Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Wykład 5 - Sterowanie w przestrzeni złączy
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski
Instytut Automatyki i Robotyki
Warszawa, 2019
Zadanie sterowania
Zadanie sterowania
Sterowanie manipulatorów polega na wyznaczaniu przebiegów czasowych wejściowych sygnałów sterujących poszczególnych złącz układu wieloczło- nowego, pod wpływem których koncówka układu będzie wykonywać zadany ruch. W zależności od struktury układu sterowania, sygnałami wejściowymi mogą być siły uogólnione (tzn. siły lub momenty sił) wywierane przez na- pędy na poszczególne złącza lub sygnały napędów, np. napięcia wejściowe silników.
Zadany ruch jest zazwyczaj określany jako sekwencja położeń i orientacji końcówki manipulatora lub też jako ciągła ścieżka ruchu.
Cele sterowania
Sterowanie pozycyjne
W przypadku sterowania pozycyjnego, celem układu wieloczłonowego jest uzyskanie określonego położenia i oreintacji docelowej, bez względu na to po jakiej trajektori manipuator się porusza.
Śledzenie trajektorii
W przypadku śledzenia trajekorii, celem układu wieloczłonowego jest od- twarzanie zadanej trajetorii. Trajektoria jest określona w przestrzeni złączy lub w przestrzeni kartezjańskiej, najczęściej w postaci krzywej zadanej pa- rametrycznie, lub explicite jako funkcja czasu. Ponadto znane są przebiegi prędkości i przyspieszenia wzdłuż krzywej.
Zadanie mechanizmu wieoczłonowego
Zadanie, które ma wykonać mechanizm wieloczłonowy jest zwykle definio- wane w przestrzeni kartezjańskiej (przestrzeni zadań), natomiast sygnały sterujące oddziałują w przesztrzeni konfiguracyjnej (przestrzeni złączy).
Prowadzi to do rozważania dwóch podstawowych kategorii układów stero- wania układów wieloczłonowych
uklad sterowania w przestrzeni złączy, układ sterowania w przestrzeni zadań.
W obydwu przypadkach wykorzystywane jest sprzężenie zwrotne ze względu na jego właściwości, takie jak odporność na niedokładność parametrów układu i redukowanie wpływu zakłóceń.
Sterowanie w przestrzeni zadań i w przestrzeni złączy
Rysunek:Schemat blokowy układu sterowania w przestrzeni złączy
Gdzie: xd - wektor wejściowy opisujący zadane położenie i orientację koncówki w prze- strzeni zadań, qd - wektor zadanych współrzędnych uogólnionych w przestrzeni złączy, x - wektor rzeczywistego położenia i orientacji końcówki w przestrzeni zadań, q - wektor rzeczywistych współrzędnych uogólnionych w przestrzeni złączy.
Sterowanie w przestrzeni złączy bazuje na obliczeniu kinematyki odwrotnej off-line.
Wadą sterowania w przestrzeni złączy jest to, że wielkości wejściowe określone w prze- strzeni zadań nie są objęte pętlą sprzężenia zwrotnego i są właściwie regulowane w układzie otwartym. Zatem jakakolwiek niedokładność struktury mechanicznej (np. luzy w przegubach, nieprecyzyjność w określeniu położenienia końcowki manipulatora) pro- wadzi do pogorszenia dokładności działania uładu sterowania.
Sterowanie w przestrzeni zadań i w przestrzeni złączy
Rysunek:Schemat blokowy układu sterowania w przestrzeni zadań
Sterowania w przesztrzeni zadań, wymaga większegoy nakładu mocy obliczeniowej, gdyż obliczanie kinematyki odwrotnej jest wykonywane on-line przez regulator, objęty pętlą sprzężenia zwrotnego. Zaletą tego układu jest oddziaływanie bezpośrednio na zmienne w przestrzeni zadań. Ponieważ sensory mierzą zwykle dokładnie położenia w przestrzeni złączy, wymagane jest wyznaczenie (estymacja) aktualnych wartości zmien- nych w przestrzeni zadań.
Sterowanie w przestrzeni złączy
Jedną z najbardziej popularnych metod sterowania pozycyjnego w robotyce jest metoda modelu odwrotnego. Jest to metoda linearyzacji i dekompo- zycji modelu matematycznego manipulatora, dzięki której można sterować niezależnie wszystkimi ramionami robota z wykorzystaniem technik ste- rowania obiektami liniowymi.
Metoda modelu odwrotnego ma tę zaletę w porównaniu z innymi metodami linearyzacji (np. rozwinięcie w szereg Taylora) modelu, że kompensuje nieliniowości w całym zakresie zmian współrzędnych złączowych (Q), a nie tylko w pobliżu punktu, wokół którego line- aryzujemy model.
Sterowanie układami drugiego rzędu - Rozdzielenie prawa sterowania
Zależy nam na tym, żeby układ liniowy drugiego rzędu m¨x + b ˙x + kx = f doprowadzić do postaci, w której opisujemy ruch masy jednostkowej przy wymuszeniu f0
¨
x = f0 (1)
Z drugiej strony, chcemy również swobodnie dobierać sztywność oraz tłumienie układu zamkniętego niezależnie od parametrów układu (czyli m, b i k)
¨
x + kvx + k˙ px = 0 (2)
Z powyższych równań wynika, że wartość wejścia f0 należy obliczyć z:
f0= −kvx − k˙ px (3)
co stanowi prawo sterowania o pożądanej sztywności kp i tłumieniu kv
(część sprzężeniowa)
Sterowanie układami drugiego rzędu - Rozdzielenie prawa sterowania
Jeżeli do równania ruchu układu otwartego oryginalnego układu m¨x + b ˙x + kx = f podstawimy ¨x = f0, mamy
f = mf0+ b ˙x + kx (4)
ogólnie zapisujemy (tzw. modelowa część prawa sterowania)
f = αf0+ β (5)
gdzie
α = m
β = b ˙x + kx (6)
Część modelowa sprawia, że mamy liniową zależność między nowym wejściem f0 sterującym masą jednostkową (bez tarcia i sprężystości) a faktycznym wejściem sterującym f .
