dr Krzysztof ›yjewski Matematyka, rok I, I o − lic. 16 kwietnia 2018

dr Krzysztof ›yjewski Matematyka, rok I, I ^o − lic. 16 kwietnia 2018

Zadania przygotowuj¡ce do kolokwium nr 1 z Analizy matematycznej 2

Uwaga: Legalna ±ci¡ga b¦dzie zamieszczona, o ile otrzymam od Was poprawne rozwi¡zania na ni»ej przedstawione zadania. Deadline to 19 kwietnia.

1. Okre±l przedziaªy wypukªo±ci i punkty przegi¦cia funkcji:

a) f(x) = ln ² x − 2 ln x , b) f(x) = arcsin _1+x ^2x

²

, c) f(x) = ln 

e − ¹ _x  . 2. Znajd¹ wszystkie mo»liwe asymptoty podanych funkcji:

a) f(x) = xe

^2x

+ 1 b) f(x) = ^x _x

³2

^+x −9

²

. 3. U»ywaj¡c twierdzenia Lagrange'a wykaza¢, »e:

a) | arcsin x − arcsin y| ≥ |x − y| dla dowolnych x, y ∈ [−1, 1];

4. W oparciu o warunek staªo±ci funkcji udowodnij:

arcsin x = arctg x

√ 1 − x ² .

5. Korzystaj¡c z ró»niczki funkcji obliczy¢ przybli»one warto±ci podanych funkcji:

a) √

⁵

32.13, b) sin 33 ^◦ , c) ln ²⁰¹⁷ ₂₀₁₈ .

6. Oszacowa¢ maksymalny bª¡d przybli»enia cos x ≈ 1 − ^x ₂

²

+ ^x ₂₄

⁴

dla x 0 = ¹ ₃ . 7. Stosuj¡c wzory Maclaurina oblicz ln 1.12 z dokªadno±ci¡ 10 ⁻³ .

8. Oblicz caªki nieoznaczone:

a) R ^√ _x

2

+2x+2 ^x

²

dx; b) R ^x

(1−x

²

)

³²

arcsin x dx; c) R √

3

^x

⁵

(x

²

−1)

²

dx;

d) R ^√

⁵

^sin _cos

⁵3

^x x dx; e) R _{2 cos} ^3+sin

²

_x−cos

²

^x

⁴

_x dx; f) R _(2x−1) ^{dx √} _x

2

−1 dx;

g) R ^√ _{x ln x} ^{1+ln x} dx; h) R e ^5x cos 3x dx; i) R _x ^x

3²

+2x ^−3x+2

²

+x dx j) R ^2x

⁴

_x ^+6x

3

+3x

³

^+8x

²

+2x−6

²

^−3x+9 dx; k) R ^dx

x·

³

√

1+ √

³

x dx; l) R (2 − x) √

2x ² + 3x − 8 dx.

9. Oblicz podane caªki oznaczone a)

e

R

1 dx x

√

1−ln

²

x ; b)

3

R

0

sgn (x − x ³ )dx; b)

6

R

0

[x] sin ^πx ₆ dx, gdzie [x] to cz¦±¢ caªkowita liczby x.

10. Korzystaj¡c z denicji zbadaj zbie»no±¢ nast¦puj¡cych caªek niewªa±ciwych (je»eli to mo»- liwe wyznacz warto±¢):

a)

1

R

0 arctg x

x

²

dx; b)

1

R

0 x

²

√

x−x

²

dx; c)

0

R

−∞

(x + 1)e ^−x dx.

11. Korzystaj¡c z odpowiednich kryteriów zbadaj zbie»no±¢ caªek niewªa±ciwych:

a)

+∞

R

1

cos x

²

x

²

+3x+5 dx; b)

+∞

R

e cos x

ln x dx; c)

π

R

2

0 dx x sin x ; d)

+∞

R

2 cos x x √

x dx; e)

+∞

R

0

sin(e ^x )dx; (wskazówka podst. e ^x = t ) f )

1

R

0

dx

x(x+1) .

12. Oblicz pole obszaru ograniczonego przez:

a) krzyw¡ y = ^√

³

_x−1 ¹ osi¡ Ox na przedziale 0 ≤ x ≤ 9;

b) ªukami paraboli y ² = 2x i okr¦gu x ² + y ² − 4x = 0;

c) (cz¦±ci wspólnej) obszaru ograniczonego krzywymi w postaci biegunowej r ₁ (ω) = 2 − sin ω, r ₂ (ω) = 3 sin ω.

13. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu krzywej 25x ² + 4y ² = 100 wokóª osi Ox.

14. Oblicz dªugo±¢ ªuku krzywej: y = √

1 − x ² + arcsin x dla −1 ≤ x ≤ 1.

15. Oblicz pole powierzchni powstaªej z obrotu krzywej ^x ₄

²

+ ^y ₂₅

²

= 1 wokóª osi Ox.

16. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu jednego ªuku cykloidy :

( x(t) = t − sin t, y(t) = 1 − cos t wokóª osi Ox.

17. Korzystaj¡c z twierdze« o warto±ci ±redniej, wyka» nierówno±¢:

sin 1 <

1

Z

−1

cos x

1 + x ² dx < 2 sin 1.

18. Korzystaj¡c z denicji caªki oznaczonej wyznacz granic¦:

n→∞ lim

 1

√ 4n ² − 1 ² + 1

√ 4n ² − 2 ² + · · · + 1

√ 4n ² − n ²

 .

19. Oblicz granic¦:

lim

x→0

⁺

R sin x 0

√ tg tdt R tg x

0

√ sin tdt .