Wyznaczanie stopni niektórych liczb algebraicznychW artykule niniejszym podam twierdzenie pozwalające w pewnych

W yznaczanie stopni niek tó ry ch liczb algebraicznych

(1)

+

+ • • • +

,

gdzie p jest liczbą pierwszą, cx,c2, . . . , c k są współczynnikami wymiernymi różnymi od zera, a B x,B 2, . . . , D k — liczbami wymiernymi1).

Dla otrzymania tego twierdzenia skorzystam z pewnych wyni­

ków teorii Galois oraz wyznaczę grupę Galois niektórych ciał postaci

■^(e, j/z?! , ] / B 2 B k) względem ciała CW liczb wymiernych, gdzie s = e2rtilv.

Artykuł niniejszy jest pomyślany jako ilustracja twierdzeń teorii Galois w konkretnym prostym przypadku. Dlatego też podaję wszystkie pojęcia i twierdzenia pomocnicze (te ostatnie przeważnie bez dowodów) tak, żeby artykuł był dostępny nawet dla czytelnika słabo przygotowanego z algebry. Z tego samego powodu nie sprawdzałem, czy i gdzie w litera­

turze znajduje się wzór na stopień liczby (1 ).

1. Wiadomości o ciałach* i bazach. Ciało liczbowe jest to taki zbiór 9C liczb (na ogół zespolonych), że: ¹° zawiera liczbę ¹, ²° suma, różnica, iloczyn i iloraz dwu liczb należących do 9C znów należy do CX (iloraz oczywiście przy założeniu, że dzielnik jest różny od 0). Każde ciało liczbowe zawiera ciało °и? liczb wymiernych.

1.1. Niech ax,a2, . . . , a k będą dowolnymi liczbami. Zbiór 4C{ax;a2, . . . , ak) złożony ze wszystkich ułamków postaci cp(ax,a2, . . . , a k)ly)(ax,a 2, . . . , a k), gdzie <p i ip są wielomianami к zmiennych o współczynnikach należących do 9C i у)(а1,а2, . . . , а к)ф 0 , tworzy ciało liczbowe. Mówimy że ciało to po­

wstało z ciała 9C przez dołączenie liczb ax, a2, . . . , ak.

Oczywiście wszystkie liczby ciała 9C należą do ciała cK(ax,a2, . . . , a k).

Kównież wszystkie liczby ax,a 2, . . . , a k należą do ciała 9C{ax,a 2, . . . , a k).

x) Twierdzenie to znalazłem rozwiązując zagadnienie, które kilka lat temu postawił profesor S ie rp iń sk i na swoim seminarium.

W całej podanej tu konstrukcji nie wykluczamy przypadku, gdy niektóre z liczb należą, do ciała 9C. Jeśli wszystkie a}- należą do 9C, to ciała 9C i 9C (ax, a2, . . . , ak) są identyczne.

1.2. Mech 9C i £ będą dwoma ciałami liczbowymi i niech ciało 9C będzie zawarte w £ , czyli niech każda Uczba należąca do 9C będzie ele­

mentem £ . Piszemy wówczas cX C £ i mówimy, że 9 0 je st podciąłem ciała £ .

Liczby b1,b2, . . . , b n należące do £ tworzą bazę ciała £ względem ciała 9C, jeśli każda Uczba należąca do £ daje się przedstawić w jeden i tylko jeden, sposób w postaci кг bx + к 2Ъ2-\-.• gdzie Tcl ,Jc2,...,1cn są elementami ciała 9C.

Można wykazać, że jeśli ciało £ ma choć jedną bazę względem 9C, to ma ich nieskończenie wiele. Istnieją przypadki, gdy £ nie ma żadnej bazy względem 9C. Jest tak na przykład, gdy £ jest ciałem Uczb rzeczywistych, a 9C ciałem liczb wymiernych.

1.3.

pierwiastkiem wielomianu 9 (a?) stopnia n nierozkładalnego w 9C). Wówczas liczby l , a , a 2, . .. ,an~1 tworzą bazę ciała 9C(a) względem ciała 9C.

D ow ód. Mech <p(a)/y>(a) będzie liczbą z ciała 9C{a). Ponieważ ip(a)Ф-0, więc wielomian 9 nie jest dzielnikiem ip. Z nierozkładalności wielomianu 9 wynika, że wielomiany 9 i \p są względnie pierwsze. Stąd wynika, że istnieją takie wielomiany £ i g, że £ 9 + ^ = 1 . Mnożąc przez q>

otrzymamy

Dzieląc wielomian щ przez 9 możemy przedstawić go w postaci Ż9 + 0, gdzie stopień q jest mniejszy niżm. Zatem

Podstawiamy tu x = a i dzieUmy obie strony przez y>{a). Otrzymu­

jemy wówczas, wobec 9(«) = 0,

gdzie k0,k 1,...,lc n_ 1 należą do 9C, gdyż wszystkie rozpatrywane wyżej wielomiany mają współczynniki należące do 9C.