Sterowanie układami drugiego rzędu - Rozdzielenie prawa sterowania
Część modelowa
f = mf0+ b ˙x + kx Część sprzężeniowa (prawo sterowania)
f0= −kvx − k˙ px
Sterowanie układami drugiego rzędu - Sterowanie nadążne
Zadana jest trajektoria (¨xd, ˙xd, xd)
Prawo sterowania dla uchybów e = xd− x i ˙e = ˙xd− ˙x ma postać:
f0= ¨xd+ kve + k˙ pe (7)
Z zależności f0= ¨x oraz ¨e = ¨xd− ¨x mamy:
¨
e + kve + k˙ pe = 0 (8)
Sterowanie układami drugiego rzędu - Eliminowanie zakłóceń
Równanie uchybu układu o zamkniętej pętli
¨
e + kve + k˙ pe = fdist (9) W stanie ustalonym ¨e = ˙e = 0 mamy:
e = fdist/kp (10)
czyli im większe wzmocnienie tym mniejsza odchyłka w stanie ustalonym
Sterowanie układami drugiego rzędu - Eliminowanie zakłóceń
Prawo sterowania z członem całkującym (PID) eliminuje odchyłkę w stanie ustalonym:
f0 = ¨xd+ kve + k˙ pe + ki Z
edt (11)
Wadą tego podejścia jest występowanie przeregulowania, dlatego też częściej stosuje się regulator postaci PD+I
f0= ¨xd+ kve + k˙ pe + ki
Z
(kve + k˙ pe)dt (12)
Sterowanie w przestrzeni złączy - Odsprzęganie
Rysunek:Schemat blokowy układu sterowania z modelem odwrotnym
Sterowanie w przestrzeni złączy - Odsprzęganie
W strukturze sterowania możemy wyróżnić dwie pętle sprzężenia zwrot- nego:
Pętlę wewnętrzną linearyzującą i rozdzielająca prawo sterowania na cześć modelową oraz sprzężeniową
Pętlę zewnętrzną sprzężenia zwrotnego pozwalającą na sterowanie manipulatora w żądany sposób
Głównym wymaganiem przy stosowaniu metody odwrotnego modelu do sterowania jest konieczność zapewnienia dokładnych oraz szybkich pomia- rów współrzędnych złączowych, oraz znajomość dokładnych wartości para- metrów kinematycznych i dynamicznych. W rzeczywistości jest to zawsze obarczone błędami, co powoduje ze stosowane są różne metody kompen- sacji niedokładności w trakcie pracy robota (kompensacja w czasie rzeczy- wistym).
Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie
Dynamika układu wieloczłonowego ma postać
τ = M(Q) ¨Q + V (Q, ˙Q) + G (Q) + F (Q, ˙Q) (13) Gdy dynamika manipulatora jest znana, prawo sterowania może zostać zapisane jako:
τ = ˆM(Q) · U + ˆH(Q, ˙Q) (14) gdzie: ˆM(Q) oraz ˆH(Q, ˙Q), stanowią oszacowania ˆM(Q) ' M(Q), H(Q, ˙Q) ' V (Q, ˙Q) + G (Q) + F (Q, ˙Q).
Natomiast syngały sterujące po odsprzęgnięciu przyjmują postać U = ¨Qd+ KV · ˙Qd− ˙Q
+ KP· (Qd− Q) (15) gdzie: KV = diag[kvi] ∈ Rn×n, KP = diag[kpi] ∈ Rn×n - macierze
wzmocnień regulatorów w przegubach.
Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie
Po podstawieniu (2) i (3) do (1) otrzymuje się zależność Mˆ
(Q) · ¨Qd+ KV · ( ˙Qd− ˙Q
+KP·(Qd− Q)+ ˆH(Q, ˙Q)] = M(Q) ¨Q+H(Q, ˙Q) (16) Ostatecznie otrzymuje się tzw. równanie błędu postaci
E + K¨ V · ˙E + KP· E = ˆM−1·
∆M(Q) · ¨Q + ∆H(Q, ˙Q)
(17)
∆M(Q) = M(Q) − ˆM(Q) (18)
∆H(Q, Q) = H(Q, ˙Q) − ˆH(Q, ˙Q) (19)
E = (Qd− Q) (20)
Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie
W przypadku gdy model jest całkowicie znany, zachodzą zależności:
M(Q) = ˆM(Q) ⇒ ∆M(Q) = 0 (21) H(Q, ˙Q) = ˆH(Q, ˙Q) ⇒ ∆H(Q, ˙Q) = 0 (22) otrzymuje się liniowe równanie błedu:
E + K¨ V · ˙E + KP· E = 0 (23) W idealnym przypadku, po odsprzęgnieciu, porzez odpowiedni dobór stałych KV oraz KP, uzyskać można żądaną odpowiedź układu regulacji.
Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie
Rysunek:Schemat układu sterownia przy pomocy modelu odwrotnego - odsprzęganie
Schemat ten pokazuje kilka istotnych elementów, na które należy zwrócić uwagę. Po pierwsze wymagana jest zajomość wszystkich zmiennych przegubowych, oraz ich pochodnych - co wymaga dla danej trajektorii efektora rozwiązania zadania kinematyki
Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie
Osiąnięcie idealnej sytuacji w praktyce jest bardzo trudne. Głównie z powodu zmien- ności wartości parametrów modelu. W wiekszości sytuacji nie znany jest idealny model obiektu. Występuje także wiele zjawisk trudnych do modelowania (m.in. tarcie, luzy przekładni).
W celu minimalizacji wpływu tych czynników na jakość sterowania wprowadza się do układu sterowania moduły oparte na układach dynamicznych, modelujących on-line zachowanie układu wieloczłonowego (np. sieci neuronowe, obserwatory stanu). Możliwe są różne podejścia:
Kompensacja on-line: element dynamiczny może być użyty w celu generacji dodatkowego momentu kompensującego efekty związane z niepewnościami w układzie wieoczłonowym.
