Metody wariacyjne

Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska

Metody wariacyjne

Krzysztof Chełmiński

1 Wstep_,

Skrypt ten jest wstepem do rachunku wariacyjnego w przestrzeniach funkcyjnych funk-_, cji wielu zmiennych. Rachunek wariacyjny to dzia l matematyki zajmujacy si_, e analiz_, a_, funkcjona l´ow skalarnych zdefiniowanych na niesko´nczenie wymiarowych przestrzeniach liniowych. Szukanie punkt´ow ekstremalnych takich funkcjona l´ow jest problemem po- wstajacym w naturalny spos´_, ob w wielu praktycznych zagadnieniach optymalizacyjnych.

Poni˙zszy tekst zajmuje sie studiowaniem funkcjona l´_, ow ca lkowych, w kt´orych funkcja podca lkowa zale˙zy od niewiadomej funkcji oraz od jej pochodnych czastkowych pierwszego_, rzedu. Jak si_, e w nast_, epnym rozdziale oka˙ze, analiza istnienia punkt´_, ow krytycznych takich funkcjona l´ow jest, przy pewnych za lo˙zeniach na funkcje podca lkow_, a, r´_, ownowa˙zna istnie- niu rozwiaza´_, n (z regu ly nieliniowych) r´owna´n r´o˙zniczkowych czastkowych lub gdy poszu-_, kiwana funkcja ma warto´sci wektorowe uk lad´ow r´owna´n r´o˙zniczkowych czastkowych. St_, ad_, pochodza ´scis le zwi_, azki pomi_, edzy rachunkiem wariacyjnym i teori_, a r´_, owna´n r´o˙zniczkowych czastkowych._,

Tekst skryptu zosta l podzielony na pie´_,c rozdzia l´ow. Pierwszy to tekst tego wstepu._, Drugi przedstawia wyprowadzenie r´ownania Eulera-Lagrange’a (uk ladu r´owna´n Eulera- Lagrange’a w przypadku wektorowym), kt´ore spe lniaja g ladkie punkty minimalne rozwa-_,

˙zanych funkcjona l´ow. Ponadto rozdzia l ten zawiera teorie istnienia punkt´_, ow minimalnych w przypadku skalarnym i wektorowym. Rozdzia l trzeci zajmuje sie analiz_, a takich sa-_, mych funkcjona l´ow jak rozdzia l drugi wraz z r´o˙znego rodzaju wiezami. W rozdziale tym_, poszukuje sie wi_, ec zwi_, azanych (warunkowych) punkt´_, ow ekstremalnych funkcjona l´ow w niesko´nczenie wymiarowym przypadku. Rozdzia l czwarty jest po´swiecony analizie istnie-_, nia innego rodzaju punkt´ow krytycznych, mianowicie tak zwanych punkt´ow siod lowych.

Rozdzia l ten prezentuje wiec wraz z dowodem s lynne twierdzenie o prze l_, eczy g´_, orskiej wraz w zastosowaniami. Rozdzia l piaty to analiza rozwi_, azywalno´sci nier´_, owno´sci wariacyjnych, kt´ore powstaja w naturalny spos´_, ob przy analizie tak zwanych wiez´_, ow jednostronnych.

Ca ly tekst tego sryptu zawiera wiele ´cwicze´n i przyk lad´ow u latwiajacych czytelnikowi zro-_, zumienie wystepuj_, acych w tym tek´scie poj_, e´_,c i twierdze´n. Poni˙zszy tekst jest przeznaczony dla student´ow specjalno´sci Matematyka w Naukach Technicznych prowadzonej na Wy- dziale Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej oraz dla wszystkich student´ow kierunk´ow ´scis lych zainteresowanych zastosowaniami rachunku wariacyjnego w naukach technicznych.

Dok ladniejszy opis zawarto´sci skryptu 1. Wstep_,

2. R´ownanie Eulera-Lagrange’a i metody bezpo´srednie rachunku wariacyjnego.

• R´ownanie Eulera-Lagrange’a zwiazane z analiz_, a fukcjona l´_, ow ca lkowych opisanych w rozdziale o powy˙zszym tytule to r´ownanie, kt´ore spe lniaja g ladkie punkty mi-_, nimalne. Poza wyprowadzeniem r´ownania Eulera-Lagrange’a rozdzia l ten prezen- tuje teorie istnienia punkt´_, ow minimalnych rozwa˙zanych funkcjona l´ow. Interesujace_, jest, ˙ze teoria ta w przypadku wektorowym r´o˙zni sie istotnie od teorii skalarnej._, W sktypcie przedstawiamy nierozwiazan_, a do dzisiaj hipotez_, e Morrey’a dotycz_, ac_, a_, funkcji quasiwypuk lych.

3. Zagadnienia wariacyjne z wiezami._,

• Rozdzia l ten bada istnienie punkt´ow minimalnych funkcjona l´ow ca lkowych w zbio- rach opisanych przez dodatkowe warunki zwane wiezami. Poza twierdzeniami o_, istnieniu takich estrem´ow warunkowych rozdzia l ten bada posta´c r´ownania Eulera- Lagrange’a w takim przypadku.

4. Teoria istnienia punkt´ow siod lowych.

• Rozdzia l ten zajmuje sie poszukiwaniem specjalnych punkt´_, ow krytycznych funk- cjona l´ow zdefiniowanych na przestrzeniach Hilberta. G l´ownym wynikiem tego roz- dzia lu jest s lynne w literaturze twierdzenie Mountain Pass Theorem. Dow´od tego twierdzenia jest d lugi i dlatego zosta l podzielony na dwie cze´sci, z kt´_, orych pierwsza ma swoja nazw_, e w literaturze: lemat o deformacji._,

5. Nier´owno´sci wariacyjne.

• Wiezy jednostronne nak ladane na funkcjona ly ca lkowe prowadz_, a do analizy nie-_, r´owno´sci wariacyjnych zastepuj_, acych w tym wypadku r´_, ownanie Eulera-Lagrange’a.