Przedstawienie Uczby <p(a)/y)(a) w postaci (2) jest jednoznaczne.

Gdyby bowiem prócz (2) zachodził wzór

<p£9 -f- щгр = cp.

9?£9 -f- -}- Qf = <p.

(2⁾

y >(a)

ę p {a )

f ( a ) — a + • • • + ^n-1

gdzie choć jedna z różnic — &'• jest różna od ⁰, to otrzymalibyśmy dla a równanie stopnia mniejszego od n

wbrew założeniu, że a ma stopień n.

Podam teraz dwa zastosowania twierdzenia 1.3. Zakładam w tym artykule zawsze, że p jest dowolną, lecz ustaloną liczbą pierwszą.

1.4.

Pierwiastkami tego wielomianu są pierwiastki pierwotne stopnia p z je­

dności. Oznaczając dowolny z nich przez e wnosimy, że liczby’ l , e, . . . , £ p _ 2

tworzą bazę ciała °l4?(e) względem ciała 9^.

W dalszym ciągu oznaczam stale przez e dowolny, lecz raz na zawsze ustalony pierwiastek pierwotny stopnia p z 1.

1.5.

(3) xv — a (gdzie a jest elementem ciała 9C), którego argument (zawarty między 0 а 2л) jest najmniejszy 3).

Wszystkimi pierwiastkami wielomianu (3) są liczby

Wielomian (3) jest rozkładalny w ciele 9C wtedy i tylko wtedy, gdy a jest p-tą potęgą jakiegoś elementu ciała 9C 4).

Jeśli a nie jest postaci bv, gdzie b należy do ciała 9C, to liczby

1.6.

,

2) Por. np. W. S ie rp iń sk i [1], str. 134. Używam stale słowa „nierozkładalny”

zamiast „nieprzywiedlny”.

s) Wzór Уак— (Уa)k jest przy tej umowie dotyczącej znaczenia jsymbolu У na ogół fałszywy. Jest on jednak prawdziwy, gdy a jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

4) Zob. S ie r p i ń s k i [1], str. 229.

{ k 0 — fc0) “b ( &i — k x) a + . . . + (k n _ i— k n_ i ) a n 1 — 0,

(4)

tworzą bazę ciała 9C (^\/a) względem ciała 9C.

Roczniki P. T. M.-Prace Matematyczne I 16

J eśli liczby bl f b2, . . . ,bk tworzą bazę ciała J2 względem ciała CX, a liczby сг, c2, . . . , cm — bazę ciała 9ll względem ciała £ , to km liczb bt c?- { i=1 ,2 , . . . , Tc;

tworzy bazę ciała СЖ względem ciała CX 5).

Zastosujemy te twierdzenia do ustalenia następującego wyniku:

1.7. Jeśli a ,a 0, a i , . . . , a p_2 należą do ciała °X, а ф0 i (a0+%£ + •• • . . . + ap_2ep~2)p—a, to a jest p-tą potęgą pewnej liczby należącej do ciała CX.

D ow ód. Z założenia wynika, że dla pewnego j

\/a = J (a0 -f- axe + ... + ap_²fiP 2)>

a zatem 9C CcX(f//a)C9C(e). Z pierwszego z twierdzeń podanych, w 1.6 wynika, że istnieje baza ciała °X(e) względem ciała 9C (j/a) oraz baza ciała 9C (^a) względem ciała CX. Niech bazy te mają odpowiednio po q i r ele­

mentów. Z drugiego z twierdzeń podanych w 1.6 wynika, wobec 1.4, że p —l = ąr, a zatem r < p . Z 1.5 wynika zatem, że a musi mieć postać bv, gdzie b jest elementem ciała 9C.

2. Wiadomości o grupie Galois. W dalszym ciągu założę, że ciało J2 powstaje z ciała 9C przez dołączenie wszystkich pierwiastków jakiegoś wielomianu o współczynnikach należących do ciała °X. Wielomian ten może być rozkładalny lub nierozkładalny w ciele CX.

Automorfizmem ciała J2 względem dala CX nazywa się funkcję 3 od­

wzorowującą ciało £ na siebie w sposób wzajemnie jednoznaczny i taki, że spełnione są warunki

(5) 3 ( a + b ) = 3 (a ) + 3(b), 3 (ab) = 3 (a) 3(b),

(6) 3 ( k ) = k

(a,b oznaczają tu dowolne elementy ciała £ , а к dowolny element ciała9C).

