LUCJAN / . A R Z K O K I
N A U C Z A N I E
MATEMATYKI POCZĄTKOWEJ
C Z Ę Ś Ć I I .
N A U K A O L I C Z B I E W Y M I E R N E J .
W Y D A N I E 3 - i e U Z U P E Ł N I O N E i P O W I Ę K S Z O N E
W Y D A W N I C T W O M . A R C T A W W A R S Z A W I E POZNAŃ, PLAC WOLNOŚCI 7. - LUBLIN, NAMIESTNIKOWSKA 23.
WILNO, KSIĘGARNIA STOWARZYSZENIA NAUCZYCIELSTWA POLSKIEGO.
1 9 1 9
A g e n d o d i s c i m m . . .
D R U K A R N IA M. ARCTA W WARSZAWIE, NOWY-ŚWIAT 41.
P R Z E D M O W A .
W niniejszej książeczce obok n ie k tó ry c h ro z d z ia łó w z n a j
dujących się w 2-iem w y d a n iu „Nauczania ra c h u n k u począt- wego” wchodzą pierw sze ro z d z ia ły a lg eb ry. D otyczą one g łó w nie n a u ki o lic z b ie w zględnej i rów nania pierw szego stopnia.
P roponow any ro z k ła d m a te rja łu odpow iada poniekąd p ie rw szym zarysom b udow y szko ły śred nie j ja k ie spopularyzow ane zostały przez odpow iednie w y da w nictw o M in , W . R. i O. P.
Książka obchodzić pow inna zarówno nau czycie li szkół elemen
ta rn y c h ja k średnich. Jeżeli spotka się z te in samem uzna
niem , co je j w ydanie poprzednie, w przyszłości może b yć ro z szerzona. Obecnie w ys ta rc z y następujące treściw e przedsta
w ienie m etod}', k tó rą a u to r uważa za słuszną, te m b ard zie j, że w te j d zie dzin ie niema w lite ra tu rz e naszej w iększych o p ra cowań.
SPI S R Z E C Z Y
Przedmowa Ul
RO ZDZIAŁ I. Nauka o u ł a m k a c h ...
RO ZDZIAŁ II. Nauka o stosunku i zależności proporcjonalnej . ROZDZIAŁ I I I . Pierwsze początki algebry...
ROZDZIAŁ IV . Liczby w z g lę d n e ... - t ROZDZIAŁ V. Ogólna nauka o równaniu i układach równan 1° stopnia. JH RO ZDZIAŁ V I. Uwagi o prowadzeniu le k c y j...' ! « RO ZDZIAŁ V II. 0 nauczaniu arytmetyki w seminarjach. Wskazówki ■
bibljograficzne
Nauka ułam ków stanowi now y i o dręb ny pod względem swego ch arakte ru d z ia ł a ry tm e ty k i początkow ej. Ułam ek jest nową form ą lic z b y , powstaje na tle procesu dalszego uog ól
nienia. Ścisła te o rja w prow adza ułam ek zapomocą d e fin ic ji, daje szereg p o trze b n ych i w ystarczających określeń, z k tó ry c h w y p ły w a cała dalsza nauka. Czy można w nauczaniu począt- kowem w ychodzió z d e fin ic ji a b s tra k c y jn e j chociażby w ro k u piątym ? Odpowiedź jasna: nie można. K to p o tra fi zrozum ieć i p rz e tra w ić d e fin ic ję ścisłą, ten ma ju ż głów ne niem al dane do tego, b y m ógł rozum ować d ed ukcyjnie . Dziecko tego jeszcze nie p o tra fi, dla niego p rz e d m io t n a u ki m usi być dany przez d e fin ic ję b liż e j związaną z ko nkrete m . C hw ila zastanowienia w ystarczy, aby sobie przyp om nie ć, ja k m y s ta rsi d z iw iliś m y się w p ie rw szych latach n a u k i u n iw e rs y te c k ie j, g d y nam po
dawano nowe fo rm y lic z b lu b też w prow adzano w nowe dzie
d z in y n au ki przez defin icję . Pom im o d o jrza ło ści um ysłow ej w ie lu lu d z i tak tru d n o się godzi z m yślą, żo działania, dajm y na to z lic z b a m i ujem nem i, dane są lu b w y p ły w a ją z d e fin ic ji, nie są niczem „o b je k ty w n e m ” , co można pokazać, „dowieść*.
Poglądowe przedstaw ienie rzeczy, in d u k c y jn e rozum owa
nie p rz y g o to w u je g ru n t do d e fin ic ji, tern bardzie j, że d e fin ic ji w ty m dziale u nikną ć nie można. W ym aga to trochę w yjaśnień.
Samo przedstaw ienie, w y ro b ie n ie pojęcia ułam ka może b yć zdobyte na drodze k o n k re tn e j. T ak możemy ro b ić ju ż znacz
nie wcześniej, np. o połówce i ćw iartce można m ów ić jeszcze w pierw szym ro k u , a później w m iarę p otrzeby rozszerzać ten zakres, nie przesadzając ani w prow adzając z b y t d ro bn ych cząstek, jeże li niem a dobranego unaocznienia. Np. można mó-
N auczanie m a te m a ty k i po czą tko w e j. Ct . I I . *
w ić, że ce n ty m e tr jest setną częścią m etra, to się da łatwo unaocznić.
Zaczynając system atyczną naukę, zbieram y i porządku
jem y wiadom ości zdobyte p oprzednio. Nie tru d n o również k o n k re tn ie przedstaw ić dodawanie i odejm owanie ułamków, p orów nyw anie i zmianę ich w ielkości, ja k k o lw ie k rzecz tu jest ju ż znacznie więcej skom plikow ana. Duże natom iast trudności nasuwa mnożenie i dzielenie. Z w yczajny sposób w yjaśniania, polegający na tem, że się tłu m a czy, dajm y na to, mnożenie
3 3
przez — w ten sposób, iż liczbę —- uważamy za 5 ra zy m niej-
o o
szą, n iż 3, a ponieważ mnożenie przez 3 jest nam znane i zm iany ilo c z y n u sk u tk ie m zm ian cz y n n ik ó w rów nież, więc przez to objaśnienie jest gotowe, — nie w y trz y m u je k r y t y k i naukowej.
W ten sposób się zakłada, że mnożenie ułam ków istn ie je i te same w łasności posiada, co mnożenie lic z b ca łko w itych . B y łb y to now y p ostulat, któ re g o p rz y ję c ie możnaby b y ło w yjaśnić ty lk o w zględam i n a tu ry pedagogicznej albo b ra kie m innego sposobu, lepszego. A le bliższe zastanowienie wykaże nam, że ja k k o l
w iek zachowane tu są p o zo ry jasności, uczeń nie w id z i i nie może w idzieć zgodności tego objaśnienia z tem pojęciem o m no
żeniu, k tó re podane b y ło w nauce lic z b ca łk o w ity c h . Wszak mnożenie, d ajm y na to przez 5, jest czemś innem , n iż przez
— , co w y n ik a z samego pojęcia o m nożeniu przez liczbę cał 2 5
ko w itą . Do tego pojęcia trzeba się odwołać, wysunąć analogje i potem w p ro s t n a z w a ć m nożeniem przez ułam ek operację, składającą się z 2 działań. D e fin ic ja tu jest potrzebna; u n ik a nie je j nie b y ło b y racjonalne ju ż ze względów pedagogicznych.
A le ta d e fin ic ja m usi b yć przygotow ana.
Zw rócę tu uwagę na dwa rodzaje d e fin ic ji: a n a lityczn y i s y n te tyczn y. Jeżeli n a jp ie rw na p rzykła d a ch pokazuję dany p rz e d m io t (może to b yć n ie k o n k re t, lecz operacja a ry tm e tyczna), porów nyw am z inn em i, wskazuję na różnice i podo
bieństwa, szukam n ic i wiążących ten p rz e d m io t z innem i jed- n orodnem i, a potem dop ie ro przyczepiam do tego p rze dm iotu nazwę, ch ara k te ry z u ję w k ró tk ie m , zwięzłem zdaniu jego cechy istotne: to mam przed sobą d e fin ic ję analityczną. W nauce często podaje się d e fin ic je odrazu, gotowe, przyczem wspo
fin ic ję u s p ra w ie d liw ia ją je j ustosunkowanie z innem i o gniw am i rozum owania oraz płynące z n ie j w n io ski. Taka d e fin ic ja jest syntetyczna. Otóż w nauczaniu zarówno średniem , a tem b a r
dziej niższem, podobne d e fin ic je nie mają ra c ji b y tu . O m ija
nie ty c h procesów m yślow ych, k tó re w y w o łu ją d e fin icję , b y ło b y szkodliwe, bo sama d e fin ic ja stałaby się słowem, d źw ię
kiem pustym . W szak m y nie ty lk o podajem y wiedzę k a ta lo gową, ale uczym y myśleć. Nie samych d e fin ic y j obawiać się trzeba, ale ich podawania nieodpow iedniego, co jest dość czę
stym grzechem. W pop rze dn im rozdziale o tem ju ż nadm ie
niałem.
