Cwiczenia nr 5, GAL I.2, 27.3.2020 Przestrzenie euklidesowe
Zadanie 1. Uzasadnij, korzystajac z twierdzenie Pitagorasa, ze w przestrzeni R3: (a) Dlugosc wektora α = (a1, a2, a3) dana jest wzorem qa21+ a22+ a23 =√
α · α1;
(b) Wektory α, β sa prostopadle wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny równa sie zero.
Zadanie 2. Niech α = (1, −2, 1, 6), V = lin{(2, 1, 3, −4), (1, 2, 0, 1)}.
(a) Oblicz rzut ortogonalny prV(α) wektora α na podprzestrzen V .
(b) Udowodnij, ze B = {(1, 0, 2, −3), (4, 7, 1, 2)} jest (równiez) baza ortogonalna prze- strzeni V .
(c) Zastosuj algorytm Grama-Schmidta wzgledem bazy B i znajdz ponownie prV(α). Zadanie 3. Znajdz baze ortogonalna podprzestrzeni
(a) V = lin{(1, 1, 1), (0, 1, 1)};
(b) V = lin{(1, 1, −1, −1), (3, 2, 0, 1), (1, 0, 1, 0)}.
Zadanie 4. Zapisz α jako sume wektora z V i wektora z V⊥, gdzie (a) α = (1, 5, 7), V = lin{(1, −2, 3), (−1, 1, 1)},
(b) α = (2, 0, 1, 6), V = lin{(1, 1, 1, 1), (1, 1, −1, −1)},
(c) α = (3, 1, 5, 9), V = lin{(1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 2), (−1, 0, 2, 2)}.
Zadanie 5. Zastosuj algorytm Grama-Schmidta i przeksztalc baze A = {1, x, x2} przestrzeni wielomianów stopnia ¬ 2, V = {a0 + a1x + a2x2 : a0, a1, a2 ∈ R}, w baze ortogonalna wzgledem iloczynu skalarnego zadanego wzorem:
(a) hp, qi = p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2), (b) hp, qi =R02p(x)q(x)dx.
Zadanie 6. Niech α, β beda wektorami przestrzeni euklidesowej V spelniajacymi warunki kα + βk = 5, kα − βk = 1, cos ](α, β) = 1/2. Oblicz (a) kαk + kβk, (b) kαk · kβk.
Zadanie 7. Czy suma iloczynów skalarnych w Rn jest iloczynem skalarnym?
Zadanie 8. Udowodnij, ¿e w przestrzeni euklidesowej (W, h·, ·i) mamy (a) (W1+ W2)⊥ = W1⊥∩ W2⊥,
(b) (W1∩ W2)⊥ = W1⊥+ W2⊥.
Zadanie 9. Udowodnij, ze jesli (V, hu, vi) jest przestrzenia euklidesowa, to hu, vi = 1
2(ku + vk2− kuk2− kvk2) = 1
4(ku + vk2− ku − vk2).
1Bedziemy uzywali oznaczenia α · β =Pn
i=1aibi na standardowy iloczyn skalarny w Rn.
Zadanie 10. Narysuj kolo i kwadrat o srodku w (0, 0) oraz prosta przechodzaca przez (0, 0) tworzaca z osia OX kat 45%, jesli odleglosc i katy w R2 mierzymy wzgledem iloczynu skalarnego hα, βi = a1b1+ 4a2b2.
Zadanie 11. Opisz wszystkie iloczyny skalarne na R2 takie, ze h(x, y), (x, y)i = 2x2+ 2xy + y2. Zadanie 12. Podaj wzór na przekszta³cenie ξ ∈ L2(R2), symetryczne2 takie, ze ξ(e1, e1) = 0,
ξ(e1+ e2, e1+ e2) = 1, ξ(e1, e2) = −1.
Zadanie 13. Niech ξ ∈ L2(R2) bedzie opisane macierza
1 0 0 0 2 1 0 1 a
.
(a) Dla jakich a ∈ R, ξ jest iloczynem skalarnym?
(b) Dla jakich a ∈ R przestrzen liniowa lin{(3, 1, 1)} jest prostopadla do przestrzeni W = {(x1, x2, x3) : x1+ x2+ x3 = 0} wzgledem ξ.
Zadanie 14. (a) Dla jakich liczb rzeczywistych a funkcjonal dwuliniowy ξ opisany macierza
4 1 0 1 a 1 0 1 9
jest iloczynem skalarnym.
(b) Dla „dobrych” a znajdz baze ortonormalna przestrzeni (R3, ξ). Zadanie 15. Niech V = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1− x2+ x3 = 0}.
(a) Znajdz baze ortonormalna przestrzeni V .
(b) Znajdz wzór na rzut ortogonalny prV : R3 → R3 na podprzestrzen V .
Zadanie 16. Zbadaj, czy funkcjonal ξ : Mn×n(R)×Mn×n(R) → R okreslony wzorem ξ(A, B) = tr(A · BT)jest iloczynem skalarnym.
Zadanie 17. Niech α1, α2, . . . , αm, β ∈ V i αi ⊥ αj dla i 6= j. Udowodnij, ze hα1, βi2
kα1k2 + . . . +hαn, βi2
kαnk2 ¬ kβk2 dla dowolnego β ∈ V .
Zadanie 18. Niech ξ ∈ L2(R3), M(ξ) =
1 2 0
2 1 −1
0 −1 2
. Znajdz bazy przestrzeni (a) lin{(1, 1, 0), (−1, 1, 0)}⊥, (b) W⊥, gdzie W = {(x1, x2, x3) : x1 + x2+ x3 = 0, −x2+ 2x3 = 0}.
Zadanie 19. Niech ξ ∈ L2(R2), symetryczny zadany w bazie A = {(1, 2, 0), (0, 3, 1), (0, 1, 0)}
macierza
M (ξ, A) =
1 0 3 0 7 4 3 4 1
Znajdz wzór na ξ i M(ξ, B) gdzie B = {(1, 2, 3), (3, 2, 1), (0, 0, 1)}.
2L2(V ) oznacza zbiór funkcjonalów dwuliniowych ξ : V × V → K okreslonych na przestrzeni liniowej nad cialem K.
2