Zbiór wszystkich automorfizmów ciała £ względem ciała 9C nazywa się grupą Galois ciała £ względem ciała °X. Grupę tę oznaczam w dalszym ciągu symbolem ©(12/9C).

Grupa ©(9C/9C) składa się tylko z automorfizmu tożsamościowego, tj. z takiego automorfizmu 3 0, że 3 0(k )= k dla wszystkich elementów к ciała CX.

2.1. Jeśli e jest elementem ciała £ , to 3(e) jest jedną z liczb e, e2, . . . , ep~1;

jeśli Va jest elementem ciała £ , to B(]/a) jest jedną z liczb (4).

D ow ód. Z £^=1 wynika, że 3 (ep) = 3(1), a więc na mocy (6) 3 (s p) = l . Z drugiego ze wzorów (5) wynika, że 3 (ep) — [3 (e )]p, a zatem [S(£)]p= l , 6

6) Zobacz np. van der W a e r d e n [2], str. 108.

tj. 3(e) jest jednym z pierwiastków stopnia p z jedności. Ше może byó 5(e) = 1 , gdyż z (6) wynikłoby wtedy, że Я(е) = Я(1), tj. e = l . Zatem 3(e) jest jedną z liczb e,e2, . ..,e p_1.

Dowód drugiej części twierdzenia jest podobny.

2.2. Wartości, More automorfizm 3 przyjmuje dla elementów jaMejś bazy ciała Я względem ciała 9C, wyznaczają całkowicie ten automorfizm.

Wynika to stąd, że jeśli kx,k 2, . . . , k n należą do ciała 9C, a bu b2, . . . , b n do ciała Я, to

3 (k xbx + k2b2 + ... + knbn) — kx 3 (b x) + k2 3 (b 2) + ... + kn a (bn).

2.3. Grupa ®(9C (e)/9С) ma co najwyżej p — 1 ełementów.

Istotnie, jeśli 3 jest elementem tej grupy, to 3(e) = £, gdzie j jest jedną z liczb 1 ,2 ,..., p —1. Wartość 3(e) wyznacza wartości 3 (e2), Я(е3) ,..., 3 (ev~l), gdyż 3 (e k) = [ 3 ( e ) f —e?k. Istnieje zatem co najwyżej tyle automorfizmów ciała CK (e) względem ciała 9C, ile jest liczb j speł­

niających nierówności ¹ < ? < р —¹ , tj. p —1.

2.4. Jeśli a jest elementem ciała 9C, to grupa ®(9C(e,r a)/9C-(e)) zawiera co najwyżej p elementów.

D o wód jest analogiczny do dowodu twierdzenia 2.3.

Nasuwa się pytanie, czy grupy omówione w twierdzeniach 2.3 i 2.4 mają dokładnie p —1 lub, odpowiednio, p elementów. Przy pewnych założeniach, które będą sformułowane w twierdzeniach 2.6 i 2.7, można wykazać, że jest tak istotnie. Dowodząc twierdzeń 2 . 6 i 2.7 skorzystam z następującego wyniku, którego tu nie będę dowodził6):

2.5. Niech ax,a 2, . . . , a k będą wszystkimi pierwiastkami wielomianu nierozkładalnego w ciele Я i niech 3 należy do grupy ®(i?/9C). Dla każdego j (1 grupa Щ Я(а1,а 2, . . . , а к)1сК) zawiera automorfizm H j, który 1° jest przedłużeniem automorfizmu 3 (tj. czyni zadość równaniu Hj(l) =

= 3(1) dla wszystkich elementów l ciała Я) oraz 2° spełnia warunek 3 j( a x)~ a j.

7i twierdzenia tego wynika w szczególności, że automorfizm 3 daje się przedłużyć do co najmniej k różnych automorfizmów ciała Я (а 1,а2, . . . , а к) względem 9C.

Aby zastosować twierdzenie 2.5, przyjmijmy w nim °}С = Я = СН' i dołączmy do ciała Я wszystkie pierwiastki stopnia p z jedności. Auto­

morfizm tożsamościowy ciała Я można, na mocy twierdzenia 2.5, prze­

dłużyć do takiego automorfizmu Hj ciała ЧХ(е) względem CW, że Hj(e) = 4 ( j= 1 , 2 , . . . , p —1). Zatem

®) Dowód można znaleźć np. w książce van der W aerdena [2], str. 113.