W ten spo3Ób nauczanie ułam ków rozpada się na dwa wyraźne d zia ły: l- o pojęcie ułam ka, p raw o niezm iennika u ła m kowego, porów nanie 2-ch d e fin ic y j, p orów nyw anie w ielkości ułam ków , dodaw-anie i odejm owanie; 2-o mnożenie i dzielenie ułam ków .
Jeszcze jedno pytanie, k tó re się na wstępie nastręcza, d o ty c z y jakości środków poglądow ych. P o łó w ki, ć w ia rtk i i t. d.
różnych przedm iotów mogą b yć w yzyskiw ane w p ie rw szych latach n au ki, ale p rz y system atyczniejszem przechodzeniu są prawie zawsze niew ygodne, gdyż tru d n o się dają nagiąć do ilu s tra c ji ró żn ych pytań, k tó re się tu nasuwają. P otrzebny jest ta k i środek poglądow y, aby np. skracanie ułam ka, doda
wanie, porów n yw a nie w ielkości m ogło b yć ła tw ie j unaocznione.
Różno p rz y rz ą d y mechaniczne często są bardzo skom plikow ana i rzadko mogą służyć do większej lic z b y ułam ków , a p rzyte m nieraz byw ają dość kosztowne p rz y fik c y jn e j w arto ści. Środek poglądowy m usi b yć p ro s ty i, że ta k powiem, g ię tk i, aby uczeń m ógł się sam n im posługiwać, nawet na zawołanie. Takim środkiem jest odcinek prostej, narysow any na papierze k ra tk o wanym. Można mu zarzucić, że jest jednostronny, ale g dy z w ró cim y uwagę, iż np. pojęcie p o ło w y i t. d. w y o d rę b n iło się już, że połowa tu nie zależy od danego k o n kre tu , uczeń zda sobie z łatwością sprawę z tego, o co tu chodzi. P orządkując po przednie wiadom ości, nauczyciel p ow inien dawać szereg p rz y kładów k o n kre tn ych , gdzie wchodzą części całości, aby tak samo, jak na początku, p rz y p ierw szych liczbach, uczniowie
jasno zdaw ali sobie sprawę, że tu m ają do czyn ie n ia z czemś>
co n ie zależy od tego lu b inn eg o p rz e d m io tu .
Początek system atyczniejszy n a u k i o u ła m k u wymaga w y jaśnienia przedew szystkiem pewnego pojęcia, k tó re ma duże znaczenie w te j nauce. Jest niem pojęcie c a ł o ś c i . Każdy p rz e d m io t otoczenia jest całością, ale n ie każda całość je s t po- dzielna, ja k n p . pies, zw ierzę w ogóle, k ry s z ta ł, drzew o i t. p.
są całościam i nie po dzie lne m i. T rzeba na to zw ró c ić uwagę p rzed tem , n im się będzie m ó w iło o częściach całości. Te ca
łości muszą b yć całościam i podzielnem i.
Po o m ó w ie niu i zastosowaniu tego do znanych p rz y k ła d ó w uła m ka n au czycie l system atyzuje w iadom ości o u ła m ku , znane z p o p rz e d n ie j n a u k i, w prow adza znany sposób zapisyw ania, nazwy: lic z n ik i m ia n o w n ik oraz ro lę i znaczenie ty c h o s ta t
n ich . P rz y za pisyw an iu należy d la p o rz ą d k u używać k re s k i ty lk o poziom ej a n ie p o c h y łe j, g dyż u czniow ie później nieraz d z ię k i niew łaściw em u za pisyw an iu p op ełnia ją b łę d y rachunkow e.
D e fin ic ja początkow a u ła m k a b rz m i: u ła m k ie m nazywam y jedną lu b w ięcej ró w n y c h części całości.
O u ła m ka ch w ła ś c iw y c h i n ie w ła ściw ych narazie niema m ow y. Po d e fin ic ji w prow a dza m y n a tych m ia st poglądow e . prze dsta w ien ie u ła m ka zapomocą odcinka, dzieląc k tó r y k o l
w ie k dany na okre ślo n ą liczb ę części i następnie b io rą c ty c h części określoną liczbę , co jest ważnem p rzyg o to w a n ie m do następnej k w e s tji, m ającej zasadnicze znaczenie w nauce u ła m ków . Tą kw estją jest — p r a w o n i e z m i e n n i k a u ł a m k o w e g o , z w y k le w yrażane opisowo.
P ra w o n ie z m ie n n ik a d o ty c z y własności u ła m ka , d z ię k i k tó re j można lic z n ik jego i m ia n o w n ik przez jedną i tę samą liczb ę m nożyć i d z ie lić , a w ielkość ułam ka p rz y te m się nie zm ienia. Tę rzecz należy w y ja ś n ić na szeregu u ła m k ó w p rz y
2 4
pom ocy odcinka. Np. rów ność i -g- w ykazu jem y, dzieląc o d cinek na 3 części, a potem na 6 i p rze ko n yw a ją c się naocznie o rów no ści w obu p rz y p a d k a c h otrzym a ne go ułam ka. Po sze
regu ta k ic h p rz y k ła d ó w może w y s tą p ić rozum ow anie, polega
jące np. na o m ó w ie niu fa k tu zm niejszenia każdej części pewną liczb ę ra z y i zw iększenia ty le ż ra z y lic z b y ty c h części, t. j.
na o d w o ła n iu się do d e fin ic ji. Na te j rzeczy należy d łu że j się
ona ze skracaniem ułamka, k tó re zaraz po niej nastąpić winno.
Skracanie zaczynamy od prostszych przykładów , w k tó rych znajomość podzielności liczb i zw ykłe cechy p rz y k o le j- nem stosowaniu ich wystarczają. Trzeba narazie unikać ta kich przykładów , w k tó ry c h potrzebne jest badanie, czy lic z n ik i m ianownik mają w spólny d zie ln ik, czy też nie. Zwiększając coraz bardziej lic z b y stanowiące lic z n ik i m ianow nik ułamka, ale nie zmieniając sposobu skracania, możemy po dłuższej p ro cedurze takiego skracania zadać pytanie, czy nie można tego zrobić prościej. Nauczyciel wskazuje na k ilk u przykładach, jak można skrócić odrazu przez większą liczbę złożoną. Np.
— -— skraca się przez 12. P rzyte m dzieci w praw iają się w ta-84 144
kie prędkie skracanie. P rz y k ła d y większe nastręczają już tr u d ności i dlatego potrzebna jest specjalna metoda.
T u właśnie jest miejsce do nauki o najw iększym wspól
nym dzielniku.
Jeżeli o rzeczy tej m ów im y p rz y nauce o liczb ie całko
w itej, nie ma ona realnego zastosowania, jest czemś za bardzo dla um ysłu dziecinnego teoretycznem i z tego powodu nie na
daje się tam do nauczania. Natom iast p rzy realnej potrzebie skrócenia ułamka zagadnienie występuje celowo, zmusza tem samem do m yślenia i dlatego jest na miejscu. N ajpierw daje- my pojęcie o najw iększym w spólnym d z ie ln ik u m ałych liczb i znajdujem y go pamięciowo, stosując bezpośrednio do skra
cania jednorazowego ułamków. Pierw szy więc stopień polega na inw encji uczniów, in w e ncji, k tó ra wobec łatw ości p rz y k ła dów nie jest trud na , ale budzi m yśl i tem samem ma wartość dydaktyczną. Ta inwencja w m iarę wzrastania p rzykładów na
potyka coraz większe trudności: staje się oczywistą potrzeba pomocy ze s tro n y nauczyciela, k tó ry wprowadza teraz (to właśnie jest d ru g i stopień nauki o najw iększym d zielniku) spo
sób rozkładania na czyn n iki, t. j. stosowanie rzeczy poprzed
nio znanej, ale to rozkładanie odbywa się d l a 2 l i c z b j e d n o c z e ś n i e . Większej lic z b y liczb nie trzeba, przyn ajm niej narazie, stosować, gdyż nie ma to znaczenia praktycznego.
Np. dla liczb 432 i 720 rozkładam y tak:
— 6
432 720
216 360
108 180
54 90
27 45
9 15
3 5
Stąd najw iększy w spó lny d z ie ln ik ró w n y jest: 24 3!— 144.
O ddzielne rozkład a nie jest n ie p ra ktyczn e pod ty m względem, że dzieci często plączą sposób u kładania ze znalezionych czyn n ik ó w największego wspólnego d z ie ln ik a i najm niejszej w ie lo k ro tn e j, o k tó re j później będzie mowa.
Doszedłszy do tego ze skracaniem , narazie zatrzym u je m y się i nie w prow adzam y znajdyw ania najw iększego wspólnego d z ie ln ik a zapomocą kolejnego dzielenia, odkładając to na później.