Uczenie off-line i kompensacja on-line: element dynamiczny może modelować składowe sprzężenia linearyzującego związane z modelem manipulatora, zmieniając parametry modelu podczas pracy układu jeśli zajdzie taka potrzeba.
Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie i kompensacja on-line
Rysunek:Schemat układu sterownia przy pomocy modelu odwrotnego - odsprzęganie i kompensacja on-line
Sterowanie w przestrzeni złączy - odsprzęganie, uczenie off-line oraz modyfikacja on-line
Rysunek:Schemat układu sterownia przy pomocy modelu odwrotnego - uczenie off-line oraz modyfikacja on-line
Wybór napędów złączy
Wybór napędów złączy (silniki z przekładniami mechanicznymi) ma wpływ na wybór odpowiedniej strategii sterowania.
Wykorzystanie silników elektrycznych z przekładniami (gearboxes) do napędzania ogniw układu wieloczłonowego.
Stosowanie dużych przełożeń prowadzi do linearyzacji dynamiki układu wieloczłonowego, wskutek czego następuje odsprzęganie poszczególnych złączy. Negatywnym efektem jest zwiększenie wpływu tarcia w złączach, występowanie elastyczności i luzu. Może to bardziej ograniczyć efektywność działania układu wieloczłonowego niż siły inercji odśrodkowe i Coriolisa.
Wykorzystanie napędów bezpośrednich (ang. direct drives) do napędzania ogniw układu wieloczłonowego. Są to zwykle silniki prądu stałego z magnesami trwałymi, charakteryzujące się dużym momentem obrotowym, połączone mechanicznie z osią złącza.
Pominięcie przekładni eliminuje lub zmniejsza występowanie tarcia, elastyczności i luzu, ale wpływ nieliniowości dynamiki i sprzężeń między złączami staje się istotny. Wymaga też znacznie bardziej złożonych algorytmów sterowania
Niezależne sterowanie osiami robota
Założenia upraszczające:
z punktu widzenia układu sterowania każda oś jest autonomiczna, czyli mamy układ o jednym wejściu i jednym wyjściu,
regulator jest układem liniowym,
sprzężenia dynamiczne pomiędzy stopniami swobody są dostatecznie małe i są traktowane jako zakłócenia.
Niezależne sterowanie osiami robota/silnik z przekładnią
τm= kmia – moment obrotowy wirnika, gdzie ia – natężenie prądu twornika, km – stała momentu silnika
η – przełożenie przekładni
Im, I – momenty bezwładności wirnika i koła zamachowego
bm, b – współczynnik tarcia wiskotycznego w łożyskach wirnika i koła zamachowego
Niezależne sterowanie osiami robota
Silnik z przekładnią
Moment obrotowy w zależności od zmiennych obciążenia
τ = I + η2Im ¨q + b + η2bm ˙q (24) gdzie: I + η2Im – zredukowany moment obrotowy, b + η2bm – tłumienie zastępcze.
Niezależne sterowanie osiami robota
Założenia upraszczające, wynikające z zastosowania przekładni:
Indukcyjność silnika może być pominięta.
Zakładając duże przełożenia zredukowany moment bezwładności jest stały i równy Imax + η2Im.
Podatności manipulatora są pomijane, ale przy ustalaniu współczynników wzmocnienia należy wziąć pod uwagę częstość rezonansu strukturalnego ωrez - do jego oszacowania należy okonać analizy częstotliwościowej układu.
Niezależne sterowanie osiami robota
Sterowanie jednym stopniem swobody Stosujemy rozdzielne prawo sterowania
(α = Imax + η2Im β = b + η2bm
(25)
Wejście sterujące
τ0 = ¨qd+ kve + k˙ pe (26) Wzmocnienia (zależne od częstotliwości rezonansu strukturalnego - ωrez)
kp=1
4ω2rez kv = 2pkp= ωrez
(27)
Sterowanie układami nieliniowymi
Linearyzacja lokalna (wokół punktu pracy) np. za pomocą rozwinięcia w szereg Taylora nie nadaje się do sterowania manipulatorami.
Metoda rozdzielonego prawa sterowania pozwala na linearyzację układu nieliniowego w całym zakresie współrzędnych.
Modelowanie napędu złączy - silniki DC
Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi w układach regulacji. Zalety:
duży moment obrotowy, dobra sprawność, małe wymiary.
Wady:
iskrzenie (zakłócenia przemysłowe), zużywanie się szczotek komutatora.
W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat wprowadzono na rynek szereg silni- ków prądu stałego o specjalnej konstrukcji, charakteryzujących się bardzo dobrymi właściwościami dynamicznymi.
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Rysunek:Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Moment obrotowy w silnikach elektrycznych powstaje na skutek oddziały- wania między zewnętrznym polem magnetycznym, a polem magnetycznym powstającym wokół przewodnika, przez który płynie prąd.
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
‘
Rysunek:Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym W silnikach prądu stałego małej mocy zewnętrzne pole magnetyczne wy- twarzane jest zazwyczaj przez magnesy trwałe, umieszczone w nierucho- mej obudowie silnika zwanej stojanem.
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Rysunek:Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Znajdujący się w polu magnetycznym stojana wirnik zawiera uzwojenia składające się z wielu ramek przewodów połączonych z komutatorem.
Zazwyczaj uzwojenia te nawinięte są na rdzeniu z materiału ferromagne- tycznego. W wyniku współdziałania strumienia stojana i prądu przepływa- jącego w uzwojeniach wirnika powstaje moment obrotowy.
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Rysunek:Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Aby moment obrotowy działający na wirnik był maksymalny, wektory stru- mienia magnetycznego stojana i wirnika powinny być względem siebie pro- stopadłe. Zapewnia to komutator, który przełącza kolejne ramki uzwojenia wirnika, powodując odpowiednie zmiany kierunku przepływającego prądu.
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Rysunek:Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Napięcie zasilające komutator doprowadzane jest przez szczotki, wykonane ze specjalnie spreparowanego węgla. W silnikach tego typu obwodem ste- rowania jest zawsze obwód wirnika. Zmiany napięcia zasilającego ob- wód sterowania wywołują zmiany momentu obrotowego a tym samym, przy określonym momencie obciążenia wirnika, zmianę prędkości kątowej wirnika.
