dr Krzysztof ›yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I 0 .in». 3 grudnia 2019

dr Krzysztof ›yjewski Budownictwo L¡dowe; S-I ⁰ .in». 3 grudnia 2019

Legalna ±ci¡ga kolokwium 2

Uwaga: Zabrania si¦ korzystania z innych materiaªów jak równie» dopisywania dodat- kowych informacji. Materiaª ten, je»eli kto± chce z niego skorzysta¢, nale»y wydrukowa¢

samodzielnie.

Ukªady równa« liniowych

• rz A = rz A ^U = n, jedno rozwi¡zanie(oznaczony);

• rz A = rz A ^U < n, niesko«czenie wiele rozwi¡za« (nieoznaczony) zale»nych od n − r, r = rz A;

• rz A 6= rz A ^U , sprzeczny.

Geometria analityczna

• | −→

AB| = p(x _B − x _A ) ² + (y _B − y _A ) ² + (z _B − z _A ) ² ;

• ˆ u = h

x

|~ u| , _|~ ^y _u|

, _|~ ^z _u|

i

; wersor wektora ~u

• ~ u ◦ ~ v = |~ u| · |~ v| · cos ϕ;

• ~ u ◦ ~ v = u _x · v _x + u _y · v _y + u _z · v _z ;

• ~ u = ^{~ a◦~b} _|b|

· ~b; wzór na rzut wektora ~a na wektor ~b

• ~ u × ~ v =      

~i ~j ~k u x u y u z

v _x v _y v _z      

;

• (~ u, ~ v, ~ w) =      

u _x u _y u _z v _x v _y v _z w _x w _y w _z      

• P = ¹ ₂ |~ u × ~ v|; pole trójk¡ta

• P = |~ u × ~ v|; pole równolegªoboku

• V = ¹ ₆ |(~ u, ~ v, ~ w)|; obj¦to±¢ czworo±cianu

• V = |(~ u, ~ v, ~ w)| obj¦to±¢ równolegªo±cianu

• l :



 

 

x = x ₀ + at y = y ₀ + bt z = z ₀ + ct,

; l : ^x−x _a

= ^y−y _b

= ^z−z _c

; A(x − x ₀ ) + B(y − y ₀ ) + C(z − z ₀ ) = 0;

• d(P ₀ , π) = ^{|Ax √}

^+By

^+Cz

^+D|

A

+B

+C

; wzór na odlegªo±¢ punktu P 0 od pªaszczyzny π

• d(π ₁ , π ₂ ) = ^{√ |D}

^−D

^|

A

+B

+C

; wzór na odlegªo±¢ miedzy pªaszczyznami równolegªymi

• d(P ₀ , k) = ^|

−−−→ P

P

×~ v|

|~ v| ; wzór na odlegªo±¢ punktu P 0 od prostej k.

• d(k, l) = ^{|(~ v,~ u,}

−−−→ P

P

)|

|~ v×~ u| ; wzór na odlegªo±¢ prostych sko±nych

1