Całą powyższą część n a u k i o ułam kach, t. j. do dodawa
nia i odejm owania włącznie, przechodzić należy dw ustopniow o^
N a jp ie rw p rze ra bia m y, nie śpiesząc się, om awiany przed chw ilą d z ia ł k u rs u z u ła m ka m i prostszem i, ta kie m i, p rz y k tó ry c h za
rów no rachunek pam ięciow y i inw encja, ja k proste sposoby w yna jdyw an ia największego wspólnego d z ie ln ik a i najm niejszej w ie lo k ro tn e j są stosowane, a d ru g i raz pow tarzam y to samo, ale z u ła m ka m i tru d n ie js z e m i i m etodam i zawilszem i. Każdy doświadczony nauczyciel, k tó ry w ten sposób naukę p ro w a d ził, m óg ł się przekonać, że daje ona lepsze re z u lta ty , n iż p rz y jednoczesnem pakow aniu w szystkiego. Jasne to je st rów nież a p r io r i, jeże li zważym y że: l- o rzeczy omawiane odg ryw a ją zasadniczą ro lę w nauce o ułam ku, 2-o opanowanie ich w ła ściwe wymaga przedew szystkiem większej w p ra w y w pamię- ciowem operow aniu z m niejszem i ułam kam i i 3-o nie należą one do k w e s ty j p ro stych , bo ta k ie np. kolejne dzielenie musi zabrać sporo czasu, aby b y ło należycie uświadomione. Jedno
razowe d łu g ie zatrzym anie się przeszkadzałoby wobec tego n aturalnem u ro z w o jo w i n a u k i o u ła m ku w zasadniczych jego rysach. Z d ru g ie j stro n y , celowość kolejnego dzielenia w y stąpi p rz y p rz y k ła d a c h tru d n ie js z y c h , gdzie nie w ystarczają poprzednie m etody, a ta kie p rz y k ła d y nie mogą być podawane
nadmienianej już właściwości naszego umysłu, dzięki k tó re j nowe rzeczy muszą się w nim niejako odleżeć, muszą być na
wiązane i utrw alone pewne zw iązki skojarzeniowe, któ re odby
wają się, ja k się zdaje, nieświadomie i wymagają czasu dla swego rozrastania się. Dwustopniowość nie zabierze więcej czasu, niż zw ykłe nauczanie w jednym toku, ale poważnie po
może pogłębieniu, w praw ie i rozum ieniu rzeczy.
Od skracania bezpośrednio przechodzim y do zwiększania lub zmniejszania ułamka pewną liczbę razy. T utaj znowu po
może nam odcinek i odnośne rozumowanie. Rzecz ta nie przed
stawia trudności.
Dotąd stosowaliśmy jedną d e fin icję ułamka, podaną w y żej. Wiadomo jednakże, że często nieświadomie nauczający używają d ru g ie j d e fin ic ji, nie wykazawszy, że jest identyczna z pierwszą. Ta druga d efin icja wyznacza ułamek, jako iloraz od podzielenia dwóch liczb. Rzecz jasna dla każdego, że jest ona czemś innem, niż poprzednia i że tem samem, w n io ski r o bione z niej nie w ypływ ają z poprzedniej, a jeże li nauczyciel w yraźnie jej nie podał i nie w ykazał identyczności z poprzed
nią, w nioski te wiszą w pow ietrzu. Bardzo to ważny błąd d y daktyczny.
W prowadzenie tej nowej d e fin ic ji opiera się na następu
jących rozważaniach. Przedewszystkiem zwracamy uwagę, iż podzielić np. przez 3 znaczy znaleźć trzecią część danej liczb y i naodwrót, żeby znaleźć trzecią część, trzeba podzielić liczbę przez 3. Gdy ta liczba, k tó rą dzielim y, d z ie li się przez 3 — nic nie budzi w ątpliw ości, ale w razie niedzielenia się, mamy trudność z w yrażeniem ilorazu. Żeby to w yrażenie znaleźć, np. w p rzykład zie, gdzie trzeba 2 podzielić przez 3, nauczy-
2
ciel poglądowo zapomocą odcinka wykazuje, że jednej ca- łości jest tem samem, co — dwóch całości. Dlatego w p ierw -1
O
szym p rzypadku w odpow iedni sposób d zie lim y pewien o dci
nek na 3 części równe, a w d ru g im inn y, dwa razy większy również d zie lim y na 3 części, ale takich części bierzem y 1, a nie 2. Okazuje się, że otrzym ane o d cin ki w obu przypad
kach są równe. Stąd wniosek, że ilo ra z od podzielenia 2 przez 3 można napisać tak, ja k ułamek — .2
Po przerobieniu jeszcze k ilk u podobnych przykładów możemy podać nową d efin ic ję i uważać ją za identyczną z po
przednią. W ten sposób osiągamy ostateczne uogólnienie dzie
lenia, gdyż wobec tego zawsze otrzym ać możemy iloraz. Na
leży tu podkreślić, że to uogólnienie o trzym a liśm y, że do tego nam pom ógł ułam ek i że liczbę całkow itą można rozpatrywać,
3 0
jako ułamek, np. 3 = — = — i t. d. Nie godzi się tych
1 U
rzeczy omijać, gdyż będą nam potrzebne później, a z drugiej s tro n y stanowią d o b ry pokarm um ysłow y.
Po w prow adzeniu nowej d e fin ic ji możemy przystąpić do wprowadzenia obok ułam ków w łaściw ych— także niewłaściwych i wyrażania ty c h ostatnich w 2 postaciach, przyczem wskazu
jem y na ro lę reszty p rz y dzieleniu w razie przedstawienia ułamka w postaci lic z b y mieszanej. Z określenia dzielenia, t. j. z fo rm u ły : D = d. i + r, w ynika natychm iast sposób za
m iany lic z b y mieszanej na ułam ek niew łaściwy.
Zaznajomienie się z tem i rzeczami pozw oli nam przejść do ostatniej przed dodawaniem i odejmowaniem kw estji, m ia
now icie porów nania w ielkości dwóch ułamków. To porówna
nie, ja k zw ykle, p ow inniśm y zaczynać od przypadków , gdzie uczniowie mogą własnem rozumowaniem dochodzić do rezu l
tatu. D otyczy to przedewszystkiem ta kich ułamków, które posiadają równe lic z n ik i lu b równe m ianow niki. Potem takich, k tó re bez trud no ści dadzą się porównać przez dopełnianie do jedności lu b odejmowanie jednej lu b więcej jedności. Np.
i oraz i Odejmowanie jedności odbywa się oczy
wiście przez zamianę ułam ków niewłaściwych na liczbę mie
szaną, a w pierw szym p rzyp ad ku przez porównanie: -jj- = — i obliczenie potrzebnego dopełnienia. W id z im y tu już począt
kowe fazy dodawania i odejmowania ułamków. Dalej porów nanie p ro w a d zim y przez sprowadzenie ułam ków do postaci, z k tó re j bezpośrednio możemy sądzić o rezultacie, t. j. do rów
ności lic z n ik ó w albo m ianow ników. Należy jednakże starać się,
tycznie, lecz żeby uczniow ie do tego wniosku zostali przez niego doprowadzeni. Należy zaczynać od bardzo p rostych przykładów , któ re z łatwością rozw iązują się pamięciowo.
5 2
Np. — i — . Nauczyciel podkreśla, że m ia n o w n iki są niejed-
o o
nakowe, że g dyb y b y ły jednakowe, m ożnaby odrazu sprawę rozwiązać. Jak to zrobić? Na pomoc p rzychodzi prawo nie
zmiennika ułamkowego i sprowadzenie ułam ków do postaci:
5 4
i — . Cały szereg tego rodzaju stopniowo zwiększających
b b
się ułam ków prow adzi do tego, że uczniow ie pow oli zaczną sprowadzać do wspólnego m ianow nika (ew. licznika, jeżeli w y godniej). Po m ianownikach, z k tó ry c h jeden nie d z ie li się przez d ru g i, pow inny w ystąpić względem siebie pierwsze, po
tem posiadające c z y n n ik i wspólne. Z m ianow nikam i względem siebie pierwszemi trudność nie jest w ielka, bo zgadnięcie w ie
lo k ro tn e j nie jest żmudne. Należy jednakże na tem trochę się zatrzym ać dłużej. Weźmy przykład . D ajm y na to mamy
5 8
do porównania dwa ułam ki: — i — . Jak zrobić, żeby m ia
n ow niki (albo lic z n ik i) b y ły jednakowe? Jeżeli m ianow nik w obu ułamkach ma być jednakow y, to m usi się dzielić przez m ianow niki danych ułamków, a więc przez 7 i 11. Ten fa k t nauczyciel w ydobyw a przez p ytanie z uczniów. Jakaż to ma być liczba, k tó ra się d zie li jednoczeście przez 7 i 11? Ucznio
wie podadzą praw ie zawsze w ta k im p rzykładzie liczbę dobrą, ale może się zdarzyć, że wskażą na większą, w tedy oczywiście nauczyciel stara się zw rócić uwagę, czy niema mniejszej liczby, która d zie liła b y się i przez 7, i przez 11. Szereg podobnych przykładów znowu rzecz należycie w yjaśni i da wprawę ucz
niom. Po zw róceniu k ilk a k ro tn e m uwagi, że najwygodniejszą jest najmniejsza liczba, k tó ra spełnia w arunek dzielenia się przez obydwa m ia no w niki, nauczyciel pow inien w prow adzić nazwy: w i e l o k r o t n o ś ć i n a j m n i e j s z a w i e l o k r o t n o ś ć . Dalej przechodzi do trzeciego stopnia, p rzy k tó ry m uczniowie nieraz złapią się z początku na poznanym autom atycznie spo
sobie znajdyw ania tej w ielokrotności z poprzedniego stopnia, t. j. na mnożeniu obu m ianow ników przez siebie. Zastosują
ten sposób tu ta j, a nauczyciel pow inien podać natychmiast mniejszą liczbę, k tó ra d z ie li się przez obydwa m ianowniki.
