Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Funkcje zmiennych losowych — zadania do samodzielnego

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Funkcje zmiennych losowych — zadania do samodzielnego

rozwiązania

Zad. 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką x_i -2 0 2 p_i ¹₄ ¹₂ ¹₄

Wyznacz rozkłady zmiennych

(a) Y = X², (b) Y = sin(2πX).

Zad. 2.2 Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem¹₃. Wyznacz rozkłady zmien- nych

(a) Y = cos(πX), (b) Y = cos(^π₂X), (c) Y = cos²(^π₂X).

Zad. 2.3 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie geometrycznym G(p). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y = max(2 + (−1)^X, 2).

Zad. 2.4 Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ. Jaki rozkład ma zmienna losowa Y = 3X?

Zad. 2.5 Zmienna losowa X ma rozkład potęgowy o gęstości f (x) = αx^α−11I_(0,1](x), α > 0.

Znaleźć rozkład zmiennej losowej

Y =











−1, X < ¹₂, 0, X = ¹₂, 1, X > ¹₂.

Zad. 2.6 Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej będącej polem kwadratu, którego długość boku jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku (0, a).

Zad. 2.7 Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Znaleźć gęstość prawdo- podobieństwa zmiennej losowej Y = Xⁿ, gdzie n ∈ N.

Zad. 2.8 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U (−^π₂,^π₂). Pokazać, że zmien- na losowa Y = tg(X) ma rozkład Cauchy’ego C(0, 1).

Zad. 2.9 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U (0, π). Jaki rozkład ma zmienna losowa Y = cos X?

Zad. 2.10 Zmienna losowa X ma rozkład beta o gęstości f (x) =







12x(1 − x)², 0 < x < 1,

0, w p.p.

Wyznacz gęstość zmiennej losowej Y , jeśli: (a) Y = arcsin X, (b) Y = e^X.

Zad. 2.11 Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy E (1). Znaleźć rozkład zmiennej losowej (a) Y = min(X, 1), (b) Y = max(X, 1).

Zad. 2.12 Niech F_X będzie dystrybuantą zmiennej losowej X, a f_X jej gęstością. Wyznaczyć dystrybuanty i gęstości następujących zmiennych losowych:

1. aX + b, jeśli a 6= 0, 2. |X|,

3. √

X, jeśli P (X ­ 0) = 1,