Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

Analiza Matematyczna Kolokwium 2 Zestaw A1

Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

Z 1

5 + 4 sin x dx.

Rozwi¸ azanie

Stosujemy podstawienia: sin x = _1+t ^2t

, dx = _1+t ²

dt, gdzie t = tan x/2.

Otrzymujemy

Z 2

1+t

5 + _(1+t ^8t

)

dt = 2 5

Z 1

(t + 4/5) ² + 9/25 dt = 2 3

Z 1

u ² + 1 du =

= 2

3 arctan( 5t + 4

3 ) + C = 2

3 arctan  5tanx/2 + 4 3

 + C

gdzie zastosowaliśmy podstawienie u = ^5t+4 ₃ . Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykres funkcji f (x) = x sin 4x i g(x) = 0 oraz proste x = 0 i x = π/8.

Rozwi¸ azanie Pole obszaru

|P (O)| = Z π/8

0

x sin 4xdx = − 1 4

Z π/8 0

x(cos 4x) ⁰ dx = − 1

4 π/8(cos π/2)+

+ 1

4 0 cos 0 + 1 4

Z π/8 0

1 cos 4xdx = 0 + 1

16 sin π/2 − 1

16 sin 0 = 1 16 .

1

Zadanie 3

Prosz¸e wyznaczyć asymptoty wykresu oraz ekstrema lokalne funkcji f (x) = x + 1

√ x ² + 1 , x ∈ R ¹ .

Rozwi¸ azanie

f (x) = x + 1

√ x ² + 1 = x(1 + 1/x)

|x|p1 + 1/x ² = −1 gdy x → −∞ lub 1 gdy x → +∞

Wykres funkcji f (x) posiada wi¸ec asymptot¸e poziom¸ a lewostronn¸ a y = −1 i asymptot¸e poziom¸ a prawostronn¸ a y = 1.

Obliczamy pochodn¸ a rz¸edu pierwszego funkcji f (x).

f ⁰ (x) =

√ x ² + 1 − (x + 1) ₂ ^{√ 2x} _x

₊₁

x ² + 1 = 1 − x

p(x ² + 1) ³ . f ⁰ (x) < 0, gdy x ∈ (1, ∞).

f ⁰ (x) > 0, gdy x ∈ (−∞, 1).

Funkcja f (x) rośnie na przedziale (−∞, 1) i maleje na (1, ∞). oraz posiada maksimum lokalne właściwe równe √

2 w punkcie (1, √ 2).

Zadanie 4

Prosz¸e rozłożyć jednomian J (x) = x ³ w szereg Taylora według pot¸eg (x − a) z reszt¸ a R ₂ i odpowiedzieć od czego zależy liczba c wyst¸epuj¸ aca w ostatnim składniku rozwini¸ecia.

Rozwi¸ azanie

Obliczamy kolejne pochodne do rz¸edu drugiego wł¸ acznie funkcji J (x) jej rozwini¸ecia w szereg Taylora w otoczeniu punktu x ₀ = a.

Mamy

J (x) = x ³ = J (a) + J ⁰ (a)

1! (x − a) + J ”(c)

2! (x − a) ² . St¸ ad

x ³ = a ³ + 3a ² (x − a) + 3c(x − a) ² .

2

(x − a)(x ² + ax + a ² ) = 3a ² (x − a) + 3c(x − a) ² . x ² + ax + a ² = 3a ² + 3c(x − a)

c = x ² + ax − 2a ²

3(x − a) = (x − a)(x + 2a)

3(x − a) = x + 2a 3

Liczba c wyst¸epuj¸ aca w reszcie wzoru Taylora zależy od x,a i od rz¸edu pochodnej n (dla różych n otrzymujemy różne postacie wzoru na c).

3