Teraz właśnie pora p od kre ślić różnicę obu przypadków i za
znaczyć, że poprzednio m ia n o w n ik i b y ły względem siebie pierwsze, a obecnie nie są. Znajdyw anie wspólnego mianownika odbywa się n ajpie rw bez jakiegoś praw idła: dzieci same muszą szukać odpowiedniej lic z b y p o p ie ra ją c się jed ynie na własnem doświadczeniu i inw encji.
Potem nauczyciel może podać pierwsze p ra w id ło, które s kró ci w ysiłe k i dlatego stanie się czemś pożytecznem, rozu- mianem i ważnem. To pierwsze p ra w id ło opiera się na pew
nej własności największego wspólnego dzielnika, polegającej na tem, że ilo ra z y otrzym ane od podzielenia przez największy w spólny d z ie ln ik każdej z dwu lic z b są względem siebie p ie rw sze. Więc, jeże li lic z b y dane są a i b, a najw iększy ich wspólny d z ie ln ik d, ilo ra z y zaś od podzielenia każdej z nich przez ten d zie ln ik: i, i i 3, to najm niejszą ich w ie lo kro tn ą W, jak łatwo widzieć, można w yrazić w tej postaci:
W = d i, i 2
Pokazanie tego dzieciom nie wymaga zwalczenia jakichś specjatnych trudności, a natom iast p rz y pamięciowein znaj
dyw aniu najm niejszej w ielokro tno ści jest bardzo pomocne i ważne.
Gdy przechodzim y do liczb większych w lic z n ik u i m ia
now niku, pamięciowe rozwiązanie już nie wystarcza i wobec tego należy stosować rozkładanie na cz y n n ik i, szukanie w ten sposób największego wspólnego d zie lnika i następnie najm niej
szej w ielokrotności. Np., z powyżej przytoczonego p rzykład u odrazu znajdujem y, że najmniejsza w ielokrotność liczb 432 i 720 jest:
W = 2*. 3*. 3. 5 .
W ten sposób p rz y porów naniu w ielkości ułamków za
poznają się uczniowie z samem pojęciem najm niejszej wielo
krotności i nauczą się na łatw iejszych przykładach, nie w y
magających kolejnego dzielenia, wynajdyw ać ją dla 2 liczb.
Stanowi to przygotow anie i zarazem przejście do dodawania i odejmowania ułamków.
Dwa te działania w istocie swej nie zawierają nic osobli
wego, a konkretne ich pojmowanie nie odbiega od takiegoż
p rzy liczbach ca łko w itych. Dlatego nie trzeba tu żadnej de
fin ic ji osobliwej ani specjalnych w yjaśnień dotyczących is to ty działania. Potrzebne jest natom iast stopniowanie trudności i genetyczne uporządkow anie nauczania.
P rin c ip iu m d iv is io n is (zasada podziału) powinno polegać na dwóch rzeczach: l- o na stopniow aniu opartem o różne ga
tu n k i ułamków: właściwe, niewłaściwe i lic z b y mieszane oraz 2-o na stopniow aniu trud no ści znajdywania najmniejszej w ielo
krotności. Połączenie ty c h dwóch stopniow ań da się osiągnąć w ten sposób, że każdy stopień 2-go rodzaju będzie zawierał w odpowiedniej k o le i w szystkie stopnie pierwszego.
Dodawanie i odejmowanie nie oddzielam y od siebie, gdyż niema po temu żadnego poważnego powodu, jest natomiast duża korzyść płynąca z połączenia i wyrażająca się zarówno w oszczędności czasu, ja k lepszem rozum ieniu obu działań przez porównanie. Zaczynam y obydwa działania od najprost
szego przypadku, t. j. rów ności obu m ianow ników i przera
b ia m y wszelkie p rz y k ła d y zarówno z ułam kam i właściwemi, ja k niewłaściwem i i liczba m i mieszanemi, przyczem najważ
niejszą rzeczą jest tu podkreślenie i szczególne zwrócenie uwagi na takie p rz y k ła d y , w k tó ry c h trzeba albo „w yciągać”
całość albo też „pożyczać” od całości. To m usi być dobrze zrozumiane i ugruntowane. Dalej z ko le i w ystępują m ianow
n ik i takie, w k tó ry c h jeden d zie li się przez d ru g i z tem i sa- memi szczegółami, ja k powyżej. Potem m ia n o w n iki względem siebie pierwsze i nakoniec zawierające c z y n n ik i wspólne. Mamy zawsze do dodania p rzyte m dwa ty lk o u ła m ki i znajdujem y wspólny m ianow nik zapomocą ty c h samych metod, k tó re b y ły wyjaśnione poprzednio i oczywiście w tej samej ic h kolei. Za
pisywanie odbywać się pow inno tak, ja k wskazują następujące przykłady:
3 5 , g 7 _ 5 « + 28 53
12 + 15 60 60
, . „ 5 „ 7 85 — 28 57
12 15 60 60’
przyczem uczeń na boku przed zapisywaniem wspólnej kreski powinien zobaczyć, co się dostanie z każdego ułam ka po spro
wadzeniu go do wspólnego m ianownika, żeby nie otrzym ać
niem ożliwego odejmowania. N a p o r z ą d e k z a p i s y w a n i a , r ó w n o ś ć k r e s e k , o d p o w i e d n i e s t a w i a n i e z n a k u r ó w n o ś c i n a l e ż y z w r a c a ć n i e s ł a b n ą c ą u w a g ę .
Po p rze ro bie niu ty c h rzeczy, oczywiście w związku z roz- m aitem i zadaniami, przechodzim y do dodawania trzech i wię
cej składników , najpierw stosując kolejno powyższe stopniowa
nie i robiąc wszystko w pamięci, a później p rz y liczbach w ięk
szych, wprowadzając nowy sposób znajdywania wspólnego m ia
now nika c z y li najm niejszej wspólnej w ie lo kro tn e j. Znajdyw a
nie tej w ie lo k ro tn e j rów nież, ja k p rz y największym wspólnym dzie lniku, opieram y na jednoczesnem rozkładaniu na czyn niki danych liczb. Np., jeże li są dane m ia n o w n iki następujące: 84, 150, 144, postępujem y tak:
84 150 144 2
42 75 72 2
21 75 36 2
21 75 18 2
21 75 9 3
7 25 3 3
7 25 1 5
7 5 1 5
7 1 1 7
1 1 1
Stąd najmniejsza wspólna w ielokrotność W = 24 32 52 7.
Nauczyciel n a jp ie rw stosuje tę metodę do liczb mniejszych, gdzie najmniejszą w ielokrotność dzieci um ieją znaleźć inaczej;
wskazuje, że w ten sposób każdy czynnik bierzem y m ożliwie największą liczbę razy, aby w ielokrotność isto tn ie mogła się podzielić przez liczbę, gdzie ten czyn n ik ty le razy wchodzi.
Porównanie ze znajdywaniem największego wspólnego dziel
n ik a i wykazanie ró ż n ic jeśt tu konieczne. Nie trzeba jednakże dzieci przyzw yczajać do używania tego sposobu odrazu, gdyż nieraz w pam ięci ła tw ie j jest znaleźć najmniejszą w ie lo k ro t
ność bez uciekania się do żmudnej metody, a takie pamięciowe radzenie sobie jest jednym z głów nych celów nauczania, któ re powinno dać odpowiednią wprawę i łatwość w w ykonaniu ra chunku.
Po w p ra w ie n iu się w ty c h rzeczach możemy przejść do jednoczesnego w ykonyw ania w zadaniach i p rzykład a ch doda
wania i odejm owania razem, zapisując znowu tak, jak b y ło po
wiedziane pow yżej.
Na tem kończy się pierw szy stopień pierw szego rozdziału nauki o ułam kach.
D ru g i stopień wymaga wprowadzenia kolejnego dzielenia i już całkow itego opanowania w szystkich działań w ty m zakre
sie. Zaczynam y od tego, że p rz y pew nym p rz y k ła d z ie na do
dawanie ułam ków , u m yślnie dobranym , dostajem y sumę w po
staci ułam ka dość dużego, k tó ry trzeba skrócić, przyczem znane dotąd sposoby skracania nie w ystarczają. P rz y tej spo
sobności nauczyciel p rz y p o m in a praw o rozdzielności p rz y d zie leniu, z któ re g o w y n ik a ło objaśnienie cech podzielności, ja k również znaną fo rm u łę : D = d i + r oraz własności reszty p rz y dzieleniu. C hodzi o znalezienie wspólnego czyn nika pom iędzy liczn ikie m i m ianow nikiem .