Rozdzia l ten zajmuje sie rozwi_, azywalno´sci_, a tego typu problem´_, ow. Rozdzia l zosta l podzielony na trzy podrozdzia ly. Pierwszy analizuje nier´owno´sci wariacyjne w prze- strzeniach sko´nczenie wymiarowych, drugi zajmuje sie koercytywnymi nier´_, owno´sciami wariacyjnymi w przestrzeniach Hilberta a ostatni nier´ownoa´sciami wariacyjnymi z operatorem monotonicznym w refleksywnych przestrzeniach Banacha.

2 R´ownanie Eulera-Lagrange’a i metody bezpo´srednie rachunku wariacyjnego

Niech Ω ⊂ Rⁿbedzie zbiorem otwartym i ograniczonym z g ladkim brzegiem ∂Ω. Oznaczmy_, przez L funkcje g ladk_, a L : R_, ⁿ× R × Ω → R, kt´orej argumenty bedziemy oznacza´_, c przez (p, z, x). Bedziemy analizowa´_, c funkcjona ly ca lkowe postaci

I(w) = Z

Ω

L(Dw(x), w(x), x) dx (2.1)

w klasie funkcji w : Ω → R takich, ˙ze ich warto´sci brzegowe w|∂Ω sa opisywane zadan_, a_, funkcja g : ∂Ω → R, gdzie_,

Dw(x) = (∂w

∂x₁(x), . . . , ∂w

∂x_n(x)) =: (w_x1(x), . . . , w_xn(x))

oznacza gradient funkcji w w punkcie x. Funkcja podca lkowa L jest nazywana lagran-

˙zjanem aby podkre´sci´c ´scis le zwiazki analizy funkcjona l´_, ow postaci (2.1) z mechanika._, Za l´o˙zmy na razie, ˙ze funkcja g ladka u : Ω → R minimalizuje funkcjona l I w klasie funkcji g ladkich spe lniajacych zadany warunek brzegowy u_{, |∂Ω} = g. Wyka˙zemy, ˙ze wtedy funkcja u spe lnia r´ownanie r´o˙zniczkowe czastkowe zwane w literaturze r´_, ownaniem Eulera- Lagrange’a.

Stwierdzenie Je˙zeli funkcja g ladka minimalizuje funkcjona l I w klasie wszystkich funk- cji g ladkich przyjmujacych na brzegu ∂Ω warto´_, sci zadane funkcja g to u spe lnia r´_, owno´s´c

−

n

X

i=1

∂L

∂p_i(Du(x), u(x), x)

xi

+∂L

∂z(Du(x), u(x), x) = 0 (2.2) dla wszystkich x ∈ Ω. R´owno´s´c powy˙zsza nazywana jest r´ownaniem Eulera-Lagrange’a, kt´ore w zapisie wektorowym przyjmuje posta´c div L_p(Du, u, x) = L_z(Du, u, x).

Dow´od: niech v ∈ C₀^∞(Ω) to znaczy, ˙ze v : Ω → R jest funkcja g ladk_, a o no´sniku_, zawartym w zbiorze Ω. Wtedy suma u + v jest funkcja g ladk_, a spe lniaj_, ac_, a warunek_, brzegowy (u + v)|∂Ω = u|∂Ω+ v|∂Ω = g. Niech s ∈ R bedzie dowoln, a liczb_, a rzeczywist_, a i_, oznaczmy przez f : R → R funkcje f (s) = I(u + sv). Widzimy, ˙ze dla ka˙zdego s funkcja_, u+sv spe lnia zadany warunek brzegowy i jest g ladka. Stad funkcja f przyjmuje w punkcie_, s = 0 globalne minimum. Obliczymy pochodna f_, ⁰.

f⁰(s) =Z

Ω

L(Du + sDv, u + sv, x) dx⁰

= Z

Ω

nXⁿ

i=1

L_pi(Du + sDv, u + sv, x)v_xi + L_z(Du + sDv, u + sv, x)vo dx .

K ladac s = 0 otrzymujemy, ˙ze_, f⁰(0) = 0 =

Z

Ω

nXⁿ

i=1

L_pi(Du, u, x)v_xi + L_z(Du, u, x)vo dx

= Z

Ω

n−

n

X

i=1

L_pi(Du, u, x)

xi

+ L_z(Du, u, x)o v dx

poniewa˙z v ∈ C₀^∞(Ω). Ostatecznie z dowolno´sci v otrzymujemy teze stwierdzenia._, Przyk lad

(a) Niech L(p, z, x) = ¹₂|p|². Wtedy funkcjona l zwiazany z tym lagran˙zjanem ma posta´_, c I(w) = 1

2 Z

Ω

|Dw(x)|²dx .

R´ownanie Eulera-Lagrange’a tego funkcjona lu to r´ownanie Laplace’a ∆u(x) = 0. Po- nadto latwo zauwa˙zamy, ˙ze gdy lagran˙zjan jest funkcja kwadratow_, a to r´_, ownanie Eulera- Lagrange’a jest r´ownaniem liniowym.

(b) Niech L(p, z, x) =p1 + |p|². Wtedy oczywi´scie I(w) =

Z

Ω

p1 + |Dw(x)|²dx .