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Rysunek:Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika
parametry elektryczne
Uz – napięcie zasilające wirnik, iw – prąd płynący w uzwojeniach wirnika, Rw – rezystancja zastępcza uzwojeń wirnika, Lw – indukcyjność zastępcza uzwojeń wirnika, E – siła elektromotoryczna indukcji, ωs– prędkość kątowa wirnika.
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Rysunek:Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika
parametry mechaniczne
Ms– moment obrotowy wirnika, ωs – prędkość kątową wirnika, B – współ- czynnik tarcia lepkiego zredukowany do wału wirnika, J – moment bez- władności zredukowany do wału wirnika, Mobc – stały moment obciążenia silnika.
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Tworząc model silnika należy zwrócić uwagę na znalezienie zależności po- między napięciem zasilającym silnik (Uz) a prędkością kątową silnika (ωs).
Rozważając osobno elektryczne i mechaniczne parametry obwodu wirnika można napisać dwa równania modelujące jego działanie.
Na podstawie schematu zastępczego oraz II-go prawa Kirchhoffa można napisać równanie elektryczne silnika
Uz= URw + ULw + E (28)
Moment obrotowy wirnika, wykorzystywany do pokonania
momentów przeciwstawiających się jego ruchowi można zapisać jako Ms = Ma+ Mv+ Mobc (29)
Budowa i działanie silnika DC - zależności elektryczne
Napięcie na rezystancji uzwojeń wirnika jest proporcjonalne do prądu przez niego płynącego
URw = Rwiw (30)
Napięcie odniesione do indukcyjności wirnika jest proporcjonalne do zmian prądu przez niego płynącego (straty w obwodzie magnetycznym zostały tutaj pominięte)
ULw = Lwdiw
dt (31)
Gdy wirnik wykonuje ruch obrotowy, w jego uzwojeniach indukowana jest siła elektromotoryczna indukcji (SEM), której wartość jest proporcjo- nalna do prędkości kątowej wirnika
E = keωs (32)
gdzie: ke– stała elektryczna, zależna m.in. od strumienia magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika.
Podstawiając kolejne składowe napięcia Uz do równania, otrzymamy Uz = Rwiw+ Lw
diw
dt + keωs (33)
Budowa i działanie silnika DC - zależności mechaniczne
Zakładając, że strumień magnetyczny stojana ma wartość stałą, moment obrotowy wirnika, proporcjonalny do prądu płynącego przez wirnik ma postać
Ms = kmiw (34)
gdzie km– stała mechaniczna, zależna m.in. od strumienia magnetycz- nego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika.
Moment związany z przyspieszeniem kątowym wirnika ma postać
Ma= Jd ωs
dt (35)
Moment związany z oporami ruchu wirnika
Mv = Bωs (36)
Podstawiając kolejne składowe momentu Ms do równania kmiw= Jd ωs
dt + Bωs+ Mobc (37)
Równanie dynamiki silnika DC
Układ równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC
Uz = Rwiw+ Lwdiw
dt + keωs kmiw = Jd ωs
dt + Bωs+ Mobc
(38)
stosując przekształcenie Laplace’a
Uz(s) = Rwiw(s) + Lwsiw(s) + keωs(s) kmiw(s) = Jsωs(s) + Bωs(s) + Mobc
(39) a następnie określając zmienną wiążącą jako iw(s)
iw(s) = Uz(s) − keωs(s) Rw+ Lws
iw(s) = Jsωs(s) + Bωs(s) + Mobc
km
(40)
czyli
Uz(s) − keωs(s)
Rw+ Lws =Jsωs(s) + Bωs(s) + Mobc
km (41)
Równanie dynamiki silnika DC
Przyjmując
Uz(s) − keωs(s)
Rw+ Lws = Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc
km
(42) można zapisać zależność wiążącą napięcie zasilające silnik i prędkość ką- tową wirnika
kmUz(s) − kmkeωs(s) = (Rw+ Lws)(Jsωs(s) + Bωs(s) + Mobc) (43)
Rysunek:Schemat blokowy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika
Równanie dynamiki silnika DC
Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z ma- gnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, czyli:
Mobc= 0 (44)
co daje transmitancję operatorową postaci G (s) = ωs
Us(s)= km
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (45) Tak więc otrzymujemy uproszczony opis silnika w postaci układu liniowego, stacjonarnego, o charakterze układu oscylacyjnego.
Opis w postaci transmitancji
Transmitancja operatorowa silnka DC (przy założeniu Mobc= 0) G (s) = ωs
Us(s)= km
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (46) stosując następujące podstawienia
kω20= km
LwJ, 2ξω0= RwJ + LwB
LwJ , ω20=kmke+ RwB
LwJ (47)
można ją zapisać w postaci transmitancji układu oscylacyjnego G (s) = Y (s)
U(s) = kω02
s2+ 2ξω0s + ω02 (48) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω0- pulsacja drgań nietłumio- nych.
Człon oscylacyjny - właściwości
Transmitancja operatorowa G (s) = Y (s)
U(s) = kω02
s2+ 2ξω0s + ω02 (49) Odpowiedź na wymuszenie skokowe
y (t) = L−1
ust1
s
kω20 s2+ 2ξω0s + ω0
= kust
"
1 − 1
p1 − ξ2e−ξω0tsin ω0
p1 − ξ2t + φ
# (50)
φ = arctg
p1 − ξ2
ξ (51)
Człon oscylacyjny - właściwości
Rysunek:Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego - wpływ współczynnika tłumienia ξ
Człon oscylacyjny - właściwości
Transmitancja widmowa
G (j ω) = kω20[(ω20− ω2) − j 2ξω0ω]
(ω02− ω2)2+ (2ξω0ω)2 (52)
Rysunek:Charakterystyka amplitudowo-fazowa - zależność od współczynnika
Człon oscylacyjny
Transmitancja widmowa
G (j ω) =kω20[(ω20− ω2) − j 2ξω0ω]
(ω20− ω2)2+ (2ξω0ω)2 (53)
P(j ω) = kω20[(ω02− ω2)]
(ω02− ω2)2+ (2ξω0ω)2 (54) Q(j ω) = − k[2ξω30ω]
(ω20− ω2)2+ (2ξω0ω)2 (55) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω0- pulsacja drgań nietłumionych.
