Skonstruuj najkrótszy 100(1 − α)% przedział ufności dla parametru µ

7. Estymacja przedziałowa

Zadanie 1. Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu N (µ, σ₀²), gdzie σ0 > 0 jest znane. Skonstruuj najkrótszy 100(1 − α)% przedział ufności dla parametru µ.

Zadanie 2. Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu U (0, θ), θ > 0.

Zbuduj najkrótszy przedział ufności dla θ na poziomie ufności 1 − α, dla ustalonego α.

Zadanie 3. Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu ujemnego wykład- niczego E µ,_σ¹
o dystrybuancie

F_µ,σ(x) = 1 − exp



−x − µ σ



, x > µ.

Wiadomo, że zmienne losowe X_1:n i

n

P

i=1

(X_i− X_1:n) są niezależne, oraz, że

n

X

i=1

(X_i− X_1:n) ∼ Γ



n − 1, 1 σ

 .

Znajdź estymator przedziałowy na poziomie ufności 1 − α dla parametru σ.

Zadanie 4. Niech X = (X₁, . . . , X_m) i Y = (Y₁, . . . , Y_n) będą dwiema niezależnymi próbami z rozkładów N (µ_X, σ_X²) i N (µ_Y, σ_Y²) odpowiednio. Podać przedział ufności na poziomie ufności 1 − α dla σ_X²/σ_Y², przy założeniu, że parametry µ_X i µ_Y nie są znane.

Zadanie 5. Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu Poiss(λ). Korzysta- jąc z zadania 5.2 wyznacz asymptotyczny przedział ufności dla parametru λ na poziomie ufności 1 − α.

Zadanie 6 (3.5.8). Skonstruować asymptotyczny przedział ufności dla prawdopodobień- stwa sukcesu θ w schemacie Bernoullego metodą stabilizacji wariancji.