Z analizy matematycznej wiemy, ˙ze funkcjona l I jest polem powierzchni wykresu funkcji w : Ω → R. Minimalizacja I w klasie funkcji spe lniajacych zadany warunek brzegowy,

jest szukaniem powierzchni minimalnej w Rⁿ⁺¹ o zadanym brzegu. R´ownanie Eulera- Lagrange’a tego funkcjona lu nazywa sie w literaturze r´ownaniem powierzchni minimalnych i przyjmuje posta´c

n

X

i=1

 u_xi p1 + |Du|²



xi

= 0 .

Widzimy, ˙ze w tym przypadku r´ownanie Eulera-Lagrange’a jest nieliniowym r´ownaniem r´o˙zniczkowym czastkowym rz_, edu drugiego._,

Uwaga

(a) Je˙zeli rozwa˙zymy r´ownanie czastkowe, kt´_, ore jest w postaci r´ownania Eulera-Lagrange’a pewnego funkcjona lu I to znalezienie g ladkiego punktu minimalnego I daje nam istnienie rozwiaza´_, n tego r´ownania. Niestety najcze´sciej w zastosowaniach punkty minimalne nie_, sa g ladkie i nie mo˙zemy od razu wnioskowa´_, c, ˙ze sa to rozwi_, azania r´_, ownania wyj´sciowego.

(b) Analizujac drug_, a pochodn_, a funkcji L mo˙zna wykaza´_, c, ˙ze nastepuj_, acy warunek jest_, warunkiem koniecznym istnienia g ladkiego punktu minimalnego

∀ ξ ∈ Rⁿ ∀ x ∈ Ω

n

X

i,j=1

L_pipj(Du, u, x)ξ_iξ_j ≥ 0 .

Widzimy, ˙ze powy˙zsza nier´owno´s´c daje nieujemna okre´slono´s´_, c drugiej pochodnej lagran˙zjanu.

Uog´olnimy teraz ca le rozumowanie na przypadek wektorowy, to znaczy na przypadek gdy

poszukiwane funkcje bed_, a mia ly warto´sci wektorowe z R_, ^m. W tym przypadku lagran˙zjan jest funkcja g ladk_, a L : R_, ^m×n × Rⁿ× Ω → R. Argumenty L bedziemy oznacza´_, c przez (P, z, x) gdzie teraz P jest macierza rzeczywist_, a wymiaru m × n oraz z jest wektorem z_, R^m. Minimalizawa´c bedziemy funkcjona ly ca lkowe w postaci_,

I(w) = Z

Ω

L(Dw(x), w(x), x) dx

w klasie funkcji g ladkich spe lniajacych warunek brzegowy w_{, |∂Ω} = g, gdzie g jest zadana_, funkcja o warto´sciach z R_, ^m.

Wniosek Je˙zeli u jest g ladkim punktem minimalnym powy˙zszego zagadnienia to u spe lnia tak zwany uk lad r´owna´n Eulera-Lagrange’a

−

n

X

i=1

∂L

∂p^k_i (Du(x), u(x), x)



xi

+ ∂L

∂z^k(Du(x), u(x), x) = 0 (2.3) w zbiorze U , gdzie k = 1, 2, . . . , m .

Dow´od tego wniosku jest powt´orzeniem dowodu stwierdzenia, wiec go opuszczamy._, Zadanie 1 Znajd´z funkcje Lagrange’a L tak_, a aby nast_, epuj_, ace r´_, ownanie

−∆u + Dφ Du = f w Ω

by lo r´ownaniem Eulera-Lagrange’a funkcjona lu ca lkowego wyznaczonego przez L, gdzie f i φ sa zadanymi funkcjami g ladkimi._,

Zadanie 2 Niech L(P ) = ^µ₂|¹₂(P +P^T)|²+^λ₂(tr P )²dla P ∈ M^3×3gdzie µ, λ > 0. Wypisz r´ownanie Eulera-Lagrange’a funkcjona lu I(w) = R

Ω(L(Dw) − wf ) gdzie f ∈ L²(Ω; R³).

Wyka˙z, ˙ze funkcja L jest wypuk la, ale nie jest ´sci´sle wypuk la.

Definicja 1 Funkcje Lagrange’a L nazywamy zerowym lagran˙zjanem je˙zeli uk lad r´_, owna´n Eulera-Lagrange’a zwiazany z funkcjona lem I zadanym przez L spe lnia ka˙zda funkcja_, g ladka.

Twierdzenie 1 Niech L bedzie zerowym lagran˙zjanem oraz niech I b_, edzie funkcjona lem_, ca lkowym zadanym przez L. Za l´o˙zmy, ˙ze u, v bed_, a funkcjami g ladkimi takimi, ˙ze u = v_, na brzegu ∂Ω. Wtedy I(u) = I(v).

Dow´od: nale˙zy wykaza´c, ˙ze warto´sci funkcjona l´ow ca lkowych zdefiniowanych przez ze- rowe lagran˙zjany zale˙za tylko od warto´sci brzegowych rozwa˙zanych funkcji. Wi_, ec gdy_, minimalizujemy tego typu funkcjona ly z ustalonym warunkiem brzegowym to otrzymamy funkcjona l sta ly i jasne jest, ˙ze wszystkie funkcje g ladkie spe lniajace warunek brzegowy_, bed_, a punktami minimalnymi. Niech s ∈ [0, 1] i po l´_, o˙zmy f (s) = I(su+(1−s)v). Obliczmy pochodna f_, ⁰(s).

f⁰(s) =Z

Ω

L(sDu + (1 − s)Dv, su + (1 − s)v, x) dx⁰

= Z

Ω

n Xⁿ

i,k=1

L_pk

i(sDu + (1 − s)Dv, su + (1 − s)v, x)(u_xi− v_xi) +

n

X

k=1

L_z^k(sDu + (1 − s)Dv, u + sv, x)(u^k− v^k) o

dx =

n

X

k=1

Z

Ω

n−

n

X

i=1

∂L

∂p^k_i (sDu + (1 − s)Dv, su + (1 − s)v, x)

xi

+

∂L

∂z^k(sDu + (1 − s)Dv, su + (1 − s)v, x)o

(u^k− v^k) dx = 0 .

