reprezentacji poªo»eniowej i w ten sposób znale¹¢

unormowan¡ funkcj¦ falow¡ stanu podstawowego oscylatora ψ 0 (x) . Dziaªaj¡c na ψ 0 (x) pot¦gami operatora ˆa ^? prosz¦ znale¹¢ unormowane funkcje falowe pozostaªych stanów ψ _n oscylatora.

Wskazówka: Skorzysta¢ z denicji wielomianów Hermite'a

H _n (x) = e

 x − d

dx

 n

e ⁻

(1)

oraz z ich warunku normalizacji Z +∞

−∞

e ^−x

H _n ² (x) dx = √

π2 ⁿ n! . (2)

Jak otrzyma¢ funkcje falowe w reprezentacji p¦dow ˜ ψ _n (p) ? 2. Prosz¦ wykaza¢ wzór

[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B 3. Prosz¦ wykaza¢ wzór (caªka gaussowska):

Z +∞

−∞

e ^−αx

dx = r π α 4. Jak wylicza¢ caªki postaci

Z +∞

−∞

x ^2k e ^−αx

dx,

gdzie k jest nieujemn¡ liczb¡ caªkowit¡? W szczególno±ci prosz¦ wyliczy¢ caªk¦

Z +∞

−∞

x ^2k e ^−αx

dx.

Wskazówka: Zró»niczkowa¢ po parametrze α.

A. Rostworowski