16

2.6.

—1

2.7. Przyjmijmy teraz w twierdzeniu 2.5

£ = с1С ()/а,Е \/а,...,ер~1} / а ) = сК (е,]/а),

gdzie a jest elementem ciała 9C i a nie jest p-tą. potęgą, żadnego elementu ciała 9((e), lub — co na jedno wychodzi — ciała 9C. Automorf izm tożsamo­

ściowy ciała 9C(e) można na mocy twierdzeń 1.5 i 2.5 rozszerzyć do p różnych automorf izmów H 1,H 2, ... ,H P ciała cK ( e ,] /a) względem °X (e). Automorfizm Hj jest scharakteryzowany równaniem Н?-(\/а) = S f /a .

Wynika stąd, że grupa @(9C(e, p/u)/9C(£)) zawiera dokładnie p auto­

morf izmów. *

Twierdzenia 2.6 i 2.7 są szczególnymi przypadkami twierdzenia ogólnego:

Jeśli ciało liczbowe £ powstaje z ciała liczbowego 9C przez dołączenie wszystkich pierwiastków jakiegoś wielomianu o współczynnikach należących do 9C, to grupa & (£ /cX) ma tyle elementów, ile elementów^ma (każda) baza ciała £ względem ciała 9C.

Z tego ogólnego wyniku nie będę jednak w tym artykule korzystał.

2.8.

£ .

Щ £ /СХ)

Zbiór wszystkich automorfizmów E spełniających ten wzór tworzy podgrupę grupy ©(i?/9C). Oznaczam ją w dalszym ciągu przez (S>[£jcK.(a)).

Zatem ®(i?/9C(a)) jest zbiorem tych automorfizmów ciała £ względem ciała C)C, które nie zmieniają elementu a (a zatem także żadnego elementu ciała 9C(a)).

Z podstawowych twierdzeń teorii grup wynika, że ilość ga elementów grupy (S>{£jcX(a)) jest dzielnikiem ilości g wszystkich elementów grupy

©(£/9C).

Między liczbami g ,g a i stopniem liczby a względem ciała 9C zachodzi następująca prosta zależność, którą podam bez dowodu ([2], str. 136):

2.9.

9C

3.

3.1.

cześnie 0 i czyniących zadość nierównościom

(7) 0 0 < г2< р , 0 ^ i k < p , iloczyn B ^B l2.. .B lk nie jest p-tą potęgą liczby wymiernej.

Na przykład liczby 2, 3, 6, 7 są 3-niezależne. Istotnie, jeśli zachodzą nierówności (7), gdzie p =3, to iloczyn 2г13г25гз7г4 jest sześcianem liczby wymiernej wtedy i tylko wtedy, gdy i± = % = 0.

Podobnie dowodzi się, że jeśli liczby B x^B2, . . . , B k są pierwsze, to są one p-niezależne.

Liczby 6,10,15 są 2-zależne, gdyż iloczyn ich 6-10-15=900 jest kwadratem liczby wymiernej. Te same liczby są 3-niezależne. Istotnie, gdyby 64 10l2154 było sześcianem liczby wymiernej, to zachodziłyby kongrueneje

h + 4 = h + h = 4 + h = 0 (mod 3)>

z których wynika ix= i 2 (mod 3), 2гх~ 0 (mod 3), a więc it = 0 i podobnie i<i—i% — 0.

Oczywiście 0 nie należy do żadnego nkładn ^-niezależnego. Skre­

ślając z układu p-niezależnego dowolną ilość liczb otrzymujemy znów układ p-niezależny.

3.2. Jeśli liczby B 1,B2, ... ,B k są p-niezależne, to 1° baza {względem ciała 94?{e)) ciała

£ к = ^(е,УЖ,УЖ,...,УЖ)

składa się z j>k liczb {[■ gdzie wykładniki spełniają nierówności (7); 2° grupa ®(r£ kJ cW(e)) składa się z p k automorfizmów

scharakteryzowanych równaniami

(8) Ą„...A( l Ą ) = ei‘l Ą , ( * =1 ,2 ,...,*).

D o wód przez indukcję względem k. Dla k — 0 jest j2k= cW{e) i baza ciała £ 0 względem ciała °I4?(e) składa się z jednej tylko liczby ¹ , a grupa

©(jSe/Oi^e)) z jednego tylko automorfizmu tożsamościowego. Twier­

dzenie jest więc w tym przypadku prawdziwe. Niech zachodzi ono dla pewnego к i niech liczby B 1,B 2, . . . , B k+1 będą ^-niezależne.

Lemat. Wielomian ocp—B k+1 jest nierozkładalny w £ k.

