dr Krzysztof ›yjewski Matematyka, rok I, I o − lic. 23 kwietnia 2016

dr Krzysztof ›yjewski Matematyka, rok I, I ^o − lic. 23 kwietnia 2016

Zadania przygotowuj¡ce do kolokwium nr 1

1. Oblicz caªki nieoznaczone:

a) R ^√ _x

2

+2x+2 ^x

²

dx; b) R ^x

(1−x

²

)

³²

arcsin x dx; c) R √

3

^x

⁵

(x

²

−1)

²

dx;

d) R ^√

⁵

^sin _cos

⁵₃

^x _x dx; e) R _{2 cos} ^3+sin

2

x−cos

²

^x

⁴

x dx; d) R _(2x−1) ^{dx √} _x

2

−1 dx.

2. Oblicz podane caªki oznaczone a)

e

R

1 dx x

√

1−ln

²

x ; b)

3

R

0

sgn (x − x ³ )dx; b)

6

R

0

[x] sin ^πx ₆ dx, gdzie [x] to cz¦±¢ caªkowita liczby x.

3. Korzystaj¡c z denicji zbadaj zbie»no±¢ nast¦puj¡cych caªek niewªa±ciwych (je»eli to mo»- liwe wyznacz warto±¢):

a)

1

R

0 arctg x

x

²

dx; b)

1

R

0 x

²

√

x−x

²

dx; c)

0

R

−∞

(x + 1)e ^−x dx.

4. Korzystaj¡c z odpowiednich kryteriów zbadaj zbie»no±¢ caªek niewªa±ciwych:

a)

+∞

R

1

cos x

²

x

²

+3x+5 dx; b)

+∞

R

e cos x

ln x dx; c)

1

R

0

ln(sin x cos x) √

x dx.

5. Oblicz pole obszaru ograniczonego przez:

a) krzyw¡ y = ^√

³

_x−1 ¹ osi¡ Ox na przedziale 0 ≤ x ≤ 9;

b) ªukami paraboli y ² = 2x i okr¦gu x ² + y ² − 4x = 0;

c) (cz¦±ci wspólnej) obszaru ograniczonego krzywymi w postaci biegunowej r ₁ (ω) = 2 − sin ω, r ₂ (ω) = 3 sin ω.

6. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu krzywej 25x ² + 4y ² = 100 wokóª osi Ox.

7. Oblicz dªugo±¢ ªuku krzywej: y = √

1 − x ² + arcsin x dla −1 ≤ x ≤ 1.

8. Oblicz pole powierzchni powstaªej z obrotu krzywej ^x ₄

²

+ ^y ₂₅

²

= 1 wokóª osi Ox.

9. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej z obrotu jednego ªuku cykloidy :

( x(t) = t − sin t, y(t) = 1 − cos t wokóª osi Ox.

10. Korzystaj¡c z twierdze« o warto±ci ±redniej, wyka» nierówno±¢:

sin 1 <

1

Z

−1

cos x

1 + x ² dx < 2 sin 1.

11. Korzystaj¡c z denicji caªki oznaczonej wyznacz granic¦:

n→∞ lim

 1

√ 4n ² − 1 ² + 1

√ 4n ² − 2 ² + · · · + 1

√ 4n ² − n ²

 . 12. Oblicz granic¦:

lim

x→0

⁺

R sin x 0

√ tg tdt R tg x

0

√ sin tdt .