Rysunek:Logarytmiczne
charakterystyki amplitudowa i fazowa
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Do przeprowadzenia numerycznej symulacji działania silnika należy zdefi- niować jego parametry (współczynniki i stałe).
Przykładowo:
Rezystancja zastępcza uzwojeń wirnika: Rw= 2 Ω, Indukcyjność zastępcza uzwojeń wirnika: Lw= 0.1 H, Stała elektryczna: ke= 0.1 V · s
rad ,
Moment bezwładności zredukowany do wału wirnika:
J = 0.1 kg · m2 s2 ,
Współczynnik tarcia lepkiego zredukowany do wału wirnika:
B = 0.5 Nm · s rad ,
Stała mechaniczna: km= 0.1 Nm A .
Realizacje układów sterowania zwykłego silnika DC
Realizacje układów sterowania zwykłego układy jednoobwodowe,
układy kaskadowe,
układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu:
fizykalnych lub fazowych.
Układy jednoobwodowe
Układy jednoobwodowe
Są to proste układy regulacji, z wykorzystaniem regulatorów z konwencjo- nalnym działaniem typu P, PD, PI, PID, lub z odpowiednio zmodyfiko- wanymi działaniami. W wersji dyskretnej wyróżnia się dwie realizacje tego rodzaju układu regulacji
pozycyjną, przyrostową.
Układy jednoobwodowe
Wersja pozycyjna (rzadko stosowana) - PID
u(k) = αPkPes(k) + αI
1 TI
k−1
X
i =1
[es(i )Tp] + αDTD
es(k) − es(k − 1) Tp
(56) Ze względu na całkowanie wersja ta wymaga pamiętania informacji o odchyłce es(k) od początku sterowania, aż do chwili bieżącej i = k.
Układy jednoobwodowe
Wersja przyrostowa
u(k)−u(k−1) = kP
es(k) − es(k − 1) +Tp
TIes(k − 1) + TDes(k) − 2es(k − 1) + es(k − 2) Tp
(57)
w wersji rekursywnej
u(k) = u(k − 1) + q0es(k) + q1es(k − 1) + q2es(k − 2) (58) gdzie:
q0= kp
1 + TD
Tp
, q1= −kp
1 − Tp
TI
+2TD Tp
, q2= kpTD Tp
(59) Transmitancję dyskretną działania regulacyjnego opisuje zależność
GPID(z) = u(z)
es(z) = q0+ q1z−1+ q2z−2
1 − z−1 (60)
Układy jednoobwodowe
UWAGI
w wersji dyskretnej – inaczej niż w ciągłej – można wprowadzić różniczkowanie quasi-idealne przez zastąpienie go operatorem różnicy, którego wartości są skończone nawet w przypadku skokowej zmiany wartości zadanej s0(k)
dla doboru nastaw można stosować różne podejścia, w praktyce np.
wymuszanie przy pomocy sterowania proporcjonalnego kP drgań niegasnących układu napędowego o okresie Tkr (kP = kkr) i dobór nastaw na podstawie oferowanych tablic (np. Ziegler, Nichols, 1942) lub innych zależności.
Dobór okresu próbkowania
Przy projektowaniu cyfrowych układów regulacji, bardzo ważnym zagadnieniem jest wła- ściwy dobór okresu próbkowania wartości sygnałów analogowych. Zgodnie z twierdze- niem o próbkowaniu Shannon’a, znanym również jako twierdzenie Whittaker-Nyquist- Kotelnikov-Shannon, częstotliwość próbkowania musi być większa od dwukrotności naj- wyższej składowej częstotliwości, charakteryzującej mierzony sygnał:
fP> 2 · fs (61)
Okres próbkowania, stanowiący odwrotność częstotliwości próbkowania, określony jest zatem zależnością:
Tp< 1 2 · fS
(62) gdzie: fP – częstotliwość próbkowania wartości sygnału analogowego, fs – najwyższa składowa częstotliwości sygnału analogowego, Tp– okres próbkowania wartości sygnału analogowego.
Jest to warunek wystarczający dla wiernego odtworzenia sygnału ciągłego na podsta- wie znanego sygnału dyskretnego. Przykładowo, sygnał analogowy charakteryzujący się przebiegiem sinusoidalnym powinien być co najmniej 3-krotnie próbkowany w ciągu okresu, aby można go było jednoznacznie odtworzyć na podstawie próbek.
Dobór okresu próbkowania - uwagi praktyczne
im krótszy jest okres próbkowania, tym więcej algorytmów regulacji jest przetwarzanych w pojedynczym cyklu,
przy zastosowaniu ograniczenia liczby algorytmów regulacji obsługiwanych w jednym cyklu, przyjęcie zbyt krótkich okresów próbkowania może doprowadzić do sytuacji, w której niektóre obwody regulacji nigdy nie zostaną obsłużone, zbyt krótki okres próbkowania wywołuje przeregulowanie, prowadzi do pogorszenia jakości regulacji a nawet do utraty stabilności,
zbyt długi okres próbkowania sprawia, że reakcja regulatora na zakłócenia jest zbyt spowolniona, co prowadzi do pogorszenia jakości regulacji,
okres próbkowania powinien być tak duży jak to tylko praktycznie możliwe.
okres próbkowania zależy również od rodzaju użytego aktuatora; np. czasy przestawienia serwomotoru są rzędu ms, zaworu pneumatycznego - rzędu setek ms, natomiast zaworu z siłownikiem elektrycznym - rzędu s.
Równanie dynamiki silnika DC
mając
Uz(s) − keωs(s)
Rw+ Lws = Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc km
(63) można zapisać zależność wiążącą napięcie zasilające silnik i prędkość kątową wirnika
kmUz(s) − kmkeωs(s) = (Rw+ Lws)(Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc) (64)
Rysunek:Schemat blokowy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika
Równanie dynamiki silnika DC
Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, czyli:
Mobc= 0 (65)
co daje transmitancję operatorową postaci G (s) = ωs
Us(s)= km
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (66) Tak więc otrzymujemy układ liniowy, stacjonarny, mający charakter układu oscylacyjnego.