Istotnie, w przeciwnym razie B k+1 byłoby p-tą> potęgą pewnego elementu ciała £ k (por. 1.5), a więc na mocy założenia indukcyjnego zachodziłaby równość

-»*+! = [ 2 * & , . . . м ( У » Р { Ш ) <’ . . . ( У Щ р,

gdzie d(%,...,ik) są współczynnikami należącymi do ciała ^ ( e ) , a su­

mowanie rozciąga się na wszystkie układy liczb spełniające warunek (7).

Wyciągając po obu stronach p-te pierwiastki otrzymujemy

(9) J W J i = 2 < Ч ь . .(УЖ У,

gdzie j jest jedną z liczb 0,1 , . . . , p — 1 .

Mech będzie dowolnym układem liczb spełniających (7).

Automorfizm Я?1 jh przeprowadza lewą stronę wzoru (9) w liczbę

<10>

gdzie Ti jest jedną z liczb 0,1 , . . . , p — 1 zależną tylko od wyboru Uczb j i , j 2, . - . , j k (por. twierdzenie 2.1 ). Na mocy założenia indukcyjnego (8) automorfizm Я?1 . ^ przeprowadza liczbę {j/Щ 4 w liczbę е>‘г‘ zatem prawą stronę wzoru (9) w liczbę

(₁₁)

Liczby (10) i (11) są więc równe. Po uwzględnieniu (9) wynika stąd, że

= z d( H, . . . ,4)e’'A+- +,“ -',( l F 1)<>..

Stosując założenie indukcyjne dotyczące bazy ciała J2k otrzymujemy stąd

(12) d(i1, . . . , i k) = d(i1, . . . ,4 у Л + - + ® ‘- ь.

Mech będzie takim układem, że d (i1,i2, . . . , i k) ^ 0 , a poza tym dowolnym. Z (12) wynika, że wówczas

Mi + h 4 + - - - + k k — h = Q (mod p).

Jeśli jest drugim takim układem, że d (iu . . . , i k) ^ 0, to zachodzi dla niego wzór

h h + h h + ... + jki'k — J i= 0 (mod p), a zatem

h (h - h) + h ( h - h ) + • •• + к ( к ~ Ч ) = 0 (mod p).

Wynik ten jest prawdziwy dla dowolnego układu j i , j 2, - ' - ,j k- Przyj­

mując za j 1,j2, . . . , j k kolejno układy

1 ,⁰, . . . ,⁰, ⁰,¹ , . . . ,⁰, ..., ⁰ ,0 , . . . , 1

otrzymamy kongruencje

% = h( modp) , i2~ i 2 (m odp), ..., ik= i k (modp),

z których wobec (7) wTynika i2—i2, ...,% = i'k. Zatem po prawej

• stronie wzoru (9) co najwyżej jeden współczynnik d( ^, . . . , 4 ) jest różny od zera. Z (9) wynika zatem, że

Dk+1 = [ d ( b , . . . , i k)Tn\\D Ż...D i*,

a ponieważ В к+1Ф 0, więc

(13) DYD?...Di*D%-{ = [Dk+J d ( i1, . . . , i k) r '

Iloraz B k+l/d ( il f . . . , i k) jest elementem ciała cltP(e)1 a więc może być przedstawiony w postaci

(Lq -)- d i E -j- &2 £ H~ • • • H- M p —2

gdzie współczynniki a0,a u . . . , a p_2 są, wymierne (por. twierdzenie 1.4).

Z (13) wynika więc

= [a0 + aie + ... + ap_2ev~2f ,

a zatem zgodnie z twierdzeniem 1.7 istnieje taka liczba wymierna b, że D \'D \K ..D i*I)l-\ = bv.

Otrzymaliśmy w ten sposób sprzeczność z założeniem, że liczby B l ,B 2y. . . , B k+l są p-niezależne. Dowód lematu jest więc zakończony.

Zgodnie z lematem i z twierdzeniem 1.5 baza ciała £ k+1 względem J2k /0---p --- p ---—

składa się z liczb 1 , Y D k+l,{V B h+iy , . . . , ( ]/D k+iy - \ Z założenia induk- cyj nego i twierdzenia podanego w ^{1 . 6} wynika zatem, że bazę ciała £ k+l względem ciała 9 ^(e) tworzą liczby postaci

gdzie 0 ^ i h< p dla fe=l, 2, . . . , i fc+l . Teza 1° twierdzenia 3.2 jest więc udowodniona dla liczby &+1 .