U ważajm y jedną z ty c h lic z b za dzielną, d ru g ą za d z ie l
nik, w tedy reszta, k tó rą się o trzym a od podzielenia obu ty c h liczb, będzie się d z ie liła przez w spólny ic h d z ie ln ik , a p rzyte m będzie mniejsza i ła tw ie j będzie ten d z ie ln ik o d k ry ć . Np. weźmy ułamek: 1980. Reszta od podzielenia m ianow nika przez d zie l
n ik wynosi 77. Reszta oczywiście d z ie li się przez 7 i przez 11.
Próbujem y przez 7; nasze lic z b y się n ie dzielą, ale przez 11—
dzielą. O d k ry liś m y więc w spólny c z yn n ik. Po skróceniu do- stajemy: —- 180 W idoczną jest rzeczą, że teraz lic z n ik i mianow-
187
n ik są względem siebie liczba m i pierw szem i, gdyż 180 można z łatwością rozłożyć na c z y n n ik i, ale przez żaden z ty c h czyn
ników 187 się nie d zie li. D ajem y szereg podobnych p rz y k ła dów i każdorazowo dzieci się przekonyw ają, że poza c z y n n i
kam i zawartem i w reszcie lic z n ik i m ia no w nik w spólnych czyn n ikó w nie posiadają. P óźniej p ow inn iśm y usiłować w y p ro w a dzić to z samej fo rm u ły : D = d i + r . To jest najprostszy przypadek.
G dy reszta otrzym ana jest jeszcze za duża, m usim y tę samą operację p o w tó rzyć jeszcze raz, ale p rz y te m trzeba po
stępować ostrożnie, aby nie zostawić w g ło w ie uczniów samego
na fa kt, że np. skrócenie ułamka: niczem się nie różni od skrócenia u ł a m k a o d w r ó c o n e g o : 1980- i — , a ten ostatni da się przedstawić w form ie: 1 -tj979™ -- Otóż, jeżeli będziemy u m ie li skrócić ułamek: 979 skrócim y rów nież i pierwszy.
Tego rodzaju mała zamiana jest bardzo pomocna, a rozumowanie zupełnie dla dzieci dostępne. Dzielenie 1001 przez 979 daje resz
tę 22, z k tó re j w nioskujem y, że ułamek można skrócić przez 11.
W p row ad ziliśm y w ten sposób już dwa ogniwa dzielenia kolejnego.
Tak samo można iść dalej, a gdy dzieci należycie się w praw ią w podobne operacje, można później, j a k k o l w i e k n i e j e s t t o k o n i e c z n e , cały zespół działań przedstawić, ja k to b y ło p rz y dzieleniu lu b mnożeniu, w postaci skoncentro
wanego a lg orytm u, którego zw ykle używam y p rz y kolejnem dzieleniu. Dobrze jest p rzyte m przebiegać n ajpie rw w jedną stronę, rozum ując, że każda nowa reszta podzieli się przez naj
w iększy w spólny d z ie ln ik obu początkowych liczb, a potem proces odw rócić, znowu stosując powyższą form ułę dzielenia.
Powiadam, że nie jest to koniecznem, bo rzecz cała może być zostawiona na później, np. p rz y pow tarzaniu a ry tm e ty k i w k la sie 3 ej, ale p rzyn a jm n ie j tam musi to być zrobione, gdyż a lg o ry tm znajdyw ania największego wspólnego dzielnika zapo- mocą kolejnego dzielenia odgryw a dużą rolę później w nauce geom etrji. W szkole elementarnej 7 lub 8 klasowej to nie jest potrzebne i dlatego cały ten a lg o ry tm można opuścić, poprze
stając na powyższem rozum owaniu, ale w szkole średniej na
leży go zalecić.
Dalsze rozważanie szczegółów należących do tego d ru giego stopnia pierwszej części n au ki o ułamkach nie przed
stawia ju ż trudności; nie będę tedy ich tu omawiał. Rzecz jasna, że nauczyciel w inien się starać zastosować metodę ko
lejnego dzielenia nie ty lk o do skracania ułam ków , ale również p rz y dodawaniu i odejmowaniu. W ystępuje wyraźnie nato
miast inna kwestja, k tó rą należy tu b liże j omówić, mianowicie nauka ułam ków dziesiętnych.
ty lk o pustego szablonu działania. Dlatego zwracamy uwagę
Z w ykle nauka ty c h ułam ków u nas poprzedza lu b nastę
puje (co bywa najczęściej) po ułam kach „z w y c z a jn y c h ’ . Za
rów no jedna, ja k i d ru ga metoda ma swoje wady i zalety.
Jeżeli u ła m k i dziesiętne poprzedzają zwyczajne, napotykam y szereg trud no ści nie dających się przezw yciężyć. T rudności te dotyczą świadomego w ykon yw an ia działań. Czy można p rz y puścić, że uczeń, k tó ry przedtem nie m ia ł pojęcia o ułam ku, p o tra fi świadomie w ykonyw ać a lg o ry tm y mnożenia i dzielenia ułam ków dziesiętnych? O czywiście — w ykon yw ać on może, jak rów nież rozwiązywać szablonowe zadania, ale rozum ieć tych działań nie będzie. Pom ijając ju ż inne tru d n o ś c i, p rz y dzie
leniu ułam ków dziesiętnych spotka się z dziw nem , niepojętem d la niego zjaw iskiem ułam ków okresow ych, z k tó re m i nie może w ykonyw ać działań ani ich stosować bez n a u k i o działaniach p rz y b liż o n y c h , k tó re w ym agają większej sprawności u m ysło wej i rozw oju, bo inaczej mogą b yć ty lk o papuziem w y k o n y waniem przepisów, dobrem , jeże li chodzi ty lk o o p ra ktyczne zastosowanie, ale nie mającem ja k ie jk o lw ie k w arto ści d y d a k tycznej na ty m poziom ie nauczania i w tak szerokim zakresie.
Przypuszczenie łatw ości działań, nasunięte przez jednakowość budow y ułam ka dziesiętnego i lic z b y ca łko w ite j, jest zw ykłem powierzchownem złudzeniem , którego nie można brać na serjo wtedy, gdy co kolw ie k b liż e j w e jrz y m y w is to tn y mechanizm tych działań i w zadania nauczania rozw ijającego um ysł, a nie dającego ty lk o pow ierzchow ną sprawność. Dalsze nasze ro z ważania o m nożeniu i dzieleniu ułam ków rzecz tę jeszcze le piej wyjaśnią.
Z w olennicy wcześniejszego przechodzenia ułam ków dzie
siętnych wysuw ają jednakże pewne ważne zalety takiego prze
chodzenia w postaci p raktycznego zastosowania i istotnej ła twości pewnych działań. T ych zalet n ie można ominąć m il
czeniem ani zaniedbać ca łko w icie i dlatego opóźnienie naucza
nia ułamków dziesiętnych je st rzeczą w adliw ą, o czem nie może być dwóch zdań. W ta k im razie, jakże w yjść z sytuacji? T u taj znowu h is to rja w iedzy, t. j. n a tu ra ln y bieg je j rozw oju daje nam ważną wskazówkę. U ła m k i dziesiętne z ja w iły się na tle potrzeby p ra k ty c z n e j i stosowane b y ły tam , gdzie ra c h u nek z ułam kam i zw yczajnem i b y ł z b y t żm udny i m ało p rz e j
rzysty. O bliczenia w artości fu n k c y j try g o n o m e try c z n y c h i lo-
— 16 —
g a ry tm ó w — oto w łaściw ie p o b u d k i i teren zastosowania ułamków dziesiętnych, gdzie o d e g ra ły one w y b itn ą rolę. Jeżeli uświa
d om im y sobie, że ułam ek dziesiętny jest szczególnym p rzy
p ad kie m zwyczajnego i że działania z nim , interpretow ane na tle tego ostatniego, nie budzą żadnych w ątpliw o ści (prócz u ła m kó w okresow ych, o czem później), to w prow adzenie ułamka dziesiętnego zaraz po nauce dodawania i odejm owania ułam
ków zw yczajnych i zapoznanie dzieci z zapisywaniem i czyta
n iem ułam ków dziesiętnych, z dodawaniem i odejmowaniem oraz zamianą ułam ka zwyczajnego w w ypadkach m ożliwych bez dzielenia na dziesiętny i o dw ro tn ie , nie przedstaw ia żad
nych tru d n o ści, a jest nawet pożądane, gdyż nie ty lk o da nową wiedzę pra ktyczną , ale pogłębi znajomość ułam ka zw y
czajnego. T akie przeplatanie pro gram u , przeczące p rze cię t
nemu szufladkow em u fo rm a liz m o w i, jest ze stanowiska d yda k
tycznego pożyteczne i dlatego b ro n im y go w te j książce. Do'- świadczenie każdego pouczy, że z ro b ić tę rzecz można, i p rz y tem z bardzo d o b ry m rezultatem .