Ostatnia r´owno´s´c zachodzi, gdy˙z funkcja su + (1 − s)v jest funkcja r´_, owna na brzegu funk-_, cjom u i v. Stad na mocy za lo˙zenia funkcja ta spe lnia uk lad r´_, owna´n Eulera-Lagrange’a.

Ponadto w przedostatniej r´owno´sci nie pojawi la sie ca lka brzegowa gdy˙z funkcja u − v_, znika na brzegu zbioru Ω.

Uwaga W przypadku skalarnym, to znaczy gdy m = 1 jedynymi nietrywialnymi ze- rowymi lagran˙zjanami sa funkcje postaci L(p, z, x) = a(x) · p gdzie pole wektorowe a jest bez´zr´od lowe, czyli div a(x) = 0. Widzimy wiec, ˙ze zerowe lagran˙zjany w przypadku_, skalarnym sa liniowe wzgl_, edem zmiennej p. Dlatego poj_, ecie zerowego lagran˙zjanu jest_, ciekawe tylko w przypadku wektorowym. Nastepne twierdzenie daje nam przyk lad nieli-_, niowego zerowego lagran˙zjanu, kt´ory w przypadku wektorowym bedzie odgrywa l bardzo_, wa˙zna rol_, e._,

Twierdzenie 2 (wyznacznik jako zerowy lagran˙zjan) Niech m = n wtedy L(P ) = det P dla P ∈ R^n×n jest zerowym lagran˙zjanem.

Dow´od: naszym celem jest wykazanie, ˙ze dowolna funkcja g ladka u : Ω → Rⁿ spe lnia uk lad r´owna´n Eulera-Lagrange’a zdefiniowany przez lagran˙zjan L(P ) = det P . Wiec_, nale˙zy wykaza´c, ˙ze

n

X

i=1

 L_p^k

i(Du)

xi

= 0 dla k = 1, 2, . . . , n .

Z algebry liniowej wiadomo, ˙ze (det P )I = P^Tcof P gdzie I jest jedynka macierzow_, a oraz_, cof P jest macierza dope lnie´_, n algebraicznych macierzy P . Powy˙zsza r´owno´s´c zapisana we wska´znikach przyjmuje posta´c (det P )δ_ij = Pn

k=1 p^k_i(cof P )^k_j gdzie i, j = 1, 2, . . . , n . Ta r´owno´s´c dla i = j jest rozwinieciem Laplace’a wyznacznika wzgl_, edem i-tej kolumny a gdy_, i 6= j to otrzymujemy wyznacznik macierzy, w kt´orej i-ta i j-ta kolumna sa takie same. Z_, definicji dope lnienia algebraicznego mamy (cof P )^k_i = (−1)^i+kdet A^k_i gdzie macierz A^k_i jest wymiaru (n − 1) × (n − 1) i powstaje z macierzy P poprzez wykre´slenie i-tej kolumny i k-tego wiersza. Wiec wielomiany (cof P )_, ^k_i dla i, k = 1, 2 . . . , n nie zale˙za od p_, ^k_i co prowadzi do r´owno´sci

∂det P

∂P = cof P . Celem dowodu jest wiec wykazanie r´_, owno´sci

n

X

i=1



(cof Du)^k_i



xi

= 0 dla k = 1, 2, . . . , n . Wr´o´cmy do r´owno´sci (det P )δ_ij =Pn

k=1 p^k_i(cof P )^k_j i wstawmy P = Du otrzymujac_, (det Du)δ_ij =

n

X

k=1

p^k_i(cof Du)^k_j .

R´owno´s´c powy˙zsza r´_, o˙zniczkujemy po x_j i otrzymany wynik sumujemy po j co prowadzi do r´owno´sci

n

X

j=1 n

X

k,m=1

(cof Du)^k_mu^k_xmxjδ_ij =

n

X

k,j=1



(cof Du)^k_ju^k_xixj + u^k_xi((cof Du)^k_j)_xj

gdzie i = 1, 2, . . . , n . Zauwa˙zmy, ˙ze w ostatniej r´owno´sci dwie sumy sie skracaj_, a i otrzy-_, mujemy r´owno´s´c

n

X

k=1

u^k_xi

n

X

j=1

((cof Du)^k_j)_xj = 0 gdzie i = 1, 2, . . . , n .

Ostatnia r´_, owno´s´c mo˙zemy zapisa´c w postaci (Du)w = 0 gdzie wsp´o lrzedne wektora w s_, a_, w postaci w^k =Pn

j=1((cof Du)^k_j)_xj. Je˙zeli w punkcie x₀ macierz Du(x₀) jest nieosobliwa to w(x₀) = 0 co nale˙za lo dowie´s´c. Gdy jednak zachodzi det Du(x₀) = 0 to bierzemy ε > 0 na tyle ma le aby det (Du(x₀) + ηI) 6= 0 dla wszystkich η ∈ (0, ε]. Takie ε istnieje gdy˙z ka˙zda macierz rzeczywista ma tylko sko´nczona ilo´s´_, c warto´sci w lasnych. Powtarzajac ca le_, rozumowanie dla funkcji ˜u = u + ηx (zauwa˙zamy, ˙ze wtedy D˜u = Du + ηI) i otrzymujemy nastepuj_, acy wynik ˜_, w(x₀) = 0 gdzie ˜w^k =Pn

j=1((cof D˜u)^k_j)_xj. Wprost z definicji wektora

˜

w widzimy, ˙ze zale˙zy on w spos´ob ciag ly od η. Przechodz_, ac z η do zera otrzymujemy tez_, e_, twierdzenia.