Udowodnię teraz tezę 2°. Zgodnie z lematem i twierdzeniem 2.5 automorfizm 3 — 3.t ^ można rozszerzyć do takiego automorfizmu H=Hi!,...,ik+1 należącego do grupy & (£k+ilcW(e)),że spełnione są równości

H (\/W h) = s (V lh ) = £ihV £h dla ^ = l ,²,...,fc,

W ten sposób powstaje co najmniej pfc+1 elementów należących do grupy <3(£k+il°U9{e)) odpowiadających takim wskaźnikom ih, że Q ^ h < P dla 7 i = l , 2 , . . . , f c + l . Każdy automorfizm H należący do grupy © (Bjc+il^Ąe)) przeprowadza liczbę V B h w jedną z liczb eih\/B h, gdzie 0<4 < p dla й =1 ,2 , . . . , & + 1 (por. twierdzenie 2.1 ), a układ liczb wyznacza automorfizm (por. twierdzenie 2.2). Skonstruo­

wane wyżej automorfizmy wyczerpują więc całą grupę

©(Ufc+i/%?(e)). Teza 2° jest w ten sposób udowodniona.

3.3. Jeśli liczby B 1,B 2, . . . , B k są p-niezależne, to

1° baza ciała £ k wzglądem ciała CW sldada się z (p —l ) p k liczb

gdzie j —0 , l , . . . , p —2, a ix , г2,... ,ik spełniają nierówności (7);

20 grupa składa się, z {p —l ) p k automorfizmów 3,}г1ъ ^к, gdzie ? = 0 , l , . . . , p — 2, a i 1, i 2, . . . , i k spełniają nierówności (7); automorfizm 3= zE jtil'""ik jest scharakteryzowany równaniami

3 (e) = e>\ 3 ( V n h) = e iĄ/Wh (k = l , 2 , . . . ,Jc).

D o wód. Teza 1° wynika z 1.6, 1.4 i 3.2 Dowód tezy 2° jest indu­

kcyjny. Dla k = 0 jest £ к= °14^?(е) i twierdzenie wynika z 2.6. Mech teza 2° będzie słuszna dla liczby к i niech liczby B 1,I)2,.. .,B k+1 będą p-niezależne.

Każdy z (p — l ) p k automorfizmów ^ można rozszerzyć do auto- morfizmu H = H j i x należącego do grupy ©(Ą+i/G^) i spełnia­

jącego wzory

H(e) = 3{e) = ё\

Н ( \ / Щ = з ( \ / Щ = е 1>\/Тк ( h = l , 2 , . . . , k ) ,

Grupa ©(Ą+i/G^) ma więc co najmniej (p — l ) p k+1 elementów. Dowód, że automorfizmy Щзгг,...^к+1 wyczerpują całą grupę © {J3k+ilcW) jest podobny jak w twierdzeniu 3.2.

4. Zastosowania. Z twierdzeń 3.2 i 3.3 wyprowadzę teraz wzory na stopień liczby (1 ) i niektórych innych liczb podobnie zbudowanych.

4.1. Jeśli łiczby B x, D2, . . . ,Dk są p-niezałeżne, a łiczby cx,c2, . . . , c k są wymierne i różne od 0, to (1) jest łiczbą algebraiczną stopnia pk.

D owód. Automorfizm *3^ ^ określony w 3.3 przeprowadza (¹ ) w liczbę

C\£%1 V D x- j - c2£^ j/B 2 -f- ... + cke4 ]/Dk.

Liczba ta jest równa (1) wtedy i tylko wtedy, gdy ix —i2 — ... = ik= 0 (por. twierdzenie 3.3, teza 1°). Zatem w grupie ©( Ą/ 9^) istnieje dokładnie p —1 automorfizmów, które liczbę (¹ ) przeprowadzają samą w siebie, a mianowicie automorfizmy 0, gdzie j = 0 , l , . . . , p —2. Z twierdzenia 2.9 wynika więc, że (1) jest liczbą algebraiczną stopnia pk.

4.2. Niech liczby B x,B 2, . . . , B k będą p-niezależne, łiczby cx,c2, . . . , c k w y­

mierne i różne od 0, a łiczby c(ix, . . . , i k) wymierne. Niech oznacza su­

mowanie rozciągnięte na układy wskaźników spełniających nierówności (7) г wyłączeniem układów (1 ,0 , . . . ,0), (0 ,1 , . . . ,0), .. . , (0 ,0 , . . . , 1). Wówczas liczba

(14) C\S/ В x + • • • +

V

{V

jest stopnia pk.

Dowód jest taki sam, jak dowód twierdzenia 4.1.