P rz y zapisyw aniu u łam ków dziesiętnych zw rócić należy uwagę nie ty lk o na to, na jakie m m iejscu „s to ją ” dziesiąte, setne i t. p., ale też na zasadniczy fa k t, że m ia no w nik togo ułam ka posiada zawsze ty le zer, ile m iejsc jest zajętych po p rz e c in k u . Ta nauka zapisyw ania i czytania ułam ków dzie
siętnych może zajmować z początku część z w y k łe j le k c ji a r y t
m e ty k i, poświęcanej w praw ie w dzia łan iu z ułam kam i zw ycza j
nemi. G dy uczniow ie osiągną pewną w praw ę w te j rzeczy, dalsze nauczanie ułam ków dziesiętnych nie pow inno b yć od
dzielane, ale w platane w każdą lekcję p rz y sposobności każ
dego ułam ka zwyczajnego, k tó ry da się zamienić na dziesiętny.
Z tego powodu pierwszem zagadnieniem następnem jest za
m iana zwyczajnego ułam ka na dziesiętny.
Rozważanie tu potrzebne p o z w o li każdą liczbę postaci 10“ przedstaw ić w fo rm ie 2n . 5“ i o d k ry ć , że ty lk o te dwa c z y n n ik i wchodzą do te j lic z b y . To proste o d k ry c ie jest pod
stawą w szystkiego. Poczynając od n ajprostszych ułam ków , nauczyciel stopniow o wskazuje, ja k przez odpow iednie pomno
żenie lic z n ik a i m ianow nika przez jedną i tę samą liczbę można, nie zm ieniając w ielkości ułam ka, zam ienić go na ułam ek dzie.
s ię tn y . Potem odrazu przechodzi do dodawania i odejmowania
tych ułam ków wspólnie ze zwyczajnem i; p rz y ty c h też d zia ła niach uczniow ie mogą poznać znaczenie zera na końcu ułam ka dziesiętnego. Największą trud no ść oczywiście może sprawiać kw estja decydowania, k ie d y ułam ek zw yczajny zamieni się na dziesiętny, a k ie d y nie. T u ta j przedew szystkiem należy zw ró cić uwagę na 2 fa k ty : l- o żadna liczba w yrażona jednostką z zeram i nie d z ie li się przez żaden in n y c z y n n ik p ie rw szy prócz 2 i 5 oraz 2-o należy zawsze przed zamianą ułam ek zw yczajny należycie skrócić, bo np. p ozo rn ie nie można za
m ienić na ułam ek dziesiętny, ale ty lk o pozornie, gdyż dany ułamek może być skrócony przez 3 i ten c z y n n ik z m ianow nika zniknie. Dodawanie i odejm owanie u łam ków dziesiętnych po tem wszystkiem nie zawiera żadnych o sob liw ych zagadnień.
T y le z ułam ków dziesiętnych. Ł atw o się przekonam y, że ten dodatek nie może budzić żadnych tru d n o ś c i, a je ż e li zda
m y sobie sprawę, iż uczniow ie zw y k le u ła m k i dziesiętne p rze chodzą w końcu ro k u i p rz y te m nieraz bardzo pośpiesznie, z czego nie w y n ik a dobra ty c h ułam ków znajomość, o d b ija jąca się później w klasach w yższych, n ic chyba nie stanie na przeszkodzie do uznania p ro je k tu takiego tra k to w a n ia rzeczy.
P rz y niem na naukę ułam ków dziesiętnych pośw ięcim y więcej czasu, raczej, lep iej powiedziawszy, dłużej będą dzieci m ia ły z n ie m i do czynienia, a tem samem b liż e j z n ie m i się oswoją i trw alszą zdobędą wiedzę.
P rze jd ziem y teraz do następnej, d ru g ie j części nauki o ułam ku, części n ajtru d n ie js z e j, k tó ra z naszej s tro n y wymaga dłuższego nieco omówienia.
Już p ow ied zie liśm y w yżej, że mnożenie i dzielenie liczb ] ułam kow ych n ie jest w isto cie tem samem, co podobne dzia
łania z liczb a m i c a łko w item i, n ie da się ująć tak k o n k re tn ie j jak dodawanie i odejmowanie, a dlatego poprzednie, stosowne dla lic z b ca łk o w ity c h d efin icje , n ie nadają się do ułam ków, z czego w yn ika , że muszą być podane nowe d e fin ic je i tem samem w ytw orzon e nowe pojęcie ty c h działań. Taka d efin ic ja może się rozw inąć ty lk o na pewnej podstawie k o n k re tn e j, bo I inaczej będzie dla dzieci niedostępna i pusta. Pierwszem więc zagadnieniem jest obran ie określonej podstaw y k o n k re tn e j. Tą podstawą może b yć ty lk o określone zagadnienie, jasne samo przez się i na ty le ogólne, b y m ogło tę ro lę spełnić.
N auka m a te m a ty k i p o czą tko w e j. C z. I I . 2
— 18 —
Takiem zagadnieniem dla d e fin ic ji mnożenia jest znaj
dywanie określonej części całości, a dla dzielenia znajdywanie całości na zasadzie danej je j części.
Lecz to nie w yczerpuje jeszcze całego charakteru pod
staw y ko nkretn e j. Należy wykazać na szeregu przykładów , że w zadaniach tej samej treści, ale raz z liczb a m i całkowitemi, d ru g i raz z liczba m i ułam kowem i, mamy odpowiedniość, t. j.
tam gdzie p rz y liczbach ca łko w itych jest mnożenie, p rz y ułam
kach będzie znajdyw anie części od całości i odw rotnie. Ta ostatnia uwaga porusza jedną z zasadniczych cech d e fin ic ji działań, m ianowicie: nowa d efin ic ja w ten sposób zawiera w so
bie dawną, jako szczególny przypadek. P rzejdziem y teraz do samej rzeczy.
Nauczyciel, rozpoczynając naukę mnożenia, zgodnie z po- wyższem, przedewszystkiem zwraca uwagę na zagadnienie znaj
dywania części danej całości. Zadanie uczniowie z początku rozw iązują dwoma oddzielnem i działaniam i z wiadomem ich objaśnieniem. Np. mając znaleźć \ lic z b y 35 znajdują naj
p ie rw { przez dzielenie przez 7, a potem | , mnożąc rezultat o trzym a n y przez 3. Później, po w ykonaniu szeregu takich przykład ó w w pam ięci i ustnem opowiadaniu rozwiązania, na
leży zwracać uwagę na to, że d z ie lim y najpierw przez mianow
n ik , potem m nożym y przez lic z n ik . Przechodząc do piśm ien
nego wykonania działania, nauczyciel wskazać w inien że 2 dzia
łania, z początku oddzielnie zapisywane, można połączyć razem i zapisywać tem samem krócej. W ten sposób m ianow nik bę
dzie zawsze pod kreską, a lic z n ik nad nią. P rz y k ła d y i za
dania dawane tu ta j p ow inn y uwzględniać zarówno u ła m ki właś
ciwe, ja k niewłaściwe. Np. paczka c u k ru zawiera 10 f. wzięto 2 { paczki; ile funtów wzięto? Zam ieniam y 2 f na ułamek nie
w łaściw y i znajdujem y całości. Oczywiście można też naj
p ie rw dowiedzieć się, ile jest fu n tó w w 2 paczkach, a potem w | paczki i dodać otrzym ane re zu lta ty. Nie należy jednakże pierwszego sposobu om ijać. W idoczną jest rzeczą, że w yko
nywam y właściwie mnożenie przez ułamek, ale nie nazywając narazie rzeczy po im ieniu. Na tem trzeba pewien czas się zatrzym ać, żeby cała sprawa nabrała należytej jasności i żeby sczniowie z większą łatwością do rozwiązania takich zagadnień nię zabierali. Takie dłuższe zatrzym anie się da mianowicie
potrzebną wprawą w stosowaniu wspom nianej p odw ójnej ope
ra c ji, niezależną od pojęcia mnożenia. Jeżeli z ro b im y to z b y t p rędko i w prow a dzim y nazwę mnożenia, suggestja lic z b y c a ł
k o w ite j zamąci samo to pojęcie i uczeń będzie, ja k to często bywa, na c h y b ił t r a f ił w y k o n y w a ł samo działanie, a później z łatwością poplącze go z dzieleniem . Im więcej będziemy p o daw ali rozm aitych p rz y k ła d ó w , tem le p ie j. Rzecz jasna, że dana liczba, k tó re j części szukam y, może byó też ułam kiem .
W dalszym ciągu prze cho dzim y do p rzyg oto w an ia d e fi
n ic ji. Dlatego obiera m y szereg zadań zupełnie tej samej treści, dobranych w 2 egzemplarzach tak, że w je d n y m wchodzą lic z b y całkow ite, a w d ru g im u ła m k i (w m no żniku ). Np.:
Łokieć sukna kosztuje 3 r b . 60 k. Ł okieć sakna kosztuje 3 rb . 60 k.
Ile kosztuje 3 łokcie? Ile kosztuje Ł?
Na godzinę parow iec p rz e p ły - Na godzinę parow iec p rz e p ły
wa 20 Km . wa 20 Km .