W nastepnym twierdzeniu, kt´_, ore jest powszechnie znanym faktem topologicznym, zasto- sujemy w dowodzie, ˙ze wyznacznik jest zerowym lagran˙zjanem.

Twierdzenie 3 (twierdzenie Brouwera o punkcie sta lym) Niech u : B(0, 1) → B(0, 1) bedzie funkcj_, a ci_, ag l_, a (B(0, 1) ⊂ R_, ⁿ to jednostkowa kula domknieta). Wtedy u posiada co_, najmniej jeden punkt sta ly.

Dow´od: Wyka˙zemy najpierw, ˙ze sfera nie jest ciag lym retraktem kuli, to znaczy, ˙ze nie_, istnieje funkcja ciag la v : B(0, 1) → ∂B(0, 1) spe lniaj_, aca warunek v(x) = x dla wszyst-_, kich |x| = 1. Dow´od tego faktu poprowadzimy nie wprost. Za l´o˙zmy najpierw, ˙ze istnieje g ladki retrakt v sfery w kule. Niech w(x) = x dla dowolnego |x| ≤ 1. Wtedy widzimy, ˙ze_, funkcje v i w sa r´_, owne na brzegu kuli jednostkowej i dlatego otrzymujemy

Z

B(0,1)

det (Dv(x)) dx = Z

B(0,1)

det (Dw(x)) dx = |B(0, 1)| 6= 0 .

Jednak˙ze warto´sci funkcji v le˙za na sferze jednostkowej co oznacza, ˙ze |v(x)|_, ² = 1.

R´o˙zniczkujac ostatni_, a r´_, owno´s´c mamy (Dv)^T(x)v(x) = 0. Poniewa˙z wektor v(x) jest niezerowy wnioskujemy, ˙ze macierz Dv(x) jest osobliwa dla ka˙zdego x ∈ B(0, 1). Wobec tego R

B(0,1)det (Dv(x)) dx = 0 i otrzymujemy sprzeczno´s´c.

Niech teraz v bedzie ci_, ag lym retraktem. B_, edziemy chcieli skorzysta´_, c z poprzedniego wy- niku, wiec dokonamy procedury wyg ladzenia funkcji v. Najpierw przed lu˙zamy v na ca le_, Rⁿk ladac v(x) = x dla x ∈ R_, ⁿ\B(0, 1). Zauwa˙zamy, ˙ze |v(x)| ≥ 1 dla wszystkich x ∈ Rⁿ. Niech ε > 0 bedzie na tyle ma le, ˙ze funkcja v_{, 1} = η_ε? v spe lnia v₁(x) 6= 0 dla wszystkich x ∈ Rⁿ. Taka liczba istnieje gdy˙z funkcja v jest ciag la a gdy ε d_, a˙zy do zera to v_{, 1} zbiega jednostajnie na zbiorach zwartych do v. Funkcja η_ε jest standardowym, g ladkim i radial- nym jadrem takim, ˙ze_, R

Rⁿη_ε(x) dx = 1. We´zmy dowolny punkt |x| ≥ 2 oraz za l´o˙zmy, ˙ze

ε < 1. Wtedy

(η_ε? v)(x) = Z

Rⁿ

η_ε(x − y)v(y)dy = Z

Rⁿ\B(0,1)

η_ε(x − y)ydy = x

poniewa˙z funkcja x sk lada sie ze sk ladowych harmonicznych. Wobec tego funkcja v_, 2 = (2v₁)/|v₁| jest g ladka i definiuje retrakt kuli B(0, 2) na sfere ∂B(0, 2) (widzimy, ˙ze |v_{, 2}(x)| ≤ 2 oraz dla |x| = 2 mamy v₂(x) = x). Otrzymali´smy sprzeczno´s´c gdy˙z zgodnie z tym co udowodnili´smy na poczatku nie istnieje g ladki retrakt kuli na sfer_, e. W ten spos´_, ob zako´nczyli´smy dow´od, ˙ze sfera nie jest ciag lym retraktem kuli._,

Za l´o˙zmy teraz nie wprost, ˙ze funkcja u nie posiada punkt´ow sta lych. Wiec dla wszystkich_,

|x| ≤ 1 zachodzi u(x) 6= x. Definiujemy odwzorowanie v dla punk´ow domknietej kuli_, jednostkowej w nastepuj_, acy spos´_, ob: v(x) jest punktem, w kt´orym p´o lprosta startujaca_, w punkcie u(x) i przechodzaca przez x przecina sfer_, e jednostkow_, a. St_, ad, ˙ze punkty x i_, u(x) sa r´_, o˙zne warto´s´c v(x) jest jednoznacznie wyznaczona. Ponadto z ciag lo´sci funkcji u_, wynika ciag lo´s´_, c v. Na koniec zauwa˙zamy, ˙ze dla |x| = 1 otrzymujemy v(x) = x i v jest ciag lym retraktem kuli w sfer_, e. Wykazali´smy, ˙ze taki retrakt nie istnieje co natychmiast_, ko´nczy dow´od tego twierdzenia.

Zadanie 3 Zak ladamy, ˙ze n = m.

