dr Krzysztof ›yjewski Informatyka, rok I, I o − in». 22 grudnia 2016

dr Krzysztof ›yjewski Informatyka, rok I, I ^o − in». 22 grudnia 2016

Zadania przygotowuj¡ce do kolokwium nr 2

1. Korzystaj¡c z reguªy de L'Hospitala oblicz poni»sze granice funkcji:

a) lim

x→0

arctg x

x

, b) lim

x→0

x ² ln x, c) lim

x→+∞

ln

x

x

, d) lim

x→0 sin

x x(e

−1) , e) lim

x→0 1

x − _e

¹ −1
, f) lim

x→0

x ^{sin x} g) lim

x→

(tg x) ^2x−π 2. Wyznacz ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczno±¢ funkcji

a) f(x) = _x ^4x

+1

b) f(x) = xe ^−3x , c) f(x) = x ln ² x.

3. Zbadaj wkl¦sªo±¢, wypukªo±¢ wykresu funkcji oraz wyznacz punkty przegi¦cia:

a) f(x) = _1−x ^x

, b) f(x) = ln(1 + x ² ), c) f(x) = x ² e ^−x .

4. Korzystaj¡c z denicji ró»niczki funkcji oblicz przybli»on¡ warto±¢ funkcji f(x) = √

31, 98.

5. Znale¹¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsza warto±¢ funkcji f(x) = x ² ln x na przedziale [1, e].

6. Wyznacz wszystkie mo»liwe asymptoty podanych funkcji (pozioma, pionowa, uko±na):

(a) f (x) = ^3x _x

⁺¹ (b) g(x) = ^x _x

^−3x −4

7. Wyznacz pochodn¡ funkcji f(x) = ln x ³ w punkcie x 0 = 3.

8. Wyznacz wspóªczynnik stycznej do wykresu funkcji f(x) = ¹ _x e

w punkcie x 0 = −1.

9. Oblicz caªki nieoznaczone:

a) R _x

^x ₊₇

dx, b) R _{x ln} ^dx

_x , c) R x ³ e ^x

dx, d) R cos ³ x √

sin xdx, e) R ^√ _e ^e

+3 dx, f) R √

x ln xdx, g) R x ² ln ² xdx, h) R (x ² + 3) cos 3xdx, i) R e ^x sin 2xdx, j) R _x(x+1) ^x

⁻³

dx, k) R _x

_−6x+13 ¹ dx, l) R _x

^2x−1 _−4x+4 dx,

m) R _x ^2x

−2x+3

⁺¹¹ dx.