Ile Km. p rze pływ a w 12 g? Ile Km. p rz e p ły n ie w g.?
W beczce jest 30^ w. wina. W beczce jest 30^ w. wina.
He jest w 4 beczkach? Ile jest w 3$ beczkach?
Długość prostokąta 4 m., a sze- Długość prostokąta 4 m., a sze
rokość — 3 m. rokość — 2 f m.
Jakie jest pole? Jakie jest pole? i t. p.
P rz y ro b ie n iu ty c h zadań nauczyciel podkreśla, że w p ie rw szej g ru p ie zawsze m nożym y dw ie dane lic z b y przez siebie, a w d ru g ie j rzecz zawsze sie sprowadza do mnożenia przez lic z n ik d ru g ie j lic z b y , k tó ra jest ułam kiem , i dzielenia przez jej m ianow nik. N a jtru d n ie js z y m do w ykazania tego jest p rz y kład ostatni, ale tu ta j n a jp ie rw ra d z im y sobie w ten sposób że zam ieniam y w szystko na decym etry, potem m nożym y i na- koniec d ow iadujem y się, ile w znalezionej lic z b ie decym etrów kw adratow ych jest m etrów kw adratow ych, wiedząc, że na je den m e tr’ p rzypada 100 dm .2. Następnie w ykonyw am y d z ia łanie pow tórne, ale ta k, że 4 m nożym y przez 13 (2£ = V ) a następnie d z ie lim y przez 5. O trzym ane re z u lta ty są id e n tyczne. Stąd wniosek, że i tu można b y ło z ro b ić ta k samo, ja k poprzednio, ja k k o lw ie k w ysłow ienie zadania je st odm ienne
— 20 —
Z tego nauczyciel wyprowadza spostrzeżenie, przeczuwane już zresztą poprzednio przez zdolniejszych uczniów, a miano
w icie, że tam, gdzie p rz y liczbach ca łko w itych, raczej przy ca łko w itym m nożniku mamy mnożenie, p rz y ułamkowym — wszędzie występuje mnożenie przez lic z n ik i dzielenie przez m ianow nik. P rz y tem w szystkiem nauczyciel może wskazać na fa k t znany uczniom z poprzednich rozważań, że każdą liczbę całkow itą można przedstaw ić w postaci ułam ka i że mnożenie przez tę liczbę prow adzi do znajdyw ania części całości, co oczywiście sprawdza na szeregu przykładów . Teraz mamy już g ru n t p rzygotow any do d e fin ic ji.
Powiadam y: p o m n o ż y ć p r z e z l i c z b ę u ł a m k o w ą z n a c z y t o s a m o , c o p o m n o ż y ć p r z e z j e j l i c z n i k a p o d z i e l i ć p r z e z m i a n o w n i k .
Z poprzedniego przedstaw ienia przebiegu nauczania w y
nika, że mnożenie a także dzielenie przez liczbę całkowitą uważamy za rzecz znaną, o k tó re j nauczyciel nie pow inien za
pomnieć przed rozpoczęciem mnożenia przez ułamek. Zwykle p rz y mnożeniu ułam ków rozpatryw ane są 3 p rzyp a d ki: mno
żenie ułam ka przez liczbę całkow itą, mnożenie lic z b y całkowi
te j przez ułamek i mnożenie ułamków. Pierwszy przypadek nie nastręcza kłop otu. Ten ostatni zaczyna się od 2-go p rz y padku. P rz y te j sposobności zw rócim y tu uwagę jeszcze na jedną okoliczność. Jeżeli podane określenie mnożenia ma być pożytecznem i używanem zawsze tam, gdzie zachodzi mnoże
nie przez liczbę całkow itą, pow inno ono posiadać prawa cha
rakteryzujące mnożenie liczb c a łko w itych, a więc prawo prze- mienności i łączności oraz praw o rozdzielności. Właśnie na d ru g im p rzyp ad ku mnożenia możemy odrazu prawo przemien- ności sprawdzić. Isto tn ie , g d y np. mamy do pomnożenia 3 przez 1}, piszemy 3 X l | = 3 x ł = ^ = 5 . Naodwrót, gdy
byśm y m ie li do pomnożenia l f przez 3 o trzym a lib yśm y f X 3 =
5 X » c 4. •
— *• ]• t0 samo, a więc praw o przemienności zacho
dzi. Tak samo można sprawdzić prawo łączności i rozdziel
ności posługując się znanemi działaniam i: dodawaniem i odej
mowaniem.
Zgodnie z powyższym podziałem na tr z y p rzyp ad ki w prak
tyce podawane są 3 różne praw idła, co niepotrzebnie rozstrzela
A
m yśl i m ąci jasność pojm ow ania działania. Jest ty lk o jedno p ra w id ło : żeby pom nożyć przez ułam ek, należy pom nożyć przez jego lic z n ik i p o d zie lić przez m ianow nik. To p ra w id ło stosuje się we w szelkich przyp ad kach i dlatego now ych okreś
leń nie potrzeba. Zapisyw anie należy zawsze prow adzić w ten sposób, żeby n a jp ie rw w ypisać nad i pod wspólną kreską odpowiednie elem enty działania, a potem skracać. Np. 3 ^ X
X 2 f = £ f X V8 = " i r T " ~ ¥ • P rz y tom n *e należy ro b ić żad
nych przekreślań, k tó re p rz y p o p e łn ie n iu błędu przeszkadzają w o d k ry c iu , gdzie popełniono ten błąd, a p rz y te m brudzą całe zapisywanie. L e p ie j je st k ilk a ra zy z rzędu przepisyw ać, jeże li odrazu nie można skrócić, n iż gmatwać w ten sposób o b li
czenia. Uczeń, k tó r y chce m niej pisać, m usi więcej w pam ięci rachować, co m u na dobre w yjdzie.
Nie zaszkodzą n ig d y ćw iczenia z praw em rozdzielnościo- wem bez zam iany lic z b m ieszanych na u ła m k i niewłaściwe.
Należy p rzyte m zaczynać od p rz y k ła d ó w , gdzie p ra w o ro z dzielności stosujem y raz, a potem przejść do podwójnego sto
sowania, a w ięc od p rz y k ła d ó w np. ta k ic h :
2 | X ł = 2 X ł + ł X | = V + i = V = H do takich: 2 f X = (2 + *) 1 + (2 + i ) | = 2 j + 1 | = 4 H - Takie ćwiczenia u g ru n to w u ją p raw o rozdzielności i są tem sa
mem więcej celowe, n iż zw ykle podawane p rz y k ła d y , a z d ru giej s tro n y usuną b łąd nieraz przez uczniów u p ra w ia n y, po
legający na dodaniu ilo c z y n u lic z b ca łk o w ity c h do ilo czyn u ułamków, co w yra źn ie wskazuje, że uczeń o p ra w ie ro z d z ie l
ności niema pojęcia.
Teraz w dalszym ciągu możemy w prow adzić mnożenie ułam ków dziesiętnych, opierając go na m nożeniu zwyczajnych.
Zaczynamy od mnożenia i dzielenia ułam ka dziesiętnego n aj
p ie rw przez 10n , a potem przez dow olną liczbę całkow itą.
W obu przypadkach opieram y się na sprowadzeniu samego ułam ka dziesiętnego do postaci zwyczajnego. Np.:
0,315 X 10 = TW * X 10 = SyjL“ = U l = 3,15.
W ten sposób ro b im y szereg p rzykła d ó w , gdzie m nożnik jest 100, 1000 i t. d. Te p rz y k ła d y w ypisyw ane są na ta b lic y i nie
— 22 —
ścierane. Po p rze ro bie niu trzech — czterech ta kich p rzykła dów nauczyciel zwraca uwagę na przesuwanie się przecinka i wyprowadza razem z uczniam i p ra w id ło , k tó re potem jest stosowane w różnych inn ych p rzykładach i od czasu do czasu znowu sprawdzane. P rz y dzieleniu przez 10n ro b im y to samo, przyczem uczniom należy przypom nieć własność zapisywania ułamka dziesiętnego, według k tó re j ty le w n im jest po prze
cinku m iejsc zajętych, ile jest zer w m ianow niku. Oczywiście fo rm u łu je m y p rzytem dla mnożenia i dzielenia przez 10“ od
powiednie praw idła.
Mnożenie przez dowolną liczbę całkow itą w ykonyw a się tak samo, np.:
3,26 X 12 = X 12 = S2; £ 12 = »TV<r° = 39.
T u ta j trzeba ostrzegać przed skracaniem, żeby re zu lta t dostać w postaci ułam ka dziesiętnego. Z dzieleniom natomiast jest już k ło p o t wtedy, gdy się nie skraca, ale ra d zim y sobie z łatwoś
cią przez w yrażenie re zu lta tu w postaci ułam ka zwyczajnego, a w in n y m p rzyp ad ku przez znany sposób zamiany na ułamek dziesiętny.
Mnożenie ułam ków dziesiętnych rów nież trudności nie nastręcza p rz y oparciu się na mnożeniu ułam ków zwyczajnych.
Weźmy przykład .