(a) Niech η : Rⁿ→ R bedzie funkcj, a g ladk_, a. Wyka˙z, ˙ze funkcja L(P, z) = η(z)det P jest_, zerowym lagran˙zjanem.

(b) Wyka˙z, ˙ze funkcja L(P ) = tr (P²) − (tr P )² jest zerowym lagran˙zjanem.

2.1 Teoria istnienia punkt´ow minimalnych w przypadku skalar- nym

Uwaga Zanim zajmiemy sie teori_, a istnienia punkt´_, ow minimalnych rozwa˙zanych funk- cjona l´ow ca lkowych zanalizujemy prosty przypadek istnienia globalnych punkt´ow mini- malnych funkcji rzeczywistych. Niech f : R → R. Jasne jest, ˙ze musimy zak lada´c, ˙ze f jest ograniczona z do lu. Definiujemy liczbe m = inf_{, R}f oraz niech ciag {x_{, k}} bedzie ci_, agiem mi-_, nimalizujacym, to znaczy, ˙ze f (x_{, k}) → m gdy k → ∞. Niestety je˙zeli nie za lo˙zymy niczego wiecej o funkcji f to ci_, ag minimalizuj_, acy nie musi by´_, c ograniczony i mo˙ze nie posiada´c punk´ow skupienia. Prostym przyk ladem funkcji, dla kt´orej obserwujemy takie zachowanie sie ci_, agu minimalizuj_, acego jest f (x) = e_, ^x. Potrzebny jest warunek, kt´ory zagwarantuje nam, ˙ze ciag minimalizuj_, acy nie b_, edzie ucieka l w niesko´_, nczono´s´c. Jednym z takich wa- runk´ow jest tak zwany warunek wymuszania postaci: istnieja sta le α > 0 i β ≥ 0 takie, ze_, f (x) ≥ α|x|^r− β, gdzie wyk ladnik r jest dodatni. Zauwa˙zamy, ˙ze z warunku wymuszania wynika koercytywno´s´c f czyli f (x) → ∞ gdy |x| → ∞. Ponadto warunek wymuszania implikuje te˙z ograniczono´s´c z do lu funkcji f mianowicie f (x) ≥ −β. Niech {x_k} bedzie_, ciagiem minimalizuj_, acym. Z warunku wymuszania otrzymujemy, ˙ze ci_, ag ten jest ograni-_, czony i z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa mo˙zemy z tego ciagu wybra´_, c podciag zbie˙zny,_, kt´ory oznaczamy dalej tym samym symbolem {x_k}. Mamy wiec, ˙ze istnieje ˆ_, x taki ˙ze lim_k→∞x_k = ˆx. Chcieliby´smy aby f (ˆx) = m. Gdy funkcja f jest ciag la w punkcie ˆ_, x to oczywi´scie otrzymujemy ostatnia r´_, owno´s´c. Zauwa˙zmy jednak, ˙ze do otrzymania tego

wniosku wystarczy s labsza w lasno´s´c. Wystarczy zak lada´c, ˙ze f jest p´o lciag la z do lu, to_, znaczy, ˙ze je˙zeli y_k → y to f (y) ≤ lim inf_k→∞f (y_k). Widzimy, ˙ze je˙zeli f jest p´o lciag la z_, do lu to f (ˆx) ≤ lim inf_k→∞f (x_k) = m. Jednak˙ze zgodnie z definicja liczby m wnioskujemy,_,

˙ze f (ˆx) = m i punkt ˆx jest globalnym punktem minimalnym funkcji f . W przypadku analizy funkcjona l´ow okre´slonych na przestrzeniach niesko´nczenie wymiarowych g l´ownym problemem jest brak twierdzenia Bolzano-Weierstrassa w takich przestrzeniach. Jednak˙ze zak ladajac, ˙ze rozwa˙zana przestrze´_, n jest refleksywna lub, ˙ze jest to przestrze´n dualna do pewnej przestrzeni o´srodkowej bedziemy mogli pos lu˙zy´_, c sie s lab_, a lub s lab_, a-? zbie˙zno´sci_, a_, w przestrzeniach Banacha.

Zaczynamy analize istnienia globalnych punkt´_, ow minimalnych funkcjona l´ow w postaci I(w) =

Z

Ω

L(Dw(x), w(x), x) dx od przypadku m = 1, to znaczy, ˙ze w : Ω → R.

Definicja 2

(a) M´owimy, ˙ze lagran˙zjan L jest koercytywny lub spe lnia warunek wymuszania je˙zeli istnieja sta le α > 0, β ≥ 0 oraz q > 1 takie, ˙ze_,

∀ x ∈ Ω ∀ z ∈ R ∀ p ∈ Rⁿ L(p, z, x) ≥ α|p|^q− β .

(b) M´owimy, ˙ze funkcjona l I jest s labo (ciagowo) p´_, o lciag ly dolnie w przestrzeni W_, ^1,q(Ω) je˙zeli I(u) ≤ lim inf_k→∞I(u_k) dla dowolnego ciagu u_{, k} ∈ W^1,q(Ω) s labo zbie˙znego w tej przestrzeni do u.

Uwaga

(a) Je˙zeli lagran˙zjan L spe lnia warunek wymuszania to funkcjona l ca lkowy I zdefiniowany przez ten lagran˙zjan spe lnia I(w) ≥ αkDwk_L^q − β|Ω|.

(b) Przypominamy, ˙ze s laba zbie˙zno´s´c u_k * u w przestrzeni W^1,q(Ω) jest r´ownowa˙zna temu, ˙ze u_k * u w przestrzeni L^q(Ω) oraz Du_k * Du w przestrzeni L^q(Ω; Rⁿ).