Transmitancje układu regulacji
Transmitancja - wejściem jest napięcie zasilania Uz(s) ωs
Us(s)= km
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (67) Transmitancja zakłóceniowa - wejściem jest moment obciążający
ωs
Mobc(s)= − sLw+ Rw
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (68)
Sterowanie feedforward silnika DC
Rysunek:Schemat blokowy sterowania feedforward Równanie regulatora
GR(s) = LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) km
(69) UWAGA: Równanie regulatora zawiera parametry silnika, które mogą być wyznaczone niedokładnie. Ponieważ w układzie nie ma sprzężenia zwrotnego, sygnał wyjściowy może się znacznie różnić od sygnału referencyjnego.
Układ jednoobwodowy - sterowanie prędkością silnika DC
Rysunek:Schemat blokowy jednoobwodowego układu regulacji prędkości silnika DC
Regulator P
GR(s) = kωp (70)
Regulator PI
GR(s) = kωp
1 + 1
Tωis
(71)
Jakość układu regulacji
Zadaniem układu regulacji jest minimalizacja odchyłki regulacji.
e(t) = ez(t) + ew(t), (72) gdzie
ez(t) - odchyłka wywołana zakłóceniem,
ew(t) - odchyłka wywołana wymuszeniem. (zmianą wartości zadanej) Przy ocenie jakości układu regulacji analizuje się oddzielnie obydwa składniki odchyłki regulacji, przy założeniu że układ jest liniowy i spełnia zasadę superpozycji.
Odchyłka zakłóceniowa
Transmitancja odchyłkowa układu względem zakłócenia Gz(s) = ∆ym(s)
z(s) =ez(s)
z(s) = ±Gz(s)Gob(s)
1 + Gob(s)Gr(s) (73) ez(s) = ∆ym(s) = ±Gz(s)Gob(s)
1 + Gob(s)Gr(s)z(s) (74) Odchyłka statyczna względem zakłócenia:
ezst.= lim
t→∞ez(t) = lim
s→0s · ez(s) (75) ezst.= lim
s→0s · ±Gz(s)Gob(s)
1 + Gob(s)Gr(s)z(s) (76)
Odchyłka nadążania
Transmitancja odchyłkowa układu względem wartości zadanej Gew(s) = ew(s)
∆w (s) = −1
1 + Gob(s)Gr(s) (77) ew(s) = −1
1 + Gob(s)Gr(s)∆w (s) (78) Odchyłka statyczna względem wartości zadanej
ewst.= lim
t→∞ew(t) = lim
s→0s · ew(s) (79) ewst.= lim
s→0s · −1
1 + Gob(s)Gr(s)∆w (s) (80)
Odchyłka nadążania - sterowanie prędkością silnika DC
Odchyłka statyczna względem wartości zadanej - regulator P, wymuszenie skokowe
ewst.= lim
s→0
1
1 + kmkωp
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB)
ωst (81)
ewst.= 1
1 + kmkωp
(kmke+ RwB)
ωst (82)
Odchyłka nadążania - sterowanie prędkością silnika DC
Odchyłka statyczna względem wartości zadanej - regulator PI, wymuszenie skokowe
ewst.= lim
s→0
1
1 +
kmkωp
1 + 1
Tωis
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB)
ωst (83)
ewst.= 0 (84)
Układ kaskadowy - sterowanie prędkością i położeniem silnika DC
Rysunek:Schemat blokowy kaskadowego układu regulacji prędkości i położenia silnika DC
Odchyłka nadążania - sterowanie prędkością i położeniem silnika DC
Odchyłka statyczna położenia względem wartości zadanej - regulator P położenia, regulator P prędkości, wymuszenie skokowe
ewst.= lim
s→0
1 1 +kθP
s Gω(s)
θst (85)
gdzie
Gω(s) = kmkωp
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB + kmkωp) (86) tak więc odchyłka statyczna położenia w stanie ustalonym ma wartość:
ewst.= 0 (87)
Układ kaskadowy - sterowanie prędkością, położeniem i prądem
Rysunek:Schemat blokowy kaskadowego układu regulacji prędkości, położenia i prądu silnika DC
UWAGA: W wiekszości komercyjnie dostępnych silników DC pętla sprzężenia od prądu wykorzystywana jest do kompensacji wpływu momentu obciążenia silnika i regulacji przepływu prądu przez silnik.
Układy kaskadowe
Przyczyny powszechności zastosowań układów kaskadowych dobór nastaw regulatorów i optymalizacja są bardzo proste - od wewnątrz na zewnątrz kaskady,
ograniczona liczba nastaw – podstawowym parametrem jest współczynnik wzmocnienia prędkościowego kv, obliczany z warunku żądanego stosunku prędkości (rzeczywistej) do odchyłki położenia w ruchu ustalonym (odchyłki nadążania, śledzenia)
dla ruchu postępowego
kv = v
∆s|ruch ustalony (88)
dla ruchu obrotowego
kv = ω
∆$|ruch ustalony (89)
prosta i tania realizacja sprzętowa i/lub programowa.
Jakość układu regulacji
Oprócz wymogu stabilności asymptotycznej, układom regulacji stawiane są dodatkowe wymagania związane z zachowaniem się układu w stanach przejściowych (dynamicznych) i w stanach ustalonych, określane ogólnie jako wymagania dotyczące jakości układu regulacji.
Wymagania odnoszące się do przebiegu procesów przejściowych w ukła- dach regulacji określane są za pomocą szeregu wskaźników, nazywanych ogólnie kryteriami (wskaźnikami) jakości dynamicznej układu regulacji.
Wymagania dotyczące stanów ustalonych formułuje się przez określenie tzw. dokładności statycznej układu regulacji – dopuszczalnych wartości odchyłek regulacji w stanach ustalonych.