2,35 X 3,8 = I M X « ■ = ^ = M U = 3,930 = 8,93.
K ilk a ta k ic h p rzykład ó w z różnem i odmianami w ypisujem y na ta b lic y , przyczem przez obserwację dochodzim y do wniosku, iż m ianow nik iloczyn u posiada ty le zer, ile jest ich razem w m ianownikach obu ułamków, a stąd na zasadzie znanej własności ułam ka dziesiętnego i p ra w id ła dzielenia przez liczbę wyrażoną jednostką z zerami m usim y oddzielić w iloczynie ty le znaków dziesiętnych, ile jest ich razem w mnożnej i mnoż
n iku .
Dalej w zadaniach możemy ju ż w ykonywać działania wspólne z ułam kam i zwyczajnem i i dziesiętnem i, co jest pożyteczne i przemawia za fuzją tych rzeczy (c z y li przeplataniem ).
Dzielenie ułam ków należy prow adzić w tej samej kolei i w tenże sposób, co mnożenie i dlatego nie będę się szcze
gółowo nad tem rozw odził. Jest jednakże w dzieleniu pewna
ma ch arakte r k o n k re tn y i dlatego pewne różn ice k o n k re tn e zadań odgryw ać muszą ważną ro lę , tem b a rd zie j, g dy te ró ż nice nie posiadają cech p rzypadkow ości, ale w ystępują ogólnie.
Do ta kich różn ic należy różnica pom iędzy właściwem dziele
niem i mieszczeniem, o k tó re j ju ż ty le ra z y m ó w iliś m y . Za danie znalezienia całości z danej części odpow iada w łaściw ie samemu dzieleniu, g dy tymczasem w n ie k tó ry c h przykład a ch, mających ch arakte r w y ra ź n y zadania na mieszczenie, niema m owy o znalezieniu całości z danej części i dlatego określenie- dzielenia, oparte, analogicznie do mnożenia, na wspomnianem zadaniu, nie będzie obejm ow ało ty c h p rzyp a d kó w , gdzie w y stępuje mieszczenie. Ł atw o zrozum ieć, że ta k ie np. zadanie:
£ ło kcia m ate rja łu kosztuje 6 rb .; ile kosztuje łokioć? — jest czemś innem na p ie rw szy rz u t oka, n iż ta kie: za cały m a te rja ł zapłacono 18} rb.; ile k u p io n o ło k c i, je ż e li jeden ło k ie ć kosz
tu je 3 } rb.? Pierw sze zadanie odrazu można sprow adzić do znajdyw ania całości z danej części, ale d ru g ie nie ta k łatw o.
Wobec tego należy albo tę różnicę usunąć, albo wykazać, że d ru g ie zadanie rozwiąże się w ten sam sposób ja k pierwsze.
Ten d ru g i sposób jest p ra k ty c z n ie js z y , bo zrozum ialszy, i d la tego tu ta j go zastosujemy. R ozum ujem y tak: jedon ło k ie ć kosz
tuje y rb., w ięc TV ł. będzie kosztow ała } rb., a TłT ł. — 1 rb . Ponieważ cały to w a r kosztow ał 1 8} rb ., więc będzie zaw ierał tyle razy więcej ło k c i, ile ra zy 18} rb . jest większe n iż 1 rb., t. j. (,4j X 18}) łok., lecz na zasadzie prawa przem ienności p rzy m nożeniu możemy napisać, iż
•fV X 18} = 1 8} X = -jtjj = 5.
Cośmy ostatecznie z ro b ili? O to 18} m n o ż y liś m y przeż 4 czyli m ianow nik ułam ka y , a d z ie liliś m y przez lic z n ik , więc postę
pow aliśm y ta k samo, ja k p rz y zn ajdyw a niu całości z danej części, ergo w obu przypadkach działanie jest identyczne. Nie należy więc ich odróżniać. Jeżeli w p ie rw szym p rzyp a d ku d z ie liliś m y zgodnie z d e fin ic ją przez ułam ek, to samo ro b iliś m y w d ru g im .
D e fin ic ja dzielenia jest następująca: p o d z ie lić przez u ła mek znaczy— p od zie lić przez jego lic z n ik a pom nożyć przez m ia now nik. Można jeszcze pow iedzieć z p o ż y tk ie m tak: p odzielić przez ułam ek, znaczy — pom nożyć przez ułam ek odw rócony.
— 24 —
P ra w id ło wyprow adzone z tej d e fin ic ji stosujemy we w szystkich przypadkach dzielenia przez ułam ek i nie odróżnia
m y tego, czy .dzielić trzeba liczbę ca łko w itą czy też ułamek. D ru g i rodzaj d e fin ic ji podkreśla p rz y ułam kach istniejącą tu ta j od
w rotność dzielenia i mnożenia tak, ja k p rz y liczbach całkow itych.
Sposób zapisywania p rz y dzie len iu stosujemu oczywiście ten sam, co p rz y m nożeniu, nie nadm ieniając wcale o różnych skracaniach „w z d łu ż ” i „na u k o s ” , k tó re p o w in n y należeć do dawnych d o b ry c h lat.
Ł atw o na zasadzie dru gie go rodzaju d e fin ic ji bezpośrednio wykazać, że p rz y dzieleniu przez ułam ek ta k samo się stosuje praw o rozdzielności.
Po dzie len iu ułam ków zw yczajnych następuje z ko le i dzie
lenie dziesiętnych, jako szczególny przypadek, k tó ry tak samo, ja k w szystkie własności i działania z u ła m ka m i dziesiętnem i, w yprow adzam y i o pieram y na odpow iednich własnościach i dzia
łaniach z ułam kam i zwyczajnem i.
Zaczynam y od nowego sposobu zamiany ułam ka zwyczaj
nego na dziesiętny przez dzielenie. Objaśnienie tej rzeczy jest łatwe, ale należy tu jeszcze raz w yra źnie p o d kre ślić i w yjaśnić sprawę m ożliw ości ta k ie j zamiany, odw ołując się do rozważań w tej m a te rji poprzednio zaznaczonych. Jest to szczególnie ważne z tego powodu, że używanie ułam ków okresowych z ró ż nych względów m usi być om inięte.
W nauce ułam ków dziesiętnych dotąd je3zcze po podręcz
nikach i w p ra ktyce nauczania duże znaczenie p rzyp isu je się ułam kom okresowym . Zamiana uła m ku okresowego na zw y
czajny jest sumowaniem postępu geometrycznego nieskończenie malejącego, o k tó ry m mowa w klasie 6-ej szkoły średniej.
Nawet tam sp otyka m y niejedną trudność p rz y ścisłem p rze d staw ieniu i d e fin ic ji sum y takiego postępu. W arytm e tyce po
czątkowej ten d zia ł r o i się w prost od błędów naukowych.
W eźm y np. ta kie przedstaw ienie te j rzeczy. Konstatujem y przez dzielenie, że: 1__
—g 0,111...
4 = 0,0101...
999 0,0 0 1 0 0 1...
10" — 1 10“ + 102° + " '
Następnie, zw ró ciw szy uwagę, że mnożąc obydw ie stron y każ
dej z poprzednich rów ności przez pewną liczbę całkowitą, możemy otrzym ać np.:
0,555...
0,0707...
0,3434... i t. d.,
w yprow adzam y stąd p ra w id ło zam iany ułam ku okresowego prostego na zw yczajny. Później, d z ię k i n ie w ie lk ie j m o d y fik a c ji, możemy to samo zro b ić dla mieszanego. Powyższe uogólnie
nie zgadza się z zasadą in d ukcyjn eg o rozumowania, nie nasuwa więc zarzutów; ale mnożenie obu s tro n przez liczbę tę samą nie może b yć dopuszczane. M am y tu do czynienia z szeregiem nieskończonym i trzeba wykazać n a jp ie rw m ożliwość takiego mnożenia. Można rozumować inaczej, stosując dalej dzielenie, np. przekonać się, że powyższa równość słuszna będzie dla ilo ra zu — i t. d., a później znowu uogólnienie. 5 B y ło b y to
t7
rozumowanie popraw niejsze, ale rów nież nie wolne od zarzu
tów, n ig d y bowiem nie można być pew nym odw rotnego tw ie r
dzenia, a tem samem wykazać, czy suma tego samego szeregu nieskończonego nie może się „ró w n a ć ” różnym ułam kom zw y
czajnym . Z d ru g ie j stro n y , czem jest suma nieskończenie w ielu składników , rów nież nie w iem y bez specjalnej na pew
nych rozważaniach opa rte j d e fin ic ji. Taką d e fin icję trzeba dać zanim będziem y m o g li m ówić o „sum ie” .
Jeżeli zechcemy zadać sobie teraz pytanie, ja k i może być cel wprow adzenia n au ki ułam ków okresowych w klasie d ru giej (albo w p ią ty m ro k u nauczania), nie możemy znaleźć żadną m iarą innego, prócz zw yczaju u tarte go i ru ty n y . Ta ru ty n a uważa to za rzecz dostępną w szkole, a natom iast inne rzeczy
_5_
9 —
t_ 99 — 34 _ 99 ~