Twierdzenie 4 (wypuk lo´s´c a s laba p´o lciag lo´s´_, c dolna) Za l´o˙zmy, ˙ze lagran˙zjan L jest ogra- niczony z do lu oraz funkcja p 7→ L(p, z, x) jest wypuk la dla dowolnych ustalonych warto´sci z ∈ R i x ∈ Ω. Wtedy funkcjona l ca lkowy wyznaczony przez L jest s labo p´o lciag ly dolnie_, w W^1,q(Ω) dla dowolnego q > 1.

Dow´od: mo˙zemy za lo˙zy´c, ˙ze L ≥ 0 gdy˙z je˙zeli L ≥ m dla pewnego ujemnego m ∈ R to przechodzac do lagran˙zjanu L − m otrzymujemy lagran˙zjan nieujemny i ze s labej_, p´o lciag lo´sci dolnej w W_, ^1,q(Ω) funkcjona lu zadanego przez L − m wnioskujemy, ˙ze funk- cjona l zadany przez L jest te˙z s labo p´o lciag ly dolnie w W_, ^1,q(Ω). Niech u_k* u w W^1,q(Ω).

Oznaczmy przez l = lim inf_k→∞I(u_k). Chcemy pokaza´c, ˙ze I(u) ≤ l. Przechodzac do_, podciagu, je˙zeli potrzeba, mo˙zemy za lo˙zy´_, c, ˙ze l = lim_k→∞I(u_k). Z twierdzenia Relicha- Kondraszowa z ciagu {u_{, k}} mo˙zna wybra´c pociag (dalej oznaczany tym samym symbolem)_, taki, ˙ze u_k → u w L^q(Ω) oraz dodatkowo u_k(x) → u(x) dla prawie wszystkich x ∈ Ω.

Ustalmy liczbe ε > 0. Z twierdzenia Jegorowa wynika istnienie zbioru mierzalnego E_{, ε}⊂ Ω takiego, ˙ze |Ω \ E_ε| < ε oraz u_k → u jednostajnie na zbiorze E_ε. Dodatkowo mo˙zemy za lo˙zy´c, ˙ze rodzina zbior´ow {E_ε} jest wstepuj_, aca gdy ε d_, a˙zy monotonicznie do zera. Z_,

nier´owno´sci Czebyszewa dla funkcji f w przestrzeni L^q(Ω) mamy

|{x ∈ Ω : |f (x)| ≤ λ}| ≤ kf k_L^q λ^q .

Oznaczmy wiec F_{, ε} = {x ∈ Ω : |u(x)| + |Du(x)| ≤ ε⁻¹}. Z nier´owno´sci Czebyszewa wynika, ˙ze |Ω \ Fε| → 0 . Ponadto wprost z definicji widzimy, ˙ze rodzina zbior´ow {Fε} jest wstepuj_, aca gdy ε d_, a˙zy monotonicznie do zera. Niech G_{, ε} = E_ε∩ F_ε. Rodzina zbior´ow {G_ε} jest wstepuj_, aca gdy ε d_, a˙zy monotonicznie do zera oraz |Ω \ G_{, ε}| → 0 . Wykorzystujac_, wprowadzone oznaczenia mamy

I(uk) = Z

Ω

L(Duk(x), uk(x), x) dx ≥ Z

Gε

L(Duk(x), uk(x), x) dx ≥ Z

Gε

L(Du(x), u_k(x), x) dx + Z

Gε

D_pL(Du(x), u_k(x), x)(Du_k(x) − Du(x)) dx . W pierwszym oszacowaniu wykorzystali´smy nieujemno´s´c lagran˙zjanu a w drugim za lo˙zona_, wypuk lo´s´c L wzgledem zmiennej p._, Na zbiorze Gε warto´sci |Du(x)| sa ograniczone_, oraz warto´sci |u_k(x)| sa ograniczone gdy˙z ci_, ag u_{, k} na zbiorze G_ε zbiega jednostajnie oraz warto´sci granicy |u(x)| sa ograniczone. Mo˙zemy wi_, ec ograniczy´_, c dziedzine funk-_, cji L do zbioru zwartego. Funkcja L jako g ladka jest jadnostajnie ciag la na tym zbiorze_, zwartym i stad, ˙ze u_{, k} → u jednostajnie na G_ε wnioskujemy, ˙ze L(Du(x), u_k(x), x) → L(Du(x), u(x), x) jednostajnie na G_ε. Podobnie argumentujac otrzymujemy, ˙ze_,

D_pL(Du(x), u_k(x), x) → D_pL(Du(x), u(x), x) jednostajnie na Gε. Wiec wnioskujemy, ˙ze_,

Z

Gε

(DpL(Du(x), uk(x), x) − DpL(Du(x), u(x), x))(Duk(x) − Du(x)) dx   

≤ kDpL(Du, uk, ·) − DpL(Du, u, ·)kL^pkDuk− DukL^q → 0

gdy˙z pierwsza norma da˙zy do zera z jednostajnej zbie˙zno´sci a druga norma jest ograni-_, czona (liczba p jest sprze˙zonym wyk ladnikiem do q). Ponadto zauwa˙zamy, ˙ze_,

k→∞lim Z

Gε

DpL(Du(x), u(x), x)(Duk(x) − Du(x)) dx = 0

wprost z definicji s labej zbie˙zno´sci ciagu gradient´_, ow w L^q(Ω; Rⁿ) (funkcja D_pL(Du(x), u(x), x) jest ograniczona na zbiorze Gε i dlatego jest dobra funkcj_, a testuj_, ac_, a.) Ostatecznie otrzy-_, mujemy, ˙ze

l = lim

k→∞I(uk) ≥ Z

Gε

L(Du(x), uk(x), x) dx .

