Cwiczenia nr 11, GAL I.2, 12.5.2020 Formy kwadratowe
Zadanie 1. Niech Q : R3 → R, Q(x1, x2, x3) = x21+ 2x1x2+ x22− x2x3. Przedstaw Q w postaci Q(v) = ξ(v, v), dla pewnej formy dwuliniowej ξ.
Zadanie 2. Sprowadź formy kwadratowe Q1, Q2 do postaci diagonalnej: (i) Q1(x) = x21 − 3x1x2+ x22 + x2x3− 2x23, (ii) Q2(x) = x1x2+ 2x1x3− x2x3.
Zadanie 3. Sprowadź formy kwadratowe Q1, Q2do postaci kanonicznej nad R, gdzie (i) Q1(x) = 2x21+ 2x1x2+ x22+ 2x1x3 + 4x2x3, (ii) Q2(x) = x21+ 4x1x2+ x22+ 2x2x3+ 2x23.
Zadanie 4. Udowodnij, że dwie formy kwadratowe są równoważne nad R wtedy i tylko wte- dy, gdy ich macierze mają tę samą liczbę wartości własnych dodatnich i tę samą liczbę wartości własnych ujemnych.
Zadanie 5. Znajdź postać kanoniczną form kwadratowych (nad R) (i) Q(x) = Pi<jxixj, (ii) Q(x) =Pi<j|i − j|xixj.
Zadanie 6. Znajdź macierz M (Q, B) formy kwadratowej f : R3 → R, f(x, y, z) = 2x2−yz+3z2 w bazie Niech B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.
Zadanie 7. Niech Q(x, y, z) = 3x2+ 4xy + 2xz + s y2+ t z2. Dla jakich par (s, t) ∈ R2 forma Q jest (i) dodatnio określona? (ii) dodatnio półokreślona?
Zadanie 8. Uzasadnij, że przekształcenie Lorentza (x, y, z, t) 7→
x0 = γ · (x − v · t), y0 = y, z0 = z, t0 = γ · (t − v · x c2 )
zachowuje formę kwadratową Q(x, y, z, t) = x2+ y2+ z2− c2t2, gdzie γ = q1
1−v2
c2
, v, c—
stałe.
Zadanie 9. Niech V = {f ∈ R[x] : deg f ¬ 2}. Definiujemy funkcję Q : V → R wzorem Q(f ) =
Z 1 0
f (x)f0(1 − x)dx
(a) Uzasadnij, że Q jest formą kwadratową i znajdź symetryczną formę dwuliniową ξ : V × V → R stowarzyszoną z Q.
(b) Wyznacz macierz M (Q, B) formy Q w bazie {1, x, x2}, a następnie oblicz rząd i sygnaturę tej formy.
Zadanie 10. O formie kwadrtowej Q : R2 → R wiadomo, że Q(1, 2) = 5/9, Q(−2, 1) = 5 oraz maksymalna i minimalna wartość Q na kole {(x, y) : x2+ y2 ¬ 1} wynoszą, odpowiednio, 1 i 1/9. Wyznacz Q.
