dr Krzysztof ›yjewski Informatyka, rok I, I o − in». 12 stycznia 2016

dr Krzysztof ›yjewski Informatyka, rok I, I ^o − in». 12 stycznia 2016

Zadania przygotowuj¡ce do kolokwium nr 2

1. Oblicz caªki nieoznaczone:

a) R _x

^x ₊₇

dx, b) R _{x ln} ^dx

_x , c) R x ³ e ^x

dx, d) R cos ³ x √

sin xdx, e) R ^√ _e ^e

+3 dx, f) R √

x ln xdx, g) R x ² ln ² xdx, h) R (x ² + 3) cos 3xdx, i) R e ^x sin 2xdx, j) R _x(x+1) ^x

⁻³

dx, k) R _x

_−6x+13 ¹ dx, l) R _x

^2x−1 _−4x+4 dx,

m) R _{2+cos x} ^{sin x} dx, n) R _sin

_{x+4 cos} ^dx

x , o) R sin ² x cos ⁵ xdx, p) R cos 5x sin 2xdx, r) R √

x ² − 6x − 7dx, s) R ^√ _x

−6x+2 ¹ dx.

2. Oblicz podane caªki oznaczone z wykorzystaniem wzoru Newtona-Leibniza a)

e

R

1 ln x

x dx; b)

2

R

0 e

1+e

dx.

3. Korzystaj¡c z interpretacji caªki oznaczonej oblicz pole obszaru D ograniczonego:

a) y = x ² + 4x, y = x + 4 oraz osia Ox; b) y = x, y = ¹ ₄ x, y = ¹ _x . 4. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu gury N wokóª osi OX, gdzie N :

a) y = √

xe ^2x , y = 0, x = 1;

5. Oblicz dªugo±¢ ªuku krzywej: y = ² ₃ (x − 1)

dla 1 ≤ x ≤ 4.

6. Oblicz pole powierzchni powstaªej z obrotu funkcji f(x) = sin x dla 0 ≤ x ≤ π wokóª osi Ox.

7. Oblicz pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du podanych funkcji:

a) f (x, y) = ln px ² + y − x

px ² + y ² + x ; b) f (x, y, z) = (sin 3xy)

; c)f (x, y) = x ln y 5 + 2xy ln x . 8. Skorzystaj z ró»niczki funkcji i oblicz przybli»on¡ warto±¢ wyra»enia :

a) sin 0, 51 · cos 61 ^o zakªadaj¡c, »e π = 3, 142;

b) p1, 04 ² + 1, 98 ³ .

9. Oblicz pochodn¡ kierunkow¡ podanej funkcji w punkcie (x 0 , y ₀ ) i okre±lonym kierunku:

a) f(x, y) = 3x ⁴ + xy + y ³ , (x ₀ , y ₀ ) = (−2, 1) α = 120 ⁰ , gdzie α to k¡t mi¦dzy wektorem a dodatnim kierunkiem osi Ox;

b) f(x, y) = x ² e ^3y + y ln 2x, (x ₀ , y ₀ ) = (1, 0) w kierunku punktu (x 1 , y ₁ ) = (3, −1).

10. Znajd¹ wszystkie ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych (równie» ich warto±ci):

a) f (x, y) = e ^x−y (x ² − 2y ² ), b)f (x, y) = x ³ + 3xy ² − 6xy + 1.

11. ( mo»e??). Rozwi¡» rownania ró»niczkowe:

a) 6xdx − ydy = yx ² dy − 3xy ² dx; b) y ² = x ^dy _dx + y;

c) √

1 − x ² y ⁰ = −p1 − y ² ; d) xy ⁰ − y = 2x ³ ;

e) _dx ^dy − _x+1 ² y = (x + 1) ³ .