Stad, ˙ze ci_, ag {χ_{, Gε}L(Du(x), u(x), x)} jest ciagiem monotonicznym gdy ε → 0 monotonicz-_, nie wnioskujemy z twierdzenia o monotonicznym przej´sciu do granicy pod znakiem ca lki,

˙ze

l ≥ lim

ε→0

Z

Ω

χ_GεL(Du(x), u(x), x) dx = Z

Ω

L(Du(x), u(x), x) dx = I(u) .

Twierdzenie 5 (o istnieniu punkt´ow minimalnych) Niech g ∈ L^q(∂Ω) oraz niech A = {w ∈ W^1,q(Ω) : w|∂Ω = g} bedzie zbiorem niepustym. Niech L b_, edzie lagran˙zjanem_,

koercytywnym bed_, acym funkcj_, a wypuk l_, a wzgl_, edem zmiennej p. Niech ponadto istnieje_, w ∈ A taka, ˙ze I(w) < +∞ gdzie I jest funkcjona lem ca lkowym wyznaczonym przez lagran˙zjan L. W´owczas istnieje co najmniej jedna funkcja u ∈ A taka, ˙ze

I(u) = inf

w∈AI(w) .

Dow´od: niech m = inf_w∈AI(w) . Z koercytywno´sci L wynika, ˙ze m jest liczba sko´_, nczona._, Niech u_k ∈ A bedzie ci_, agiem minimalizuj_, acym, czyli I(u_{, k}) → m. Ponownie z koer- cytywno´sci mamy I(u_k) ≥ αkDu_kk^q_Lq − β|Ω| i zauwa˙zajac, ˙ze lewa strona jest ciagiem_, zbie˙znym wnioskujemy o ograniczono´sci ciagu gradient´_, ow w przestrzeni L^q(Ω; Rⁿ). Niech w ∈ A. Wtedy wykorzystujac nier´_, owno´s´c Poincare mamy

kukkL^q ≤ kuk− wkL^q+ kwkL^q ≤ CkDuk− DwkL^q + kwkL^q ≤ C(kDukkL^q + kwk_W^1,q) . Ostatecznie otrzymujemy, ˙ze ciag {u_{, k}} jest ograniczony w przestrzeni W^1,q(Ω). Z reflek- sywno´sci przestrzeni L^q(Ω) wnioskujemy, ˙ze istnieje podciag (dalej oznaczany tym samym_, symbolem) s labo zbie˙zny w przestrzeni W^1,q(Ω) (u_k * u). Stad, ˙ze zbi´_, or A jest wypuk ly i domkniety w topologii przestrzeni W_, ^1,q(Ω) wnioskujemy, ˙ze u ∈ A. Ze s labej p´o lciag lo´sci_, dolnej funkcjona lu I (patrz twierdzenie poprzednie) otrzymujemy I(u) ≤ lim_k→∞I(u_k) = m co oczywi´scie implikuje, ˙ze I(u) = m i dow´od jest zako´nczony.

Uwaga Nastepne twierdzenie dostarcza nam pewnych warunk´_, ow wystarczajacych do_,

uzyskania jednoznaczno´sci globalnych punkt´ow minimalnych rozwa˙zanych zagadnie´n. W og´olno´sci oczywi´scie nie mo˙zemy wnioskowa´c o jednoznaczno´sci o czym ´swiadcza elementarne przyk lady_, nawet w´sr´od funkcji rzeczywistych.

Twierdzenie 6 (o jednoznaczno´sci punkt´ow minimalnych) Niech g ladki lagran˙zjan L bedzie funkcj_, a zale˙zn_, a tylko od p i x, to znaczy L : R_, ⁿ× Ω → R . Za l´o˙zmy dodatkowo, ˙ze funkcja L jest jednostajnie wypuk la wzgledem zmiennej p, to znaczy, ˙ze_,

∃ θ > 0 ∀ ξ ∈ Rⁿ ∀ p ∈ Rⁿ ∀ x ∈ Ω

n

X

ij=1

L_pipj(p, x)ξ_iξ_j ≥ θ|ξ|².

Niech A bedzie niepustym zbiorem zdefiniowanym w twierdzeniu 5 oraz za l´_, o˙zmy, ˙ze istnieje w ∈ A taka, ˙ze I(w) < +∞. Wtedy istnieje co najwy˙zej jedna funkcja u ∈ A taka, ˙ze

I(u) = inf

w∈AI(w) .

Dow´od: zal´o˙zmy, ˙ze u, v ∈ A sa dwoma globalnymi punktami minimalnymi. Z wy-_, puk lo´sci zbioru A mamy w = 1/2(u + v) ∈ A. Wyka˙zemy, ˙ze I(w) ≤ 1/2(I(u) + I(v)) . Z jednostajnej wypuk lo´sci lagran˙zjanu wzgledem zmiennej p otrzymujemy_,

∀ x ∈ Ω ∀ p, q ∈ Rⁿ L(p, x) ≥ L(q, x) + D_pL(q, x)(p − q) + θ

2|p − q|² (2.4) (wykres jest podpierany przez parabolidy obrotowe o sta lym rozchyleniu, a nie tylko przez p laszczyzny w przypadku zwyk lej wypuk lo´sci). Podstawmy w (2.4) p = Du, q = 1/2(Du + Dv) = Dw otrzymujac_,

L(Du, x) ≥ L(Dw, x) + D_pL(Dw, x)1

2(Du − Dv) + θ

8|Du − Dv|².