4.3.

spn — V2 + | / 3 + » - * + V %

jest stopnia р л(-п\ gdzie n(n) jest ilością liczb pierwszych niewiększyćh od n.

Dowód. Mech lc=7i(n) i niech B x,B 2, . . . , B k będę wszystkimi liczbami pierwszymi nie większymi od n. Liczby B x,B 2, . . . , B k są p-nie­

zależne. Sumę spn można oczywiście przedstawić w postaci (14), a więc twierdzenie 4.3 wynika z 4.2.

Zbadam teraz stopień liczby algebraicznej (1) nie zakładając, że liczby B x,B 2, . . . , B k są p-niezależne. O liczbach B x, D 2, . . . ,B k i cx,c2, . . . ,ck założę natomiast, że są wymierne i dodatnie.

4.4.

ków, których liczniki i mianowniki sę liczbami naturalnymi bez wspól­

nych czynników. Eozwijam liczniki i mianowniki tych ułamków na ilo­

czyny liczb pierwszych i oznaczam przez pn największą liczbę pierwszą występującą w tych rozwinięciach, a przez kolejne liczby pierwsze do pn włącznie. Zachodzą zatem wzory

B j = paxnp%* . . . p ° t , j= 1 , 2 , . . . , Tc, gdzie wykładniki a]h są całkowite.

Macierz prostokątną [а7Ъ] ( j= 1 , 2 , . . . , Tc; h—l , 2 , . . . , n ) oznaczam przez 2i(B x,B 2, . . . , B k) lub krócej przez 21.

O l wierszach macierzy 2 1, np. o wierszach aix a12... aln

(15) ...

a ll a l2 • • • a ln

mówię, że są zależne według modułu p (lub krócej zależne (mod p)), jeśli istnieją liczby całkowite lcx,~k2,...,lc l nie wszystkie podzielne przez p i takie, że

i

•JT1kjajh= 0 (mod p) dla h =1 ,2 , . . . , w7).

/=i

Zachodzą następujące twierdzenia:

7) Wprowadzone tu pojęcia zależności (modp) i rzędu (inodp) są szczególnymi przypadkami ogólnych pojęć algebry liniowej zastosowanymi do przypadku, gdy ciałem współczynników jest ciało proste o charakterystyce p. Por. van der W aerden [2], str. 96.

4.5. Istnieje taka liczba l^.k, że wśród wierszy macierzy 21 jest l wier­

szy niezależnych (mod p), każde zaś Z+l wierszy macierzy 2 1 są zależne (mod p).

Liczba l nazywa się rzędem (mod p) macierzy 21. Oznaczam ją, symbo­

lem -Rp(2l).

4.6.8) Jeśli R p(2 l)= l i wiersze (15) są niezależne (mod p), to dla każdego wiersza atl , at 2 aln macierzy 2 1 istnieją takie liczby całkowite ktl ,kt2, . . . . . . , k a, że

(16) % = ^ ^ h ( m o d ]р) dla h = l , 2 , . . . , n .

?=i

Ustalę teraz związek między pojęciem zależności (mod p) wprowa­

dzonym w 4.4 a pojęciem p-zależności wprowadzonym w 3.1.

'4.7. Jeśli 1^(21) = l i wiersze (15) są niezależne (mod p), to liczby D i,D 2, , . . , Di są p-niezależne, każda zaś liczba Dt daje się przedstawić w postaci df D \xD 22. . .Df1, gdzie O ^ k h< p dla h = l , 2 , . . . , l , a di jest liczbą wymierną dodatnią.

Dowód. Mech czynią zadość nierównościom (7). Iloczyn Dl1 Dl2. . . D f rozwija się na iloczyn liczb pierwszych pf¹ pf². . . p®", gdzie.

i

sh = 2 b ajh dla h = l , 2 , . . . , n . i=i

Gdyby liczby D 1,D 2, . . . , Di były p-zależne, to dla pewnych %, г2, . . . , гг nie wszystkich równych zeru byłoby sft= 0 (modp) dla h = l , 2 , . . . , n , wbrew założeniu, że wiersze (15) są niezależne (mod p). To dowodzi pierw­

szej części twierdzenia.

Dla dowodn drugiej części rozpatruję liczby kłlfkł2, . . . , k a spełniające (16). Jeśli kj jest resztą z podzielenia ktj przez p, to 0 < fy < p oraz

i

ath - 2 bi aih + РЧ (& = 1 , 2 , . . .,n) i=i

i liczby r1,r 2, . . . , r n są całkowite. Stąd wynika, że

D t = PxaР2*-"Р%п = П W 1 Ptn• • • Pnnfj• 1~.Pr\P rł • • • Р»f = i=i

= D f u # ..-D i' № p? ■.. й г >

c. b. d. o.