Wpływ akcji regulatora na odchyłki statyczne
W układzie z obiektem statycznym i regulatorem o algorytmie P lub PD występują niezerowe odchyłki statyczne zarówno zakłóceniowe jak i nadążania proporcjonalne odpowiednio do wartości zakłócenia lub zmiany wartości zadanej.
Zwiększenie wzmocnienia proporcjonalnego regulatora P lub PD zmniejsza wartość odchyłek statycznych. Zmniejszenie odchyłki statycznej przez zwiększenie wzmocnienia jest zwykle ograniczone ze względu na warunki stabilności układu. Układ z regulatorem PD osiąga granicę stabilności przy większym wzmocnieniu regulatora niż w przypadku układu z regulatorem P.
Akcja całkująca występująca w regulatorze zapewnia zerowe odchyłki statyczne przy stałych wartościach zakłócenia lub stałych zmianach wartości zadanej.
Jakość dynamiczna
W praktyce wykorzystuje się różne wskaźniki jakości dynamicznej:
wskaźniki przebiegu przejściowego - wskaźniki dotyczące parametrów odpowiedzi skokowych,
wskaźniki dotyczące charakterystyk częstotliwościowych układu regulacji - zapasy modułu i fazy,
całkowe wskaźniki jakości.
Wskaźniki przebiegu przejściowego
Do oceny przebiegów przejściowych wykorzystywane są wskaźniki:
statyczna odchyłka zakłóceniowa: ezst.
statyczna odchyłka nadążania: ewst.
maksymalna odchyłka dynamiczna: em- maksymalna wartość odchyłki regulacji po wprowadzeniu zakłócenia skokowego lub skokowej zmiany wartości zadanej.
czas regulacji: tr - czas od chwili wprowadzenia skokowego zakłócenia lub wymuszenia do chwili, od której odchyłka regulacji nie wykracza poza przedział wartości ±∆e .
przeregulowanie: κ = e2
e1· 100% - wyrażony w procentach stosunek amplitudy drugiego odchylenia e2od wartości ustalonej do amplitudy pierwszego odchylenia e1.
Kryteria oceny jakości sterowania - zadanie regulacji
minimalizacja ustalonej (statycznej) odchyłki procesu regulacji (esu):
Iesu= αes|s(ku) − so| , min (90) minimalizacja maksymalnej odchyłki przejściowej (dynamiczna: przeregulowania lub nadwyżki) espo kierunku przeciwnym do odchyłki początkowej, określanej w procedurze o schemacie:
Iesp= αespmax
0, max
0<k<ku
[(s(k) − s0)sgn(s0− spocz)]
, min (91)
minimalizacja czasu zakończenia (traktowanego alternatywnie jako czas ustalania lub doregulowania) procesu – wyrażony przez czas dyskretny kkonc lub (w praktyce wygodniejsze) przez czas ciągły t = kkoncTp:
It= αtkkoncTp, min (92)
gdzie: αes, αespi αt są wagami oceny, s0- sygnał zadany ocenianego procesu, spocz – sygnałem początkowy ocenianego procesu.
Kryteria oceny jakości sterowania - zadanie regulacji
Ocena jakości w oparciu o wymienione wskaźniki, jest łatwa w praktycz- nej realizacji, jednak pojawiają się następujące problemy:
wzajemna sprzeczność kryteriów w odniesieniu do zadań sterowania - np. żądanie większej dokładności (zmniejszenie esdop) prowadzi do wydłużenia czasu ustalania (tu).
obecność przeregulowania w warunkach przemysłowych:
w części zadań pozycjonowania w zakresie ruchów roboczych wykluczone jest pojawienie się tej odchyłki i to bez względu na pogorszenie innych wskaźników,
w innych zadaniach takich jak np. ruchy dobiegowe, celowość skrócenia czasu ruchu pozwala na pewne przekroczenie wartości zadanej,
przeregulowanie, będące następstwem oscylacji słabo tłumionego układu napędowego, może być wykorzystane w trakcie
uruchomieniowego (startowego), iteracyjnego strojenia nastaw.
Standardowe kryteria oceny jakości sterowania
Zróżnicowane wymagania odnośnie pracy układu napędowego w urządzeniach automatyki i robotyki
żądania o charakterze ogólnym, na przykład:
określonej powtarzalności zachowań dokładnościowych i czasowych - w warunkach zmieniających się obciążeń masowych, siłowych itd.
likwidacji pełzania - stabilizacji położenia po (chwilowym) ustaniu ruchu
zadanej podatności obciążeniowej statycznej i dynamicznej – minimalizacji wpływu zmieniających się obciążeń na odchyłkę sterowania w warunkach postoju i ruchu
żądania o charakterze funkcjonalnym, związane ze specyfiką realizacji w konkretnej technice napędowej zadań pozycyjnych (przestawianie, nadążania), siłowych, momentowych,
przyspieszeniowych itp.
Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny
W opisanej sytuacji różnorodności uniwersalnych kryteriów oceny jakości układu pozycyjnego, warto rozważyć zastosowanie kryteriów niestandardowych - uwzględniające specyfikę układu. Np. dla pneumatycznego dławieniowego układu pozycyjnego można stosować wskaźniki jakości pozycjonowania rozszerzone o liczbę przełączeń rozdzielacza proporcjonalnego.
Wskaźniki sumowe (całkowe)
W technice płynowej oparto się na minimalizacji dwóch konwencjonalnych kryteriów ITAE (ang. Integral of Time Multipled with Absolute Error )
IITAE=
koc
X
k=0
[k|es(k)|] , min (93)
ITSE (ang. Integral of Time with Square Error )
IITSE=
koc
X
k=0
[kes2(k)] , min (94)
Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny
Cechy wspólne wskaźników ITAE i ITSE
pożądane uwzględnienie podstawowych parametrów procesu sterowania napędu, tzn. czasu i odchyłki
bardzo silne dowartościowanie początkowej fazy procesu, w której wartość odchyłki jest zbliżona do wartości zadanej
Druga własność prowadzi do oceny końcowej niekorzystnej w stosunku do najbardziej istotnej dla przebiegu procesu fazy zbliżania się do wartości zadanej.