8) Dowody twierdzeń 4.5 i 4.6 można otrzymać np. z dowodów podanych w roz­

dziale IV książki A. M ostow sk iego i M. S tark a [3] zastępując ciała liczbowe, do których należą elementy rozpatrywanych tam macierzy, przez ciało proste o cha­

rakterystyce p.

4.8. Jeśli liczby D1, D2, . . . , D fc,c1,c2, . . . , cfc są wymierne i dodatnie, to (1 ) jest liczbą algebraiczną stopnia pKp(-%\

Dowód. Oznaczam j?p(2l) przez Z. Bez zmniejszenia ogólności przyj­

muję, że niezależnymi (mod p) wierszami macierzy 2 1 są. wiersze (15).

Sumę (1) można zatem przedstawić w postaci

(17) ciV "Ь c2 V D 2 + .. • + сг\ / D t-\- с*]/Dt . t=i+i

Dla t > l liczba D, daje się przedstawić w postaci <ĘD\xDl * * * *£ .. .IĄl, gdzie wykładniki spełniają nierówności (7), a dt jest liczbą wymierną dodatnią. Wzór (17) można więc przedstawić w postaci

(

) о,

+ ! Ą + ... +

(

)fl... (

równościom (7), a współczynniki są wymierne i dodatnie. W sumie pod znakiem £ mogą występować składniki postaci const każdy taki składnik można jednak połączyć z jednym ze składników i po redukcji współczynnik pozostaje dodatni, gdyż wszystkie współczynniki we wzorze (18) są dodatnie. Znak we wzorze (18) można zatem zastąpić znakiem ]£' określonym w twierdzeniu 4.2, skąd widoczne jest, że twier­

dzenie 4.8 wynika z 4.2.

4.9. Twierdzenie 4.8 byłoby fałszywe, gdyby pominąć założenie, że współczynniki Cj są dodatnie. Jeśli np. p — 3, D2= 4 , D2= 3, D3= 3 2 , to suma

- S ^ + \ / D , + | / Ą = V73 jest stopnia 3, podczas gdy

2( (Di, D²,D 3) =

' 2 0

5

0 1 0

i _R³(21) = 2 . Podobnym przykładem wykazuje się też, że nie można w twierdzeniu 4.8 pominąć założenia, że liczby D, są dodatnie.

Na zakończenie podam kilka zagadnień, których nie umiem rozwiązać:

I. Obliczyć stopień liczby algebraicznej Vk-\-1 + }/]c-f 2 + ••• +

II. Jak zmodyfikować twierdzenia 3.2 i 3.3, żeby stosowały się do dowolnych stopni p, niekoniecznie będących liczbami pierwszymi?

Zbadać w szczególności przypadek p =4.

III. Jakiego stopnia są liczby ,

]/2 + | / з + ••• + 1\/n, 1 + V2 + 1/3 + . . . + V ^ .

Prace cytowane

[1] W. S ierp iń sk i, Algebra wyższa, Monografie Matematyczne 11, Warszawa- Wrocław 1951.

[2] B. L. van der W aerden, Moderne Algebra, t. 1, wyd. II. Berlin 1937.

[3] A. M ostow ski i M. Stark, Algebra wyższa, Biblioteka Matematyczna I, Warszawa-Wrocław 1953.

А. Мостовский (Варшава)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ НЕКОТОРЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ Р Е З ЮМ Е

Автор доказывает следующую теорему:

Пусть Df — p^p™ 2. . -р^п, еде i = l , 2 , . . . ,к и где р} обозначает j-oe по величине простое число, а показатели степени ау — целые числа. Пусть р — простое число и с1,с2,...,с к ~ рациональные положительные числа. При этих обозначениях степень числа (1) относительно поля рациональных чисел равна рБр№), где 31 — матрица состоящая из показателей ai}, а -Кр(31) — ее ранг в поле вычетов по модулю р.

A. Mo s t o w s k i (Warszawa)

DETERMINATION OF THE DEGREE OF CERTAIN ALGEBRAIC NUMBERS SUMMARY

The author proves the following theorem:

Let D i — p^ ip^ 2.. .p%in, where г = 1 , 2 , . . . , A; and where pj denotes the j-th prime and the exponents ац are integers. Let p be a prime number and c1,c2, ... ,Ck positive rati­

onal numbers. With this notation the degree of number (1) with respect to the field of rational numbers is р1{АЩ, where 31 is the matrix made up of the coefficients ац and Ep (31) denotes the rank of that matrix in the field of residues modp.