W zakresie pracy liniowej układu regulacji znalezienie minimum ITAE i ITSE jest proste i odpowiada też spełnieniu innych kryteriów (odchyłki ustalonej, maksymalnej odchyłki przejściowej, czasu zakończenia) w przypadku pracy nieliniowej układu regulacji związek wartości wskaźników ITAE i ITSE z minimalizacją wartości parametrów czasowych i dokładnościowych sterowania przestaje być oczywisty.
Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny
Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod1- Roth
IITAE mod1=
koc mod
X
k=0
k|s(k)| +
koc
X
k=koc mod
k|es(k)| , min (95)
Czas podziału koc mod jest wyliczany ze wzmocnienia w torze głównym układu sterowania pozycyjnego: koc mod= 1/(ksCm) (ks= kx 1w przypadku sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od zmiennych stanu)
Wskaźnik IITAE mod1sprawdza się tylko w przypadku obiektów o dużym czasie opóźnienia i silnie aperiodycznym zachowaniu.
Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny
Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod2- Enger
IITAE mod2=
koc
X
k=koc mod
(k − koc mod)2|es(k)| , min (96)
Z całkowitym wycięciem fazy początkowej przebiegu i liczeniem wartości wskaźnika wg przyjętego funkcjonału dopiero po czasie koc mod(koc mod< koc) osiągnięcia przez odpowiedź skokową układu pozycyjnego maksymalnej wartości przemieszczenia (so+ esp max) Wskaźnik IITAE mod2ograniczony jest do przypadku słabo tłumionych zachowań układu napędowego i wyraźnym przeregulowaniu, będącym warunkiem rozpoczęcia liczenia (mija się z wymaganiami praktycznymi).
Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny
Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod2- Enger
IITAE mod2=
koc
X
k=koc mod
(k − koc mod)2|es(k)| , min (97)
Z całkowitym wycięciem fazy początkowej przebiegu i liczeniem wartości wskaźnika wg przyjętego funkcjonału dopiero po czasie koc mod(koc mod< koc) osiągnięcia przez odpowiedź skokową układu pozycyjnego maksymalnej wartości przemieszczenia (so+ esp max) Wskaźnik IITAE mod2ograniczony jest do przypadku słabo tłumionych zachowań układu napędowego i wyraźnym przeregulowaniu, będącym warunkiem rozpoczęcia liczenia (mija się z wymaganiami praktycznymi).
Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny
Wskaźniki sumowe - nowe modyfikacje
wskaźnik jednokryterialny IIAED - w postaci różnicy wartości odpowiedzi układu regulowanego (zamkniętego) i układu nieregulowanego (otwartego) es(o−z)(k) - dla początkowej fazy przebiegu procesu sterowania, tzn. aż do czasu koc otw określonego osiągnięciem wartości zadanej (np. przemieszczenia so ) przez odpowiedź układu napędowego przy pełnym wysterowaniu
koc otw : |sotw− so| = 0 (98) i następnie - aż do czasu oceny koc- przez wskaźnik
IIAED=
koc otw
X
k=0
k|es(o−z)(k)| +
koc
X
k=koc otw
k|es(k)| , min (99)
Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny
Rysunek:Ilustracja oceny jakości układu pozycyjnego z wykorzystaniem wskaźnika IIAED (na przykładzie sterowania pozycyjnego pneumatycznego napędu dławieniowego) - a) odpowiedź z przeregulowaniem i oscylacjami, b) odpowiedź aperiodyczna.
Równania stanu silnika DC - zmienne fizykalne
Do zaprojektowania zaawansowanego układu regulacji pozycji silnika DC, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem ciągłym
X (t) = A˙ mcX (t) + BmcU(t)
y (t) = CmcX (t) + DmcU(t) (100) gdzie: X (t) ∈ Rn - wektor stanu, U(t) ∈ Rm - wektor sygnałów sterują- cych, y (t) ∈ Rp - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjścio- wych, Amc ∈ Rn×n - macierz stanu Bmc ∈ Rn×m - macierz sterowania, Cmc ∈ Rp×m - macierz wyjścia.
Fizykalne zmienne stanu: minimalna liczba niezależnych zmiennych fizycznych.
Fazowe zmienne stanu: Zmienne stanu określone w ten sposób, że kolejna zmienna jest równa pochodnej poprzedniej. Wyznaczane przy założeniu jednowymiarowego, liniowego, stacjonarnego,
ciągłego układu dynamicznego.
Równania stanu silnika DC - zmienne fizykalne
Model fizykalnych zmiennych stanu, można wyznaczyć, na podstawie układu równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC
Uz(t) = Rwiw(t) + Lw
diw(t)
dt + keωs(t) kmiw(t) = Jd ωs(t)
dt + Bωs(t) + Mobc(t)
(101)
po przekształceniu
diw(t)
dt = −ke
Lwωs(t) −Rw
Lwiw(t) + 1 LwUz(t) d ωs(t)
dt = −B
Jωs(t) +km
J iw(t) −1
JMobc(t)
(102)
można przyjąć następujący wektor stanu i sterowań Xfiz(t) =
iw(t) ωs(t)
, Ufiz=
Uz(t) Mobc(t)
(103)
Równania stanu silnika DC - zmienne fizykalne
Model fizykalnych zmiennych stanu jest następujący
X˙fiz(t) =
−Rw
Lw −ke
Lw km
J −B
J
Xfiz(t) +
1 Lw 0
0 −1 J
Ufiz(t) Y (t) =
0 1 Xfiz(t) +
0 0 Ufiz(t)
(104)
X˙fiz(t) = AfizXfiz(t) + BfizUfiz(t)
Y (t) = CfizXfiz(t) + DfizUfiz(t) (105)
Równania stanu silnika DC - zmienne fazowe
Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej G (s) = kω20
s2+ 2ξω0s + ω20 (106) Układ ten jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmien- nych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu.
Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu
˙
x1(t) = x2(t)
˙
x2(t) = −ω20x1(t) − 2ξω0x2(t) + u(t) (107) równanie wyjścia
y (t) = kω0x1(t) (108)